☉江蘇省海安縣曲塘中學(xué)　徐成武

實(shí)施教學(xué)拓展提升教學(xué)效益

☉江蘇省海安縣曲塘中學(xué)徐成武

拓展探究是激發(fā)學(xué)生問(wèn)題意識(shí)、培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造能力的有效手段，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的拓展探究活動(dòng)為學(xué)生理解問(wèn)題、拓寬解題思維提供了較大的空間.通過(guò)思維活動(dòng)的延伸與深入逐步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和情感能力，以及獲得對(duì)于問(wèn)題更為深入的認(rèn)識(shí)，因此在教學(xué)活動(dòng)中得到廣泛的認(rèn)可.本文就高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中關(guān)于拓展活動(dòng)的幾個(gè)方面略作探討.

一、拓展問(wèn)題層次，搭建思維橋梁

數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程，同時(shí)也是一種不斷提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程，教師在教學(xué)中，針對(duì)某個(gè)知識(shí)點(diǎn)或題型，適時(shí)、有效地利用學(xué)生分析問(wèn)題后的資源和思維成果，進(jìn)行深入的拓展、延伸，往往可以促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步的深入思考，探究問(wèn)題的根源、本質(zhì)，最大程度地將該類問(wèn)題的價(jià)值最大化.

案例1設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（-5，0）、（5，0）.直線AM、BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是-，求點(diǎn)M的軌跡方程.

這是人教A版選修2-1中的一道探究題.學(xué)生根據(jù)題目條件不難求出點(diǎn)M的軌跡是橢圓，其方程為1（x≠±5）.

若教師以此為契機(jī)進(jìn)行拓展追問(wèn)，?？杉ぐl(fā)學(xué)生的求知欲，積極性自然也會(huì)被調(diào)動(dòng)起來(lái).

學(xué)生通過(guò)動(dòng)筆求解，發(fā)現(xiàn)曲線方程變成了雙曲線

追問(wèn)2：你發(fā)現(xiàn)曲線方程與斜率之積之間的關(guān)系了嗎？

細(xì)心的同學(xué)就會(huì)發(fā)現(xiàn)a2、b2與斜率之積的關(guān)系，即

十九大領(lǐng)航新嫩江，新時(shí)期的工會(huì)工作就要體現(xiàn)新作為。嫩江縣森林消防大隊(duì)工會(huì)緊跟時(shí)代步伐，準(zhǔn)確把握政治方向，為了實(shí)現(xiàn)構(gòu)建全省縣級(jí)撲火專業(yè)樣板隊(duì)的目標(biāo)，在縣總工會(huì)和大隊(duì)黨委的正確領(lǐng)導(dǎo)下，以森防工作為中心，切實(shí)改進(jìn)工會(huì)自身建設(shè),把“民主管理”作為加強(qiáng)和發(fā)揮工會(huì)作用的重要載體和平臺(tái)，廣大森防會(huì)員依法享有知情權(quán)、參與權(quán)和監(jiān)督權(quán)，成為職工之家真正的主人,實(shí)現(xiàn)了森防工作和工會(huì)工作和諧發(fā)展的良好格局。

追問(wèn)3：在追問(wèn)2的基礎(chǔ)上可得出什么結(jié)論？

結(jié)論1：設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（-a，0）、（a，0）（或（0，-a）、（0，a）），直線AM、BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是

結(jié)論2：設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（-a，0）、（a，0）（或（0，-a）、（0，a））.直線AM、BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是則點(diǎn)M的軌跡是橢圓，其方程為則點(diǎn)M的軌跡是雙曲線，其方程為

點(diǎn)評(píng)：針對(duì)這個(gè)基本問(wèn)題的三個(gè)追問(wèn)，利用了學(xué)生解題后的靈感，將問(wèn)題引向縱深，提升了學(xué)生的思維品質(zhì)，使得教師的教學(xué)不單單是傳授書(shū)本知識(shí)，而是在問(wèn)答之間發(fā)展了學(xué)生的技能，真正地提高了解題教學(xué)的效能.在學(xué)生順利解決第一問(wèn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行開(kāi)發(fā)利用，不斷進(jìn)行拓展、延伸，形成問(wèn)題鏈，從而不斷激活和拓展學(xué)生的思維，促進(jìn)他們深入探究，成為提高教學(xué)效能的有效手段.

二、問(wèn)題變式探究，拓展學(xué)生思維

在保持問(wèn)題本質(zhì)特征不變的情況下，遷移問(wèn)題的非本質(zhì)的屬性，設(shè)計(jì)出一系列的變式問(wèn)題，形成問(wèn)題鏈.不同的變式設(shè)計(jì)可以提升學(xué)生的思維層次，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和創(chuàng)造性.

