張春鵬，李殿起，郭守存，尚志強(qiáng)

(沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)，機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng)110000)

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非圓行星輪系瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析

張春鵬，李殿起，郭守存，尚志強(qiáng)

(沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)，機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 沈陽(yáng)110000)

論文分析了非圓漸開線直齒輪傳動(dòng)的節(jié)曲線方程,利用三維軟件對(duì)非圓行星輪系進(jìn)行三維建模，再把模型導(dǎo)入Adams中進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)分析。對(duì)非圓齒輪行星輪系運(yùn)動(dòng)過程中的輸入力矩、輸出力矩的特性進(jìn)行了研究，從而分析出非圓行星輪系在運(yùn)動(dòng)過程中輪齒受力最大的位置,再把模型導(dǎo)入Ansys/Workbench中進(jìn)行瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析,以準(zhǔn)確、快速地得到非圓齒輪行星輪系在嚙合過程中輪齒表面的應(yīng)力分布圖以及總變形圖，從而驗(yàn)證非圓行星輪系結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的正確性。為優(yōu)化非圓行星輪系的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及應(yīng)用提供重要數(shù)據(jù)。

非圓齒輪行星輪系；Ansys；節(jié)曲線；瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)

0 前言

一種新型的低速大扭矩液壓馬達(dá)是由非圓行星齒輪機(jī)構(gòu)與液壓馬達(dá)技術(shù)結(jié)合起來組成的。波蘭人最早發(fā)明這種液壓馬達(dá)，其它部分國(guó)家相繼對(duì)這種液壓馬達(dá)進(jìn)行了研究，目前波蘭、德國(guó)、美國(guó)等國(guó)家已經(jīng)掌握了生產(chǎn)非圓齒輪液壓馬達(dá)的技術(shù)。這種新型的非圓行星齒輪式低速大扭矩液壓馬達(dá)具有結(jié)構(gòu)緊湊、零件少、易于加工和裝配，重量輕、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)與其他設(shè)備配套，低速運(yùn)轉(zhuǎn)平穩(wěn)，機(jī)械效率高，抗工作油污染能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，因此對(duì)非圓齒輪液壓馬達(dá)的研究很有意義。非圓齒輪行星輪系機(jī)構(gòu)是液壓馬達(dá)的核心部件，本文主要針對(duì)波蘭海德曼公司生產(chǎn)的4-6型液壓馬達(dá)中的非圓行星輪系機(jī)構(gòu)，建立非圓齒輪行星輪系動(dòng)力學(xué)模型并對(duì)其動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行研究。

圖1 非圓齒輪行星輪系Fig.1 Non-circular gear planetary gear train

1 非圓柱直齒輪傳動(dòng)的基本理論

(1)

圖2 非圓齒輪傳動(dòng)簡(jiǎn)圖Fig.2 Non-circular gear transmission diagram

2 非圓齒輪行星輪系的建模

本文采用了非圓行星輪系機(jī)構(gòu)中內(nèi)齒圈的節(jié)曲線是高階橢圓，根據(jù)非圓柱直齒輪傳動(dòng)原理推導(dǎo)出太陽(yáng)輪的節(jié)曲線方程，運(yùn)用MATLAB對(duì)方程式編程并輸出太陽(yáng)輪和內(nèi)齒圈的節(jié)曲線圖形。非圓柱直齒輪的齒形是各不相同的，傳動(dòng)比是變化的，一般來說，非圓柱直齒輪的齒形不能用簡(jiǎn)單的解析函數(shù)來進(jìn)行表達(dá)，而是通過齒輪嚙合原理逐步推導(dǎo)出來。根據(jù)齒輪嚙合原理推導(dǎo)出非圓柱直齒輪的齒廓方程，采用Solidwork進(jìn)行三維建模，通過Solidwork和Adams、Ansys之間的無(wú)縫連接，實(shí)現(xiàn)了在Adams環(huán)境中的運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)分析和有限元環(huán)境中的瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析。

內(nèi)齒圈是高階橢圓的極坐標(biāo)方程為

(2)

