駱忠強，朱立東

(電子科技大學(xué)通信抗干擾技術(shù)國家級重點實驗室　成都　611731)

基于廣義協(xié)方差張量分解的欠定盲辨識算法

駱忠強，朱立東

(電子科技大學(xué)通信抗干擾技術(shù)國家級重點實驗室成都611731)

針對欠定盲源分離中的混合矩陣估計問題，該文利用廣義協(xié)方差的統(tǒng)計和結(jié)構(gòu)性質(zhì)以及塔克分解的壓縮特征，提出了一種新的欠定盲辨識算法。首先基于廣義協(xié)方差矩陣建立核函數(shù)，再將核函數(shù)堆疊成三階張量模型，然后應(yīng)用塔克分解求混合矩陣。該算法不僅具有優(yōu)良的辨識性能，而且具有較低的實現(xiàn)復(fù)雜度。最后，仿真實驗證明了該文算法的有效性。

盲源分離;累積量;廣義協(xié)方差;張量分解;欠定盲辨識

近年來，盲源分離理論在無線通信領(lǐng)域中的應(yīng)用受到了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注[1-4]。盲源分離是指僅從觀測混合信號中分離或提取期望的源信號和辨識混合矩陣。在盲源分離技術(shù)的輔助下，無線通信系統(tǒng)中頻繁使用的導(dǎo)頻序列可以免除或減少，進而提高系統(tǒng)的頻譜效率；同時在先驗信息缺乏的情況下，如信道未知或不可預(yù)知干擾，也能成功地分離出源信號信息，提高系統(tǒng)源信號恢復(fù)的魯棒性。因此，研究無線通信盲分離方面的問題具有重要意義。

本文關(guān)注欠定盲源分離中欠定盲辨識問題，它對于實現(xiàn)欠定中的源信號恢復(fù)是至關(guān)重要的一步?，F(xiàn)有的欠定盲辨識算法可以大致分為兩大類，第一類是基于源信號稀疏性的聚類算法[4,5]，需要假設(shè)信源是稀疏性的或可以通過一些預(yù)處理線性變換得到稀疏源信號，如短時傅里葉變換、小波變換等。典型的代表性算法是degenerate unmixing estimation technique(DUET)算法和time frequency ratio of mixtures (TIFROM)算法[4-5]。這類算法依據(jù)觀測混合信號稀疏化后的散點圖特點，利用聚類算法窮舉搜索來估計混合向量空間，從算法復(fù)雜度看，代價較高，尤其當(dāng)觀測通道數(shù)大于2時，實現(xiàn)比較困難。而且源的稀疏性要求一定程度上限制了此類算法的在實際中的應(yīng)用范圍。第二類算法是基于統(tǒng)計特征代數(shù)結(jié)構(gòu)的張量分解[6-10]，這類算法借助張量模型分解的唯一性特性，不需要源的稀疏性約束，應(yīng)用范圍更廣。此類算法的一般原則是，首先基于統(tǒng)計特征建立一系列核函數(shù)，接著利用核函數(shù)堆疊三階張量模型，最后利用平行因子分解求混合矩陣。典型的代表算法有基于二階協(xié)方差的second-order covariance based blind identification of undertetermined mixtures(SOBIUM)[6]算法和基于四階累積量的fourth-order cumulant based blind identification of undertetermined mixtures (FOBIUM)[7]算法。對于上述算法的核函數(shù)建立，由于四階累積量的估計較為復(fù)雜，且需要較長的采樣才能更好地提取統(tǒng)計信息；而二階協(xié)方差又失去了四階累積量抗噪聲性。實際中為了更好地提取統(tǒng)計信息需要建立大量的核函數(shù)，再利用平行因子分解，其實現(xiàn)的復(fù)雜度較高。

基于提取更優(yōu)的統(tǒng)計信息和降低上述算法的復(fù)雜度兩方面考慮，本文提出了兩個新的策略。一方面，基于一種新的統(tǒng)計方式建立核函數(shù)，即廣義協(xié)方差[11-12]，能夠更好地從采樣的數(shù)據(jù)中提取統(tǒng)計信息，它不僅含高階的統(tǒng)計信息，而且維持著二階協(xié)方差簡單的二維數(shù)值結(jié)構(gòu)。另一方面，借助塔克(Tucker)張量分解[8,13]用于估計混合矩陣，原來構(gòu)建的張量模型被壓縮為一個低維的核張量，再進行基于交替最小二乘的平行因子分解估計混合矩陣，可以有效地減少計算量和運行時間，降低算法的復(fù)雜度。理論分析和仿真實驗證明了提出的算法generalized covariance based blind identification of undertetermined mixtures (GCBIUM)與SOBIUM和FOBIUM算法相比，在計算復(fù)雜度和辨識性能上具有更好的競爭優(yōu)勢。

