糜坤年，張 磊

(中國船舶重工集團(tuán)公司第723研究所，揚(yáng)州 225001)

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基于MUSIC算法的圓陣DOA估計(jì)技術(shù)及改進(jìn)方法

糜坤年，張 磊

(中國船舶重工集團(tuán)公司第723研究所，揚(yáng)州 225001)

介紹了基于MUSIC算法的圓陣到達(dá)方向(DOA)估計(jì)技術(shù)，即將均勻圓陣接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征分解，把觀測(cè)數(shù)據(jù)劃分為信號(hào)子空間與噪聲子空間，并利用2個(gè)空間的正交性構(gòu)造出"針狀"空間譜峰，進(jìn)行信號(hào)源DOA估計(jì)；針對(duì)小信噪比和小快拍數(shù)情況下，常規(guī)MUSIC算法對(duì)入射角度相近的信號(hào)源的分辨率嚴(yán)重下降的問題，利用譜函數(shù)極大值點(diǎn)對(duì)方位角和仰角的二階導(dǎo)數(shù)小于零的特性，通過對(duì)方位角和俯仰角求二階偏導(dǎo)數(shù)，提出了新的空間譜函數(shù)的方法。

MUSIC算法；DOA估計(jì)；均勻圓陣

0 引 言

電磁波是雷達(dá)系統(tǒng)中承載信息的媒介，空間到達(dá)角是其重要的特征參量，攜帶了信號(hào)重要的信息?？臻g到達(dá)角描述了信號(hào)源的空間位置，用參量(θ，φ)表示，分別表示俯仰角和方位角。陣列信號(hào)處理估計(jì)是近幾十年發(fā)展起來的一門新興信號(hào)處理理論。到達(dá)方向(DOA)估計(jì)是陣列信號(hào)處理的一個(gè)重要領(lǐng)域，它在雷達(dá)、通信、聲納及地震方面的應(yīng)用越來越受到重視。其主要目標(biāo)是研究提高在處理帶寬內(nèi)的空間信號(hào)的估計(jì)精度、角度分辨率和提高運(yùn)算速度的各種算法。常規(guī)的空域譜分析是一類線性譜估計(jì)，這種譜估計(jì)受瑞利限約束。為了突破這個(gè)限制，國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量的研究，并獲得了豐富的研究成果，其中最具革命性意義的是1979年美國Schmidt R O等人提出的多重信號(hào)分類(MUSIC)算法[1]，實(shí)現(xiàn)了真正意義的陣列高分辨測(cè)向。MUSIC算法從幾何角度分析了估計(jì)問題的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，即通過陣列協(xié)方差矩陣的特征分解把觀測(cè)數(shù)據(jù)空間劃分為信號(hào)子空間和噪聲子空間，然后利用這2個(gè)空間的正交性構(gòu)造出“針狀”空間譜峰，從而實(shí)現(xiàn)了DOA的超高分辨率估計(jì)。同時(shí)利用圓陣測(cè)量估計(jì)信號(hào)源的到達(dá)角信息與均勻線陣相比具有很大的優(yōu)越性：第一，均勻圓陣是一個(gè)平面陣，它可以同時(shí)提供方位角和俯仰角信息；第二，均勻圓陣提供的方位角信息是360°全方位、無模糊的[2]。然而，由于受陣列孔徑的限制，MUSIC算法在信噪比較低或者是快拍數(shù)較小時(shí)，對(duì)角度相近的2個(gè)信號(hào)源的分辨率不高。為此，有學(xué)者針對(duì)該問題，提出了基于MUSIC算法的改進(jìn)算法，即利用MUSIC譜函數(shù)極大值點(diǎn)對(duì)方位角和仰角的二階偏導(dǎo)數(shù)小于零的特性，通過對(duì)方位角和俯仰角求二階偏導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造新的空間譜函數(shù)的新方法[3]。

1 信號(hào)接收模型

M個(gè)各向同性的陣元均勻分布在一個(gè)半徑為r的圓周上，如圖1所示。采用球坐標(biāo)系來表示平面波的到達(dá)方向，圓形陣列的圓心位置位于坐標(biāo)系的原點(diǎn)，信源的俯仰角φ∈[0,π/2]是Z軸與信號(hào)源入射方向的夾角，而方位角θ∈[0,2π]是從X軸沿逆時(shí)針方向到信源入射方向在陣列平面上投影的夾角[4]。第M陣元與圓心之間的連線與X軸的夾角為：

(1)