式中，是n1內(nèi)齒圈的曲邊數(shù)，Rz是中徑，e是偏心率。

參照文獻(xiàn)[1]相關(guān)公式計(jì)算出太陽(yáng)輪的節(jié)曲線坐標(biāo)，再通過Matlab畫出如圖3所示的節(jié)曲線。

圖3 太陽(yáng)輪和內(nèi)齒圈的節(jié)曲線Fig.3 Pitch curve of the sun gear and the internal gear ring

3 動(dòng)力學(xué)運(yùn)算方程

3.1 運(yùn)動(dòng)方程的建立

本文采用了拉格朗日乘子法建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為

(3)

完整約束方程時(shí)，f(q,t)=0

非完整約束方程時(shí)，g(q,q,t)=0

式中，T為系統(tǒng)動(dòng)能；Q為系統(tǒng)廣義坐標(biāo)列陣；p為對(duì)應(yīng)于完整約束的拉氏乘子列陣；M為對(duì)應(yīng)于非完整約束的拉氏乘子列陣；q為系統(tǒng)廣義速度列陣。

動(dòng)力學(xué)問題遵循的平衡方程為

[M]{x″}+[C]{x′}+[K]{x}={F(t)]

(4)

式中，[M]為質(zhì)量矩陣；[C]為阻尼矩陣；[K] 為剛度矩陣；{x}為位移矢量；{F(t)} 為力矢量；{x′}為速度矢量；{x″}為加速度矢量。

瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析是時(shí)域分析，是分析結(jié)構(gòu)在隨時(shí)間任意變化的載荷作用下的響應(yīng)，動(dòng)力響應(yīng)過程的技術(shù)。其輸入數(shù)據(jù)是作為時(shí)間函數(shù)的載荷，而輸出數(shù)據(jù)是應(yīng)力、應(yīng)變或其他輸出量如隨時(shí)間變化的位移等。

3.2 齒輪表面的接觸應(yīng)力

該類齒輪工作時(shí)理論上載荷是通過線接觸傳遞的，考慮到接觸處的彈性變形，實(shí)際上就是小的面接觸，根據(jù)Hertz理論，齒輪接觸時(shí)產(chǎn)生的最大接觸應(yīng)力為

(5)

式中，F(xiàn)為齒輪副的法向壓力；B為接觸線長(zhǎng)度；Δρ為接觸點(diǎn)綜合曲率；μ1、μ2分別為兩齒輪材料的泊松比；E1、E2分別為兩齒輪材料的彈性模量。

3.3 參數(shù)設(shè)置

該非圓行星輪系相關(guān)參數(shù)見表1。

表1 非圓行星輪系相關(guān)參數(shù)

4 Adams運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真和Ansys瞬態(tài)動(dòng)力學(xué)分析

4.1 齒輪材料的選取和設(shè)置

由于齒輪材料必須滿足工作條件的要求，考慮到非圓齒輪液壓馬達(dá)在工作中受到的油壓載荷沖擊特殊的工況，該非圓齒輪液壓馬達(dá)選用硬度和韌性綜合性能好的優(yōu)質(zhì)碳素結(jié)構(gòu)鋼，設(shè)置非圓齒輪行星輪系材料為45號(hào)鋼。

4.2 Adams仿真分析

仿真的過程中，一方面是由模型的組裝、添加約束時(shí)所造成的干涉、過約束等原因?qū)е路抡娼Y(jié)果的不收斂，導(dǎo)致仿真失敗；另一方面是仿真參數(shù)的設(shè)置會(huì)影響仿真結(jié)果。在非圓齒輪行星輪系幾何模型的基礎(chǔ)上對(duì)非圓齒輪行星輪系的各個(gè)零件添加物理屬性包括系統(tǒng)部件的泊松比、材料密度和彈性模量。設(shè)置所有部件的重力，確定部件間的約束關(guān)系，把內(nèi)齒圈固定在大地上面，太陽(yáng)輪與大地構(gòu)成一個(gè)旋轉(zhuǎn)副，行星輪分別與太陽(yáng)輪、內(nèi)齒圈設(shè)置為共面約束，在主動(dòng)輪輸入一個(gè)恒定的角速度，時(shí)間為0.1s，步長(zhǎng)為0.001，在仿真之前對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn)?？梢詫?duì)系統(tǒng)的構(gòu)成、系統(tǒng)的自由度、未定義質(zhì)量的構(gòu)件和過約束等進(jìn)行查詢。在進(jìn)行動(dòng)力學(xué)仿真之前進(jìn)行靜態(tài)分析，以避免樣機(jī)在啟動(dòng)時(shí)出現(xiàn)的一些瞬態(tài)響應(yīng)導(dǎo)致仿真無(wú)法進(jìn)行。

