☉重慶市潼南中學(xué)?！≠?lài)雪洪

對(duì)一道全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題的再探究

☉重慶市潼南中學(xué)校賴(lài)雪洪

近日，筆者拜讀了焦宇老師的文章《一道全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題的探究》（下稱(chēng)文1），讀后受益匪淺.同時(shí)，對(duì)文1也作了一些思考，算作是對(duì)焦老師文章的一個(gè)呼應(yīng)，以及與焦老師的商榷.

一、賽題展示

題目（2014年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷第11題）如圖1所示，橢圓Γ：是橢圓Γ上的兩點(diǎn)，直線l1：x=-2，l2：y=-1.P（x0，y0）（x0>0，y0>0）是橢圓Γ上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，l3是過(guò)點(diǎn)P且與橢圓Γ相切的直線，C、D、E分別是直線l1與l2、l2與l3、l1與l3的交點(diǎn).求證：三條直線AD、BE、CP共點(diǎn).

圖1

二、解法探究

焦老師在文1中給出了4種證明方法，下面筆者再給出一種簡(jiǎn)單易懂的方法.

思路：利用橢圓參數(shù)方程及塞瓦定理的逆定理證明.

證明：設(shè)P（2cosα，sinα），則直線l3的方程為sinα·y=1.

則易得C、D、E三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-2，-1），

根據(jù)塞瓦定理的逆定理，知三條直線AD、BE、CP共點(diǎn).

三、命題推廣

焦老師在文1的最后對(duì)原賽題進(jìn)行了推廣，得到兩個(gè)結(jié)論.

結(jié)論2已知圓W：x2+y2=r2（r>0），直線l1：x=-r、l2：y= -r與圓W分別相切于點(diǎn)A、B，動(dòng)直線l3與圓W相切于點(diǎn)P（不同于點(diǎn)A、B）.若直線l1與l2、l2與l3、l3與l1分別相交于點(diǎn)C、D、E，則三條直線AD、BE、CP共點(diǎn).

文章最后焦老師又指出：“結(jié)論對(duì)于雙曲線、拋物線都不適用.”這種說(shuō)法是不全面的，焦老師僅僅考慮了直線l1、l2與坐標(biāo)軸垂直的情形，實(shí)質(zhì)上該賽題可以看作是葛爾剛（Gergonne）點(diǎn)（連接三角形的頂點(diǎn)和內(nèi)切圓與對(duì)邊切點(diǎn)的直線交于一點(diǎn)，此點(diǎn)稱(chēng)為葛爾剛點(diǎn)）在圓錐曲線中的推廣.

在給出推廣結(jié)論和證明之前，我們先介紹一下圓錐曲線的阿基米德三角形及其性質(zhì)，并證明這個(gè)性質(zhì).

圓錐曲線的阿基米德三角形：由圓錐曲線的弦及過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形稱(chēng)為圓錐曲線的阿基米德三角形.

橢圓（雙曲線）的阿基米德三角形性質(zhì)：若△PAB為橢圓（雙曲線）的阿基米德三角形，則OP平分線段AB（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

拋物線的阿基米德三角形性質(zhì)：若△PAB為拋物線的阿基米德三角形，過(guò)P作拋物線對(duì)稱(chēng)軸的平行線，則此平行線平分線段AB.

由于證明過(guò)程類(lèi)似，筆者僅給出橢圓的阿基米德三角形性質(zhì)的證明.

圖2

①當(dāng)x0=0時(shí)，由橢圓對(duì)稱(chēng)性易知結(jié)論成立；

②當(dāng)x0≠0時(shí)，設(shè)A（x1，y1），B（x2， y2），則切點(diǎn)弦AB的方程為

綜合①、②知，OP平分線段AB.

定理1若△ABC的三邊AB、BC、CA（或其延長(zhǎng)線）與橢圓分別相切于點(diǎn)D、E、F，則AE、BF、CD三線共點(diǎn).

這里僅證△ABC的內(nèi)切橢圓情形，外切橢圓情形類(lèi)似可證.

證明：如圖3所示，連接OA、OB、OC、OD、OE、OF、 DE、EF、FD.

圖3

根據(jù)塞瓦定理的逆定理知，AE、BF、CD三線共點(diǎn).

定理2若△ABC的三邊AB、BC、CA（或其延長(zhǎng)線）與雙曲線分別相切于點(diǎn)D、E、F，則AE、BF、CD三線共點(diǎn).

證明過(guò)程類(lèi)似定理1，此處從略.

定理3若△ABC的三邊AB、BC、CA（或其延長(zhǎng)線）與拋物線分別相切于點(diǎn)D、E、F，則AE、BF、CD三線共點(diǎn).

圖4

證明：如圖4所示，過(guò)點(diǎn)A、B、C作x軸的平行線，分別交DF于點(diǎn)P、M、N.

由拋物線的阿基米德三角形性質(zhì)知，AP平分線段DF，BM平分線段DE，CN平分線段EF.

由橢圓的阿基米德三角形性質(zhì)知，直線OA平分線段FD，直線OB平分線段DE，直線OC平分線段EF.

根據(jù)塞瓦定理的逆定理知，AE、BF、CD三線共點(diǎn).

1.焦宇.一道全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題的探究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2015（3）.

2.林國(guó)夫.圓錐曲線中的切點(diǎn)弦及其方程［J］.數(shù)學(xué)通訊（上），2011（1-2）.