其位置矢量為pm=(rcosγm,rsinγm,0)。

圖1 均勻圓陣結(jié)構(gòu)模型

假設(shè)一遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)從γ=(sinφcosθ,sinφsinθ,cosφ)為一單位矢量，則信號(hào)在第m個(gè)陣元接收信號(hào)與圓心處接收信號(hào)的復(fù)包絡(luò)之間的相位差為:

ψm=e-j2πf0τm=e，

m=0,1,2,…,M-1

(2)

式中：f0為載波中心頻率；λ為載波波長。

則圓陣的方向矢量為:

α(θ,φ)=[ee…e]T

(3)

假設(shè)有D個(gè)入射遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)且互不相干，則可以得到第k個(gè)陣元在t時(shí)刻接收信號(hào)為:

(4)

矩陣形式：

X(t)=AS(t)+N(t)

(5)

式中：X(t)=[x1(t),x2(t),…,xM(t)]T；A=[a(θ1,φ1),a(θ2,φ2),…,a(θD,φD)]；S(t)=[s1(t),s2(t),…,sM(t)]T。

2 經(jīng)典MUSIC算法

由以上討論可知，陣列接收數(shù)據(jù)的矩陣形式為：

X(t)=AS(t)+N(t)

(6)

則陣列數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣為：

R=E[XXH]=AE[SSH]AH+δ2I=ARSAH+δ2I

(7)

由于信號(hào)不相干且與噪聲相互獨(dú)立，數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣可分解為信號(hào)、噪聲兩部分。

對(duì)R進(jìn)行特征分解得：

R=ARSAH+δ2I=USΣSUSH+UnΣnUnH

(8)

又由于噪聲子空間與信號(hào)子空間正交，故有：UnA(θ,φ)=0，(θ,φ)∈{(θ1,φ1),(θ2,φ2),…,(θD,φD)}。但實(shí)際接收數(shù)據(jù)矩陣是有限長的，即數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣的最大似然估計(jì)為：

(9)

式中：L為快拍數(shù)。

對(duì)R進(jìn)行特征分解后得到的噪聲子空間特征矢量矩陣Un。由于噪聲的存在，UnA(θ,φ)并不完全正交，由此可以定義出MUSIC空域譜表達(dá)式：

(10)

3 改進(jìn)型MUSIC算法

經(jīng)典MUSIC算法在信噪比較高、快拍數(shù)較多的情況下可得到良好的信號(hào)分辨率、測(cè)量精度，但在信噪比較小、快拍數(shù)較少的情況下，信號(hào)分辨率和測(cè)量精度會(huì)嚴(yán)重降低。以二維MUSIC空域譜為例，2個(gè)獨(dú)立入射信號(hào)源入射到八陣元的均勻圓陣上，陣圓半徑與載波波長關(guān)系r=2λ,θDOA分別為θ1=66°，φ1=60°；θ2=60°，φ2=60°。

如圖2所示可知，當(dāng)信噪比和快拍數(shù)較大時(shí)，經(jīng)典MUSIC算法的空域譜有2個(gè)尖銳的譜峰，可將2個(gè)入射角相近的信號(hào)源分離；當(dāng)信噪比和快拍數(shù)較小時(shí)，基于經(jīng)典MUSIC算法的空域譜的譜峰不夠尖銳(如圖2)，難以區(qū)分，無法將2個(gè)入射角相近的信號(hào)源分離開來；但通過對(duì)圖2中譜峰的觀察，可以看出：在整個(gè)譜曲面上，空域譜在取得極大值處光滑；因此可以根據(jù)光滑極大值點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)小于0的特性，在譜峰處分別對(duì)俯仰角和方位角求二階導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造新的空域譜，以增加相近信號(hào)的分辨率。

圖2 經(jīng)典MUSIC算法仿真圖

假設(shè)俯仰角φ的范圍為Rφ,搜索間隔為Δφ；方位角θ的范圍為Rθ，搜索間隔為Δθ。

由二元離散函數(shù)對(duì)變量求偏導(dǎo)數(shù)可得，在(φk,θn)處離散函數(shù)P對(duì)自變量φ的一階偏導(dǎo)數(shù)為:

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

由于P對(duì)φ和θ求二階偏導(dǎo)是相互獨(dú)立的，所以可以將原譜函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)P″表示為:

(18)

由以上公式可構(gòu)成新的空域譜函數(shù)；改進(jìn)方法的基本思想是對(duì)MUSIC譜函數(shù)極大值點(diǎn)處對(duì)方位角和俯仰角求二階偏導(dǎo)，并利用二階偏導(dǎo)小于0的特性，構(gòu)成新的空域譜函數(shù)，再對(duì)新譜函數(shù)進(jìn)行峰值搜索，得到信號(hào)源DOA[5-6]。

