張 茜，陳建生，董海洲，滕兆明

(1.淮陰工學院 建筑工程學院，江蘇 淮安 223003； 2.河海大學 地球科學與工程學院，南京 210098；3.昆山市水利局，江蘇 昆山 215300)

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示蹤法測定井中滲透流速的廣義稀釋模型研究

張 茜1，陳建生2，董海洲2，滕兆明3

(1.淮陰工學院 建筑工程學院，江蘇 淮安 223003； 2.河海大學 地球科學與工程學院，南京 210098；3.昆山市水利局，江蘇 昆山 215300)

基于傳統(tǒng)稀釋公式和廣義稀釋公式存在的問題，對已有廣義稀釋公式在原模型基礎上進行數(shù)學推導方法改進，給出理論上的嚴格解析解，解決了原有公式的舍入誤差，簡化了公式形式。以固定高度水柱為研究對象，重新建立模型，給出新的水平滲透流速計算方法。結合北江大堤文獻資料給出具體應用結果，并與前人各公式進行對比分析，與考慮質量守恒和溶質彌散作用的公式結果相比誤差較小，很好地反映了工程實際情況，且在數(shù)據(jù)處理和公式應用上具備簡潔明了的優(yōu)勢，具有很好的工程應用價值。

示蹤法；滲透流速；垂向流；廣義稀釋原理；滲漏探測

1 研究背景

地下水流動的水平流速可以通過測定注入鉆孔中的示蹤劑濃度變化的方法來確定，現(xiàn)已有許多研究成果[1-3]。Kocherin于1916年首次提出該方法原理，當時采用普通食鹽溶液作為示蹤劑。后來研究人員對該方法進行了進一步發(fā)展和研究[4-7]。傳統(tǒng)示蹤法原理是將示蹤劑注入濾水管，并將濾水管放入檢測通道,濾水管中的水柱被少量放射性示蹤劑標記,地下水滲透流速影響示蹤劑稀釋速度,根據(jù)這種影響關系可以求出滲透流速,根據(jù)滲流速度的變化確定滲流場。此方法便于實施，可在鉆孔中獲取大量水文地質參數(shù)。研究理論從最初的點稀釋定理到廣義稀釋模型到考慮質量守恒和溶質彌散等改進，但均各有不足。

本文在廣義稀釋模型基礎上進行嚴格數(shù)學推導，重新給出了廣義稀釋模型的嚴格解析解，并從水柱穩(wěn)定角度重新建立模型，考慮水柱總水量受到垂向流和水平流的共同影響，推導出此時的水平滲透流速計算新公式。

2 基本理論

Moser給出了在孔中無垂向流時，單井中的滲透流速計算公式[4-5]，即

(1)

式中：r為鉆孔半徑；t為2次測量時間間隔；α為流場畸變系數(shù)；N0為t=0時的記數(shù)率；N為t時刻的記數(shù)率，現(xiàn)場利用核探測器測量給出。

式(1)是傳統(tǒng)點稀釋公式，沒有考慮垂向流的影響，但實際工程中垂向流的存在相當普遍，因此上述公式的應用受到了極大限制。陳建生等[7]在傳統(tǒng)稀釋法的基礎上考慮垂向流的影響，給出了廣義稀釋公式,即

Vf=

(2)

式中：vA,vB分別為A,B兩點的垂向流速;h為被測段含水層A，B兩點間的水柱高度。

式(2)考慮了垂向流的影響，應用更廣泛，該公式比傳統(tǒng)點稀釋公式更能揭露工程實際情況，計算結果更為可信。但由于該公式含有無窮項，在實際應用時存在舍入誤差，其精度在理論上有改進空間。

樊哲超等[8]則是在廣義稀釋模型基礎上考慮流速隨時間變化而推導了近似公式,即

(3)

該公式相比廣義稀釋公式在形式上更為簡潔，工程應用結果顯示計算結果與工程實際比較貼合，但在推導中也做了近似，理論精度上依然可以改進。

葉合欣[9]從質量守恒原理出發(fā)，利用微元法重新建模推出水平滲透流速計算公式,即

(4)

式中N(z,t)為對應深度為z的點在t時刻的示蹤劑計數(shù)。

式(4)模型新穎，計算結果與實際地質情況相一致，只是數(shù)據(jù)量較大時，求解較為復雜。

葉合欣等[10]又在此基礎上考慮了溶質彌散作用，進一步推導了滲透流速計算公式,即

(5)