分析：本題求解的關(guān)鍵是將條件“對(duì)任意x1∈［0，1］，總存在x2∈［0，1］，使得f（x1）=g（x2）成立”轉(zhuǎn)化為“y=f（x）（x∈［0，1］）的值域是y=g（x）（x∈［0，1］）的值域的子集”.難點(diǎn)在于對(duì)條件中的“任意”和“存在”這些關(guān)鍵詞的正確理解，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題處理.本題難點(diǎn)在于對(duì)條件中的“任意”和“存在”這些關(guān)鍵詞的準(zhǔn)確理解.

解答完此題后，教師可針對(duì)該問(wèn)題作如下的變式，以檢驗(yàn)學(xué)生能否正確地應(yīng)用這些的含義將問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化

變式1：將問(wèn)題改為“若對(duì)任意的x1∈［0，1］，總存在唯一的x2∈［0，1］，使得f（x1）=g（x2）成立”.

變式2：將問(wèn)題改為“若對(duì)任意的x1∈［0，1］，總存在x2∈［0，1］，使得f（x1）≤g（x2）成立.”

分析：由題意，函數(shù)y=g（x）在［0，1］上的函數(shù)值不小于函數(shù)y=f（x）在x∈［0，1］的任意值即可，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=g（x）在［0，1］上的最大值大于等于函數(shù)y=f（x）在x∈［0，1］上的最大值.

變式3：將問(wèn)題改為“若對(duì)任意的x1∈［0，1］，任意的x2∈［0，1］，都有f（x1）≤g（x2）成立”.

分析：題目變成恒成立問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為y=g（x）在［0，1］上的最小值大于等于y=f（x）在x∈［0，1］上的最大值.

點(diǎn)評(píng)：本題的三個(gè)變式題與原題從表面上看變化不大.但從解題思維上看，確有很大的差別.通過(guò)對(duì)學(xué)生進(jìn)行形似質(zhì)異問(wèn)題訓(xùn)練，可使得學(xué)生能很好地把握問(wèn)題本質(zhì)，并提高數(shù)學(xué)教學(xué)的效率與效果.

三、解題思路發(fā)散，促進(jìn)思維靈活

解題思路的拓展就是針對(duì)某一問(wèn)題求解而形成的不同思維層次與水平的不同解法，一題多解是建立在對(duì)問(wèn)題深入思考的結(jié)果之上的，也是對(duì)知識(shí)靈活性的一個(gè)檢驗(yàn).一題多解的教學(xué)對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)能力有著至關(guān)重要的作用，能促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)的思維能力達(dá)到最優(yōu)化.

解法1：（正面求解，利用數(shù)量積公式）利用數(shù)量積的定義，由三角形為等邊三角形且可知點(diǎn)M為三角形的重心，所以所以

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題目條件，判斷出點(diǎn)M為三角形的重心，是問(wèn)題求解的關(guān)鍵.利用重心性質(zhì)定理可直接求出兩向量的模長(zhǎng)和夾角，進(jìn)而問(wèn)題得解.

點(diǎn)評(píng)：未知化已知是解題的常用策略.此類問(wèn)題常借助向量加法與減法的三角形法則，可實(shí)現(xiàn)已知與未知的轉(zhuǎn)化.

解法3：（幾何問(wèn)題代數(shù)化）坐標(biāo)法是解答幾何問(wèn)題的有效手段，也體現(xiàn)了數(shù)與形之間的緊密結(jié)合.建立以BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，BC所在的直線為x軸的直角坐標(biāo)系，則所以

點(diǎn)評(píng)：數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用較多的是以形助數(shù)，這只是數(shù)形結(jié)合的一個(gè)層面.另一個(gè)層面就是以數(shù)解形，而坐標(biāo)法就是最好的體現(xiàn).

點(diǎn)評(píng)：一題多解反映了對(duì)某一問(wèn)題認(rèn)知的思維的不同層次與水平，這些解法中除了一般的解法，難免有一些特殊的解法，其中還會(huì)產(chǎn)生一些超出傳統(tǒng)思維的解法，甚至出現(xiàn)跨越學(xué)科知識(shí)的思路，因此解題思路的拓展教學(xué)有助于提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的綜合應(yīng)用能力，增強(qiáng)對(duì)知識(shí)應(yīng)用的靈活性.

以上對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)中三個(gè)方面的拓展有助于提升學(xué)生認(rèn)知的創(chuàng)造性和發(fā)散性，提高教學(xué)的質(zhì)量.在教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)進(jìn)一步地加大對(duì)問(wèn)題的研究力度，設(shè)計(jì)頗具開(kāi)放性的問(wèn)題，一題多解，一題多變，將學(xué)生置于探索、發(fā)現(xiàn)的思維情景中，激發(fā)學(xué)生發(fā)散性思維，培養(yǎng)其勇于探索的精神.