1　問題描述

考慮P個窄帶統(tǒng)計獨立信源的含噪聲混合，由N個傳感器組成的天線陣列接收。接收混合信號可以表示為[6-7]：

式中，隨機向量x(t)∈CN表示傳感器陣列觀測的混合信號；C表示復(fù)數(shù)域；隨機向量s(t)∈CP表示源信號；sp(t)表示s(t)的第p分量；A表示N×P維的混合矩陣，描述了信源被傳感器接收的信道傳輸特性；ap表示混合矩陣的第p個列向量；n(t)表示零均值復(fù)高斯。盲辨識的目的是指從觀測的混合信號x(t)中估計出混合矩陣A。當(dāng)觀測的傳感器數(shù)目少于觀測的信源數(shù)，即N＜P時，是一種在無線通信中比較重要的接收模型，也是現(xiàn)今盲源分離問題的熱點和難點問題。

2　欠定盲辨識算法

2.1廣義協(xié)方差相關(guān)理論

定 義：設(shè)隨機變量x∈CN，映射函數(shù)關(guān)于x在任意處理點τ∈CN的廣義互協(xié)方差定義為[11]：

當(dāng)對于相同的映射函數(shù)即廣義自相關(guān)函數(shù)表示為：

式中，E[·]表示期望；(·)H共軛轉(zhuǎn)置運算。當(dāng)處理點取為0向量時，廣義協(xié)方差和廣義均值即為常規(guī)的協(xié)方差和均值，和它們具有相似的性質(zhì)。當(dāng)g( x)=x時，廣義協(xié)方差矩陣與x的第二廣義特征函數(shù)在處理點τ的Hessian矩陣相同。下面給出兩個需要用到的廣義協(xié)方差性質(zhì)[11]。

1)線性變換

設(shè)A∈CN×P和n∈CN是線性變換矩陣和向量，s∈CP為隨機變量，如果存在線性變換x=As+n，那么有廣義協(xié)方差矩陣：

2)獨立性

如果s∈CP統(tǒng)計獨立，對所有存在的處理點τ，Ψs[ s;τ]是一個對角矩陣。

2.2Tucker分解求混合矩陣

根據(jù)前面廣義協(xié)方差矩陣的性質(zhì)，可以建立起核函數(shù)，表示混合矩陣與觀察混合信號的廣義協(xié)方差矩陣間的關(guān)系，即：

為了書寫的簡潔性又不失一般性，括號中省略了隨機變量，即式(6)與式(5)是相同的，且Ψs(AHτ)是對角矩陣?？紤]使用K個不同處理點τ1,τ2,…,τK的核函數(shù)提取統(tǒng)計信息，用于建立張量分解模型，表示為：

進一步可以表示向量外積形式：

圖1 張量規(guī)范分解

式中，aip是混合矩陣A的元素；(·)*表示共軛；°表示向量外積；和分別是A和D的列向量。式(9)是張量M分解為P個秩1分量之和，稱為平行因子分解(parallel factor model,PARAFAC)或規(guī)范/標(biāo)準(zhǔn)分解(canonical decomposition,CP)[6-7,13]，張量規(guī)范分解如圖1所示。式(9)中，各個秩1分量是由不同的信源對M的成分組成。對于張量信源分離意味著計算式(9)的分解形式，只要保證其是唯一性的分解，就可以辨識混合矩陣。張量分解的唯一性條件需要矩陣的Kruskal秩概念[6]，即矩陣存在任意的最大k列使其獨立的線性無關(guān)組。式(9)的唯一性分解條件，當(dāng)且僅當(dāng)滿足下列秩條件[6]：

式中，k(·)表示矩陣的Kruskal秩。標(biāo)準(zhǔn)的計算式(9)的分解方法是交替最小二乘(altenating least squares,ALS)算法，即最優(yōu)化代價函數(shù)：

為了保證分解算法具有強健的性能，不論是基于協(xié)方差矩陣或四階累積量，還是本文所提的廣義協(xié)方差建立核函數(shù)構(gòu)建張量M，為了聚集更多的統(tǒng)計信息，K的取值一般較大。但是，較大的K值會導(dǎo)致計算量過高，提高了復(fù)雜度，收斂速度降低。

為了保證統(tǒng)計信息的完善和降低復(fù)雜度，本文首先用Tucker分解將張量M壓縮成一個核張量，再進行標(biāo)準(zhǔn)的CP分解。Tucker分解相當(dāng)于三維的主成分分析，可以保證信息的完整性，不影響分離效果，可以降低計算復(fù)雜度。