圖4 約束后的Adams模型Fig.4 Adams model after constraint

在實(shí)際的液壓馬達(dá)應(yīng)用當(dāng)中，太陽(yáng)輪的輸出力矩不能有太大的波動(dòng)，本文采用逆向思維，給定太陽(yáng)輪一個(gè)恒定的角速度來反求主動(dòng)輪行星輪在繞著太陽(yáng)輪旋轉(zhuǎn)一周運(yùn)行過程中所受的力。

求解齒輪副在Adams動(dòng)力學(xué)模型下承受力矩下的響應(yīng)，其中行星輪上承受的受力變化曲線圖和力矩變化曲線。

圖5 行星輪受力圖Fig.5 Force diagrams of planetary wheel

圖6 行星輪所受力矩圖Fig.6 Torque diagrams of planetary wheel

圖7 行星輪質(zhì)心角速度Fig.7 Angular velocity of planets wheel mass centre

由Adams分析可知非圓齒輪行星輪系傳動(dòng)過程中輪齒受力最大的位置出現(xiàn)在太陽(yáng)輪、內(nèi)齒圈極徑最大處。

4.3 Ansys/Workbench分析

4.3.1 劃分網(wǎng)格和接觸設(shè)置

設(shè)置網(wǎng)格劃分方式和網(wǎng)格形式。在Workbench環(huán)境下對(duì)非圓行星齒輪系模型采用結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格進(jìn)行單元?jiǎng)澐?，為提高有限元分析的?jì)算精度對(duì)齒輪的二維模型進(jìn)行網(wǎng)格劃分，并把模型劃分為非接觸區(qū)域和接觸區(qū)域兩部分。由于非圓行星輪系在運(yùn)行的過程中的輪齒之間相互接觸的面太多，容易導(dǎo)致計(jì)算不收斂，所以對(duì)接觸面的有限元網(wǎng)格進(jìn)行局部細(xì)化，從而得到更為精確的數(shù)值求解和加速求解的收斂。

圖8 有限元網(wǎng)格模型Fig.8 Finite element mesh model

4.3.2 施加載荷和約束

添加運(yùn)動(dòng)副和約束。設(shè)置太陽(yáng)輪為轉(zhuǎn)動(dòng)副，內(nèi)齒圈為固定副，約束太陽(yáng)輪表面節(jié)點(diǎn)的軸向和徑向位移，只保留Z軸方向上的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。約束行星輪在Z軸方向上的位移，行星輪除繞自身軸線自傳外，還繞太陽(yáng)輪公轉(zhuǎn)，內(nèi)齒圈加固定約束；分別設(shè)置行星輪與太陽(yáng)輪、內(nèi)齒圈的接觸為自動(dòng)的面與面的接觸，實(shí)際上齒輪傳動(dòng)是線接觸的，在每個(gè)齒的兩面都定義接觸，接觸類型的選擇為Frictionless，通過定義接觸對(duì)可以確保輪齒在嚙合時(shí)接觸部分的變形和受力能夠被隨時(shí)定位和追蹤。求解時(shí)間為0.1s，步長(zhǎng)為0.001。在運(yùn)動(dòng)副里面給太陽(yáng)輪施加一個(gè)旋轉(zhuǎn)載荷。