式中αl為縱向彌散度。

式(5)在式(4)的模型基礎上考慮了溶質彌散作用，嚴密推導了流速計算公式，在工程實例中驗證表明彌散作用不可忽略。雖然忽略了孔中示蹤劑水平向彌散的影響，一定程度上影響了計算結果的精度，但此公式考慮因素最全面，結果最準確，但數(shù)據(jù)處理較復雜，實際應用比較繁瑣。

值得注意的是在廣義稀釋模型推導中采用泰勒級數(shù)展開，存在舍入誤差，本文在此基礎上通過數(shù)學分析重新推導式(2)精確解析解的形式，并從水柱穩(wěn)定角度重新建立模型，推導了新的水平滲透流速計算公式。

3 模型建立與公式的再推導

3.1 對于廣義稀釋公式的再推導

陳建生等[7]針對傳統(tǒng)稀釋法的局限推導了在有垂向流影響下的廣義稀釋公式，應用泰勒展開只取前2項，不僅加大舍入誤差而且使得結果項數(shù)繁多，應用復雜[7]，為了給出解析解，本文作如下推導。

假設一定量示蹤劑注入孔中水體內，止水塞間長度為h，孔徑為d，水平方向流入水柱和流出水柱的水流速度分別表為vU,vD;最初產(chǎn)生的濃度為C，試驗點地下水流穩(wěn)定；孔中被標定的圓柱體積V=d2h/4(如圖1)。

圖1 廣義稀釋模型計算示意圖[7]Fig.1 Schematic of the generalized dilution model[7]

假設條件有：示蹤劑瞬時與地下水混合均勻；不考慮濃度梯度的影響，即示蹤劑從體積V中逃逸僅因為水平流的影響；不考慮示蹤劑彌散作用；含水層中水不可壓縮；與A,B對應的含水層為均勻分布,水頭相同且穩(wěn)定；示蹤劑在孔的同一個正截面上濃度相同，在垂直方向的分布可不均勻。

考慮水柱高度h受到垂向流vA，vB影響而改變，則Q是一個隨時間變化的量，取決于A,B兩點垂向流的速度差, 即

(6)

考慮高度為h的稀釋水柱時,流入含水層下游的水量為

q=2rhvDt 。

(7)

通過薄層水柱內與流出含水層的水之間示蹤劑濃度近似相等的關系得到

(8)

當δq→0,δm→0時，有

(9)

兩邊同時求和得到：

(10)

(11)

式中:δq為δt時間內流出微水柱的水量;δm為帶走的溶質;△m為微水柱內示蹤劑的量;△Q為水量。

積分即得式(2)，而本文發(fā)現(xiàn)泰勒級數(shù)展開積分結果形式復雜，應用上有舍入誤差，并非精確解，為得到解析解采用分類討論積分。

當vA=vB時，有：

(12)

(13)

當vA≠vB時，有：

(14)

(15)

得到水平滲透流速計算公式為

(16)

綜上可得廣義稀釋公式可以統(tǒng)一表達如下：當vA=vB時，即式(1)；當vA≠vB時，即式(16)。

結合工程實際情況可以預見，垂向流速對于水平滲透流速的影響是連續(xù)的，即水平滲透流速不應在垂向流vA=vB時發(fā)生突變，因此其表達式也應該是垂向流的連續(xù)函數(shù)，即應該滿足對于垂向流速的連續(xù)性。鑒于此，對式(16)作連續(xù)性驗證。

為方便表示，設vA-vB=vv，代入式(16)則

(17)

當vA→vB時，有vv→0，于是

(18)

化簡即得點稀釋公式，即式(1)。可見式(16)在vA=vB時是點稀釋公式，滿足連續(xù)性要求，與事實吻合。于是廣義稀釋公式可以統(tǒng)一表達為式(16)。與式(2)對比，改進之處在于原有廣義稀釋公式應用泰勒展開，形式復雜，且只是近似意義上的解，本文式(16)則是通過分類討論，直接進行積分運算得到，形式簡單，且為精確解析解，在工程應用時避免繁雜多項帶來的舍入誤差。