圖2 張量塔克分解

記rank3(M)=rank(M3)=L ，L≤K ，則M是一個秩-(N,N,L)張量。因而，張量M的塔克分解稱為Tucker-1分解，如圖2所示，可以表示為：

因此核張量可以表示為：

因為式(13)的Tucker分解的第一和第二因子矩陣是單位矩陣，因此核張量T也是一個對稱張量。

圖3 核張量標(biāo)準(zhǔn)分解

同張量M與式(8)的分解形式相似，核張量T的規(guī)范分解如圖3所示，表示為：

2.3復(fù)雜度分析

一方面，考慮核函數(shù)來自不同的統(tǒng)計代數(shù)結(jié)構(gòu)。本文所提的GCBIUM算法和經(jīng)典的SOBIUM算法都是來自二維的代數(shù)結(jié)構(gòu)，分別是廣義協(xié)方差和協(xié)方差。FOBIUM來自四維的代數(shù)結(jié)構(gòu)，即累積量。因此從核函數(shù)觀點看，GCBIUM算法和SOBIUM算法具有相當(dāng)?shù)膹?fù)雜度，F(xiàn)OBIUM復(fù)雜度較高。

值得注意的是，為了聚集充分的統(tǒng)計信息，3種算法中，K值一般較大，然而通過Tucker壓縮后，核張量秩中L比K小了很多。而且Tucker壓縮的處理只需一次奇異值分解，相對于交替最小二乘則需要多次的迭代達到收斂，單次的奇異值分解相對多次的迭代可以不計，降低了計算復(fù)雜度。如張量M具有5× 5× 100維數(shù)，即K=100，壓縮的核張量T具有5× 5× 8維數(shù)，即L=8，因此復(fù)雜度降低了。從上述分析可知，提出的算法較SOBIUM和FOBIUM降低了計算復(fù)雜度。

3　仿真分析

為了說明提出算法的有效性，采用計算機仿真分析加以說明。為了比較性能，考慮SOBIUM和FOBIUM算法進行分析對比。以混合矩陣估計的相對誤差為性能指標(biāo)，分別在不同符號長度和不同信噪比條件下分析性能?；旌暇仃囅鄬φ`差性能指標(biāo)定義為：

圖4說明了在不同信噪比條件下的相對誤差性能指標(biāo)，數(shù)據(jù)符號數(shù)為1 000。從圖4可以得知，本文提出算法的性能優(yōu)于SOBIUM和FOBIUM算法。數(shù)據(jù)符號長度和信噪比水平影響了性能，因為統(tǒng)計信息的估計比較敏感。

圖4　不同信噪比條件下的相對誤差性能

圖5說明了采用不同符號數(shù)時3種算法的相對誤差性能指標(biāo)，信噪比為10 dB。根據(jù)圖5的仿真結(jié)果可以得知：在較長符號數(shù)情況下FOBIUM優(yōu)于SOBIUM算法；隨著符號數(shù)的變大，GCBIUM算法與FOBIUM有著相近的性能。

綜合上述結(jié)果，可以總結(jié)為以下原因：首先，比起SOUBIUM算法和本文所提算法，四階累積量在FOBIUM算法中需要更多的采樣聚集統(tǒng)計信息。另一方面，四階累積量是不敏感于高斯噪聲的。最后，廣義協(xié)方差能更好地提取統(tǒng)計信息且含有高階統(tǒng)計的信息，所以能夠優(yōu)化混合矩陣的估計性能。

圖5 不同符號個數(shù)條件下的相對誤差性能

4　結(jié) 束 語

本文使用新型的統(tǒng)計工具和塔克張量分解，提出一種的新的欠定盲辨識算法。利用廣義協(xié)方差矩陣建立核函數(shù)，比起基于協(xié)方差矩陣和四階累積量的核函數(shù)，能更好地提取統(tǒng)計信息，改善盲辨識的性能。利用塔克張量分解可以有效地降低計算復(fù)雜度，優(yōu)于現(xiàn)有的規(guī)范張量分解方法。下一步工作是研究基于廣義協(xié)方差張量分解的欠定盲源分離算法。

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編輯葉芳

Underdetermined Blind Identification Algorithm Based on Generalized Covariance and Tensor Decomposition

LUO Zhong-qiang and ZHU Li-dong
(National Key Lab of Science and Technology on Communications,University of Electronic Science and Technology of ChinaChengdu611731)

In view of the estimation problem of mixing matrix in the underdetermined blind source separation (UBSS),a novel underdetermined blind identification algorithm is proposed. This proposed algorithm employs the statistical and structure properties of generalized covariance and the compressive characteristic of Tucker decomposition. Firstly,the core functions are built based on generalized covariance matrix. Then the core functions are stacked as a three-order tensor,and the tucker decomposition of constructed tensor is executed to estimate the mixing matrix. The proposed algorithm has not only the better identification performance,but also the lower computational complexity. At last,the simulation experiments demonstrate the effectiveness of the proposed algorithm.

blind source separation;cumulant;generalized covariance matrix;tensor decomposition; underdetermined blind identification

TN911.7

A

10.3969/j.issn.1001-0548.2016.06.003

2015 ? 3 ? 23;

2015 ? 10 ? 23

國家自然科學(xué)基金(61179006)；國家863項目(2012AA01A502)；四川省科技支撐計劃(2014GZX0004)

駱忠強(1986 ? )，男，博士生，主要從事無線通信、盲信號處理研究.