當(dāng)行星輪運(yùn)行在太陽(yáng)輪和內(nèi)齒圈極徑最大處時(shí)，行星輪系的分析結(jié)果如圖9所示。

當(dāng)行星輪運(yùn)行在太陽(yáng)輪和內(nèi)齒圈極徑的一般位置時(shí)，行星輪系的分析結(jié)果如圖10所示。

圖9 應(yīng)力應(yīng)變圖Fig.9 Stress-stain diagram of planetary gear train

由上圖可知當(dāng)行星輪處于太陽(yáng)輪和內(nèi)齒圈極徑最大處時(shí)受力和變形最大，與Adams分析的結(jié)果一致。齒輪的失效主要發(fā)生在輪齒根部和輪齒表面上，從非圓行星輪系的等效應(yīng)力分布圖上可以看出，在輪齒運(yùn)轉(zhuǎn)過程中，太陽(yáng)輪受力比較大，容易損壞，太陽(yáng)輪在極徑最大的位置時(shí)受力最大，所以只需校核太陽(yáng)輪極徑最大位置時(shí)的強(qiáng)度。但是太陽(yáng)輪與行星齒輪所受最大等效應(yīng)力大致相等，應(yīng)力比較大的地方主要集中在齒根附近和嚙合輪齒接觸處。在兩個(gè)嚙合輪齒的輪齒根部及齒廓曲面上出現(xiàn)齒輪的最大應(yīng)力，隨著非圓行星輪系的運(yùn)轉(zhuǎn)，輪齒的最大應(yīng)力呈現(xiàn)周期性變化。最大剪切應(yīng)力為258MPa，最大等效應(yīng)力為325MPa，都小于齒輪的許用應(yīng)力，在齒廓表面和齒根處未出現(xiàn)較明顯的應(yīng)力集中現(xiàn)象，應(yīng)力分布也較為均勻。而且應(yīng)力影響區(qū)域在接觸齒對(duì)幾個(gè)齒附近，遠(yuǎn)離接觸區(qū)域處的應(yīng)力為零，完全符合彈性力學(xué)中的相關(guān)定律。

圖10 應(yīng)力應(yīng)變圖Fig.10 Stress-stain diagram of planetary gear train

5 結(jié)束語(yǔ)

(1)由行星輪的受力圖可以看出行星輪受力的最大的位置出現(xiàn)在太陽(yáng)輪和內(nèi)齒圈極徑最大值處，為非圓齒輪行星輪系材料的強(qiáng)度校核提供有效的數(shù)據(jù)。從而判斷各零件的強(qiáng)度是否達(dá)標(biāo)，結(jié)構(gòu)是否正確。

(2)有限元和虛擬樣機(jī)技術(shù)的應(yīng)用為有效的解決實(shí)際應(yīng)用問題提供了便捷途徑，方便、快捷地利用靜力學(xué)仿真數(shù)據(jù)對(duì)行星輪系施加動(dòng)態(tài)載荷，進(jìn)行運(yùn)動(dòng)仿真和動(dòng)態(tài)動(dòng)力學(xué)仿真。得到動(dòng)態(tài)載荷下輪系上各個(gè)齒輪的應(yīng)力分布云圖、等效彈性應(yīng)變和總變形圖，從而為機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了一定的依據(jù)。

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Transient dynamics analysis of non-circular planetary gear train

ZHANG Chun-peng， LI Dian-qi，GUO Shou-cun，SHANG Zhi-qiang

(School of Mechanical, Shenyang University of Technology, Shenyang 110000，China)

The paper analyses pitch curve equation of the non-circular involute spur gear transmission, 3 D model of the non-circular planetary gear train is build by using 3 D software, and then put the model into Adams for kinematics and dynamics analysis. The input and output torque characteristics of the non-circular gear planetary gear train is studied, so as to analyze the largest stress position of gear tooth during movement. And then put the model into Ansys/Workbench for transient dynamics analysis, stress distribution and total deformation of the tooth surface are accurately and quickly get in meshing process. The results show the structure design of non-circular planetary gear train is accurate. It also provides reference data for optimizing the structure design and the application of the non-circular planetary gear train.

non-circular gear planetary gear train; Ansys; pitch curve; transient dynamics

2015-09-26；

2015-12-23

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(No.51105257, No.51310105025)

張春鵬(1991-)，男，沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)碩士研究生。

TH132.424

A

1001-196X(2016)05-0076-05