肖君偉

函數(shù)形式的簡潔性和抽象性是函數(shù)學(xué)習(xí)中的重要特點，正是由于這種原因，函數(shù)形式的分析成為學(xué)生學(xué)習(xí)的瓶頸。函數(shù)的性質(zhì)作為函數(shù)形式的集中體現(xiàn)是研究函數(shù)形式表達(dá)的很好的窗口。本文將通過對定義抽絲剝繭的分析，找到定義的實際內(nèi)涵，同時為學(xué)生分析函數(shù)形式拓展提供一種通用的方法。

一、f（x）與y的區(qū)別

在研究函數(shù)性質(zhì)之前，先弄清楚f（x）的意義，f（x）是指以x為自變量，對應(yīng)法則為f，得到的函數(shù)值為f（x）。例如：f（1）表示自變量的值取1，對應(yīng)法則為f，對應(yīng)的函數(shù)值為f（1）。這里的對應(yīng)法則f是一個抽象的概念，當(dāng)對應(yīng)法則具體的情況下，如f（x）=|x+3|-6，這時就說明對應(yīng)法則為“自變量加3取絕對值之后再減去6”，相應(yīng)的f（-7）=-2就是在這種對應(yīng)法則下得到的結(jié)果。

在高中階段，函數(shù)值通常用f（x）和y兩個符號表示。根據(jù)以上分析可以看出，f（x）能夠表達(dá)出自變量取到何值時得到相應(yīng)的函數(shù)值，如上題中的f（-7）=-2就是說自變量取-7的時候，相應(yīng)的函數(shù)值為-2。而寫成y=-2則只能說明函數(shù)值為-2，至于自變量的值則無法體現(xiàn)，有可能是-7也有可能是1。由此可見f（x）表達(dá)出的含義要比y表達(dá)出的含義具體得多，符號f（x）集中反映了函數(shù)的三個基本要素。

分析清楚單調(diào)性定義的內(nèi)涵后，函數(shù)單調(diào)性反映的圖像特征就可以相應(yīng)地表示出來，自變量越大，對應(yīng)的值越大，此時作出的圖像就是一個從左往右上升的圖像，反之所作出的圖像就是從左往右下降的圖像。

三、對稱性和奇偶性的定義分析

課本中只對函數(shù)的奇偶性定義描述為：定義域內(nèi)的任意一個x，都有f（-x）=-f（x），那么函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；反之，定義域內(nèi)的任意一個x，都有f（-x）=f（x），那么函數(shù)f（x）為偶函數(shù)。

區(qū)別于函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性研究時所取自變量是針對定義域內(nèi)的任意一個數(shù)，而不是定義的某個部分；同時奇偶性研究時，首先取定義域內(nèi)的兩個相反數(shù)x和-x，這就說明這兩個相反數(shù)都必須在定義域中，由此可見定義域必須關(guān)于原點對稱。由于x和-x對應(yīng)的值分別是f（x）和f（-x），因此f（-x）=-f（x）表示函數(shù)值是相反數(shù)，而f（-x）=f（x）表示函數(shù)值是相等的。

把符號語言轉(zhuǎn)化為文字語言就是：當(dāng)自變量相反時，對應(yīng)的值也相反，說明函數(shù)f（x）是一個奇函數(shù)；當(dāng)自變量相反，對應(yīng)的值相等，說明函數(shù)f（x）是一個偶函數(shù)。

從以上文字語言分析中不難得出奇、偶函數(shù)相應(yīng)的圖像分別是關(guān)于原點對稱和關(guān)于y軸對稱的圖像。

由于函數(shù)的奇偶性是函數(shù)對稱性的一種特殊情況，因此將函數(shù)的奇偶性推廣后，可以將函數(shù)的對稱性定義描述為：定義域內(nèi)的任意一個x，都有f（a-x）=-f（a+x），那么函數(shù)f（x）關(guān)于點（a，0）對稱；反之，定義域內(nèi)的任意一個x，都有f（a-x）=f（a+x），那么函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=a對稱。

觀察到定義中自變量的取值分別為a-x和a+x，可得兩個自變量是以a為中點的自變量，一方面說明對稱性研究中定義域必須是關(guān)于a對稱的。另一方面可以拓展為以a為中點的兩個自變量。當(dāng)具備滿足條件的兩個自變量對應(yīng)的值為相反數(shù)或相等時，相應(yīng)的都可以得到定義中的結(jié)果。如f（2a-x）=f（x）表示f（x）關(guān)于直線x=a對稱；而f（2-x）=-f（3+x）表示f（x）關(guān)于點（2.5，0）對稱。

四、周期性的定義分析

課本中對函數(shù)的周期性定義的描述為：對于函數(shù)f（x），如果存在一個非零實數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有f（x+T）=f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T就叫這個函數(shù)的一個周期。

周期性中自變量的取值分別是x+T和x，而且x是定義域內(nèi)的任意一個數(shù)，其中的T是一個非零實數(shù)，既可以是正數(shù)又可以是負(fù)數(shù)。從x+T和x中可以看出這兩個變量的關(guān)系是間隔|T|個單位，它們對應(yīng)的值分別是f（x+T）和f（x）。根據(jù)定義，對應(yīng)值之間的關(guān)系是f（x+T）=f（x）。

據(jù)此分析可以得出周期性相應(yīng)的文字語言是：如果間隔為|T|個單位的兩個自變量對應(yīng)的值相等，那么函數(shù)f（x）就是周期函數(shù)。

由此可見，周期函數(shù)是以|T|為單位，圖像周而復(fù)始不斷重復(fù)出現(xiàn)。據(jù)此可得出，周期函數(shù)的周期不止一個，任意一個nT（n∈Z且n≠0）都可以表示該函數(shù)的一個周期。

將以上的分析整理成表格如下：

從中可以看出，在研究函數(shù)的表達(dá)形式時通常由研究范圍、定義域、自變量取值方法、對應(yīng)值的關(guān)系及所表現(xiàn)的圖像特征幾個方面考察，其間還包含符號語言、文字語言和圖像語言之間的相互轉(zhuǎn)化，這樣的函數(shù)形式分析方法同樣適用于其他函數(shù)形式的分析。