圖2 水柱穩(wěn)定模型計算示意圖Fig.2 Schematic of water column stability model

3.2 模型的重新建立與推導

上一節(jié)所得式(16)是對廣義稀釋公式積分方法的改進，在鉆孔內微水柱中溶質濃度與該時刻流出微水柱的水所帶走的溶質的濃度近似相等，在鉆孔內選取dz高度的微水柱，如圖2所示，假設條件同上，為使示意圖具有一般代表性，與圖1所示含義相同，A處代表流入水柱的速度，B處代表流出水柱的速度，以便后續(xù)探討流速不同情況的適用條件。

上一節(jié)的推導改進都只考慮了流出水柱的水量q受到水平流速的影響，而工程實際情況是垂向流的存在對q也產(chǎn)生影響，取固定高度為h的水柱為研究對象，考慮水柱中流出水量q受到垂向流速和水平流的共同影響，則q的表達式為

q=2rhvDt+πr2(vB-vA)t ；

(19)

dq=2rhvDdt+πr2(vB-vA)dt 。

(20)

則Q為相對應高度h的整孔水柱水量,即

(21)

水量平衡有

(22)

將式(20)和式(21)代入式(10)得：

(23)

(24)

(25)

式中各變量意義與前文同，可以看到式(1)正是式(25)的一個特例。

可以發(fā)現(xiàn)，式(16)比式(2)有了理論推導上的改進，但計算模型一樣，考慮高度h的水柱內，總水量Q受到垂向流的影響，流出水柱的水量q受到水平流速的影響，而實際上對于h高度內的水柱總量來說，流出的水量q受到水平流和垂向流的混合影響，式(25)就是考慮了這種共同影響而推得的結果，應是更接近工程實際情況的解。

4 公式適用條件

本文所推導的式(16)和式(25)是對廣義稀釋公式研究的改進，但也有一定適用條件，在模型建立中都討論了垂向流的影響,即vA=vB時，若垂向流量相對水平流量太大，會給計算結果帶來較大誤差，定量研究意義不大，一般在垂向流量小于水平流量時適用性越好，當然越小越適用；vAvB時，為吸水層，此時應區(qū)分吸水模式，若是輻射狀徑向吸水，公式不適用，若垂向流與水平流量接近，則公式只能做定性參考，定量化意義不大，若垂向流遠小于水平流量，則在需要考慮流場畸變時，公式基本適用。

表1 試驗孔示蹤探測結果(孔半徑r=0.035 m，α=2)

5 工程實例的對比分析

通過式(1)—式(5)、式(16)、式(25)應用于工程實例的結果對比來說明式(25)的合理性，采用文獻[7]中某鉆孔示蹤劑探測資料，試驗孔位于廣州清遠石角鎮(zhèn)北江大堤，通過投放并測量示蹤劑濃度得到7條曲線，如圖3所示。

圖3 鉆孔中示蹤劑濃度變化圖[7]Fig.3 Variations of tracer concentration[7]

將相鄰峰值之間的含水層作為一個分層，共分為5層，為了提高垂向流速計算的精度，將兩峰值之間計算出的垂向流速看作其連線中點的流速，然后用多項式來擬合各個中點的值，利用得到的多項式關系來推求峰值深度對應的垂向流速值，見圖4。分別用式(1)—式(5)、式(16)、式(25)計算各層水平滲透流速，見表1、表2和圖5。

圖4 垂向流速擬合曲線Fig.4 Curve fitting of vertical velocity

圖5 各式計算結果對比Fig.5 Calculation results of the formulas

通過圖5可以發(fā)現(xiàn)，式(1)和式(2)結果很相近，但在整孔深度范圍內發(fā)現(xiàn)水平流速大小相差較大，與事實不符，因為式(1)沒有考慮垂向流，而本工程資料顯示該孔垂向流顯然不可忽略。

通過式(2)與式(16)對比可見兩式結果較為相近，式(16)更簡潔且更嚴謹，而式(3)則與式(16)相比偏離較大，可見式(3)所做的考慮并不必要，且由于近似推導而加大了誤差。

從整體上發(fā)現(xiàn)，式(1)、式(2)、式(3)、式(16)都是廣義稀釋模型的已有形式，本文式(16)最嚴謹且方便應用，但相比式(4)、式(5)，式(16)所得結果相差較大，最大數(shù)量級差別達到2級，與工程實際情況不符，而式(5)則比式(4)多考慮了彌散作用，因此計算流速結果顯示更為均勻，與地質資料表明的含水層性質均勻較為一致，更為可信。