4 仿真與分析

仿真陣列采用陣元數(shù)為8的均勻圓陣，陣圓半徑r=2λ，λ為窄帶信號(hào)載波波長，噪聲為高斯白噪聲，求導(dǎo)點(diǎn)的領(lǐng)域l=1。

4.1 精度分析

假設(shè)有一個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)源，DOA為θ1=65°，φ1=30°；L=500的條件下，經(jīng)典MUSIC算法和改進(jìn)算法的均方根誤差隨SNR變化比較圖見圖3。

觀察圖3(a)、(b)可知：在L=500時(shí)，經(jīng)典MUSIC算法和改進(jìn)型MUSIC算法測(cè)量的俯仰誤差、方位誤差均隨信噪比的增加而減??；并且在給定信噪比的情況下，2種算法的均方誤差大小相近，則2種算法有著相近的測(cè)量精度。

圖3 經(jīng)典MUSIC算法和改進(jìn)MUSIC算法均方根誤差比較圖

4.2 分辨率分析

假設(shè)有2個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)源，DOA分別為θ1=66°，φ1=60°，θ2=60°，φ2=60°，對(duì)2個(gè)信號(hào)分別使用經(jīng)典MUSIC算法和改進(jìn)MUSIC算法進(jìn)行空間譜估計(jì)。經(jīng)典MUSIC算法和改進(jìn)MUSIC算法仿真結(jié)果對(duì)比圖如圖4所示。

圖4 經(jīng)典MUSIC算法和改進(jìn)MUSIC算法仿真結(jié)果對(duì)比圖

觀察圖4(a)、(b)可知，在信噪比、快拍數(shù)較高的理想情況下，2種算法的空間譜都出現(xiàn)了2個(gè)獨(dú)立的譜峰，則均對(duì)相近信號(hào)具有良好的分辨率；但在信噪比、快拍數(shù)較低的非理想情況下，對(duì)角度相近的兩信號(hào)源進(jìn)行DOA估計(jì)時(shí)(圖4(c)、(d))，經(jīng)典MUSIC算法的空間譜只有一個(gè)譜峰，無法有效將2個(gè)信號(hào)源分開；但在改進(jìn)MUSIC算法空間譜中，出現(xiàn)了2個(gè)獨(dú)立譜峰，可將2個(gè)信號(hào)源準(zhǔn)確地分開。

5 結(jié)束語

經(jīng)典MUSIC算法在信噪比較高、快拍數(shù)較大時(shí)，對(duì)信號(hào)入射角的二維空間譜估計(jì)具有良好的分辨率和測(cè)量精度，但在信噪比、快拍數(shù)較小時(shí)，其二維空間譜的分辨率會(huì)嚴(yán)重下降。本文針對(duì)該問題，提出了利用譜函數(shù)極大值點(diǎn)對(duì)方位角和仰角的二階導(dǎo)數(shù)小于零的特性，通過對(duì)方位角和俯仰角求二階偏導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造新空間譜函數(shù)的新方法。仿真實(shí)驗(yàn)說明，改進(jìn)MUSIC算法在不改變經(jīng)典MUSIC算法精度的前提下，可給出更好的分辨率。

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Estimation Technology and Improved Method of Circle Array DOA Based on MUSIC Algorithm

MI Kun-nian，ZHANG Lei

(The 723 Instiute of CSIC，Yangzhou 225001，China)

This paper introduces the estimation technology of circle array direction of arrival (DOA) based on MUSIC algorithm,namely performs the characteristic decomposition to covariance matrix of the data received from uniform circle array,divides the data into signal subspace and noise subspace,and uses the orthogonality of two spaces to form the acicular space peak,performs the estimation of signal source DOA.Aiming at the problem that resolution of signal sources with adjacent incident angles decrease greatly by using conventional MUSIC algorithm in the conditions of small signal to noise ratio and snapshot number,this paper uses the characteristic that second-order partial derivative of spectrum function maximum point to azimuth angle and elevation angle is less than zero,presents a new spatial spectrum function method by taking the second-order partial derivative of azimuth angle and elevation angle.

MUSIC algorithm；direction of arrival estimation；uniform circle array

2016-03-23

TN971.1

A

CN32-1413(2016)05-0024-04

10.16426/j.cnki.jcdzdk.2016.05.005