表2 各公式計算結果

對比式(4)、式(5)、式(25)的結果發(fā)現(xiàn)流速比較均勻，且地質資料[11-12]顯示，該層顆粒分布較均勻，滲透性差距不大，因此在穩(wěn)定水位下的水平滲透流速也應相近，正與以上公式計算結果相符合，而式(4)顯示最大滲透流速與最小滲透流速比值為4.9，仍處于同一數(shù)量級，而式(7)相應之比為3.59，式(5)則最為穩(wěn)定，相應之比為1.7。從圖5可見式(25)與式(5)整體趨勢較相近，即與同時考慮質量守恒和溶質彌散作用的公式本質上相近，比較合理，較為真實地體現(xiàn)了整個含水層中的局部差異和整體均一性。說明式(25)計算結果可信，符合實際，且更客觀反映了工程實況，相比式(5)在形式上簡便易懂，操作方便，避免數(shù)據(jù)處理的繁冗和參數(shù)求解的麻煩，不僅是嚴格解析解，而且具有數(shù)據(jù)處理簡便的優(yōu)勢，適應工程應用需要。

6 結 語

在水文地質調查等方面，應用示蹤法測定地下水滲透流速的手段取得了極大成功，但傳統(tǒng)點稀釋公式受到垂向流等條件的限制，后來發(fā)展的廣義稀釋模型、基于示蹤劑質量守恒模型、考慮溶質彌散作用模型等都各有不足。本文在前人工作基礎上對廣義稀釋公式重新推導，給出了嚴格解析解，解決原有公式存在的舍入誤差，并建立水柱穩(wěn)定模型，推導了新的水平滲透流速計算公式。與前人成果進行對比分析，能夠得到更為豐富的更為貼近實際地質情況的含水層水平流速變化信息,客觀反映了工程實際情況，結果比較合理，且形式簡單，應用方便，避免了數(shù)據(jù)處理的繁冗和參數(shù)求解的麻煩，具有數(shù)據(jù)處理優(yōu)勢，在工程應用中簡便易行，為獲取和求解一些水文地質參數(shù)發(fā)揮一定工程應用價值。

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(編輯：陳 敏)Modified Generalized Dilution Model of Determining PermeabilityVelocity in Wells by Tracer Method

ZHANG Xi1，CHEN Jian-sheng2， DONG Hai-zhou2，TENG Zhao-ming3

(1.School of Architectural Engineering, Huaiyin Institute of Technology, Huaian 223003,China; 2.School of Earth Science and Engineering, Hohai University，Nanjing 210098,China; 3.Water Conservancy Bureau of Kunshan, Kunshan 215300, China)

On the basis of traditional and generalized dilution formulas, we took the existing problems into consideration and deduced again based on the original model, removing the rounding errors of the original formula by giving the theoretically strict solutions. With water column of constant height, we deduced the new formula of horizontal seepage velocity. Taking the document data of Beijiang dike as an example, we calculated the results by using the proposed formula and compared the results with those by previous formulas. We found that our new formula result has small errors compared with those considering the mass conservation and solute dispersion effect. The proposed formula reflects the actual project well and has the advantage of simple form in application and data processing, with good engineering application value.

trace method; permeability velocity; vertical flow; generalized dilution principle; leakage detection

2015-08-05 ；

2015-10-29

國家自然科學基金青年基金項目(50809024)；江蘇省自然科學基金項目(BK2009343)；教育部博士點基金項目(20090094110007)

張 茜(1985-)，女，江蘇宿遷人，助教，碩士，主要從事土木結構和巖土體滲流計算與測試研究，(電話)0517-83591177(電子信箱)zhangxi_008@sina.com。

陳建生(1955-)，男，江蘇泗陽人，教授，博士，博士生導師，主要從事水庫堤壩滲漏探測與加固關鍵技術，地面突水、礦山透水災害致災機制與預警，隧道、邊坡的穩(wěn)定性監(jiān)測和分析等研究，(電話)025-83787734(電子信箱)jschen@hhu.edu.cn。

10.11988/ckyyb.20150662

2016,33(10):126-130,139

TU43

A

1001-5485(2016)10-0126-05