☉廣西柳州高級中學　吳佐慧

☉湖北大學　劉合國

高中數(shù)學教學策略——復習課的視角

☉廣西柳州高級中學吳佐慧

☉湖北大學劉合國

一、引言

波利亞認為數(shù)學課的目的是教會年輕人思考，不僅要教學生證明問題、提出問題，甚至也要教他們猜想問題.我們作為一線數(shù)學教師，更應該貫徹這種思想.在數(shù)學教學過程中，注重各種知識內(nèi)在聯(lián)系的同時也要注重教學策略.在課堂教學中，教師應用適當?shù)慕虒W策略對知識進行加工重組，引導學生去發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，培養(yǎng)學生的問題意識并激起學生的求知欲，以引起學生對數(shù)學的興趣，進而不斷提高數(shù)學教學的效率.

本文將從復習課的視角對如何注重教學策略加以解讀.在日常教學中，很多老師覺得復習課很難上，關(guān)鍵是復習課上的知識點都是已經(jīng)學過的，教學設計得不好就很難激起學生的興趣及求知欲.所以復習課上，我們的主要任務是引導學生對所學數(shù)學知識進行系統(tǒng)的歸納整理.通過問題引入、題型設計建立起不同題型、知識的聯(lián)系，讓學生有全新的認識，不斷提高他們分析問題、提出問題、解決問題的能力，并有意識地培養(yǎng)他們科研、創(chuàng)新的能力，為更高層次的學習打下堅實的基礎.

復習課不是死記硬背課，不是機械重復課，不是表演課.所以我們在教學時，要準確地把握教學要求，循序漸進地教學，不能搞一步到位，要追求通性通法，不追求特技.“數(shù)學根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也！”同時我們更應該注重教學策略，注重“數(shù)學情境與提出問題”的教學，找好問題，把更多的注意力放在核心概念、基本數(shù)學思想方法上，不斷地提高中學數(shù)學的教學效率與教學質(zhì)量.但只有教育工作者自身真正地理解好數(shù)學，才能不斷地使學生體會到數(shù)學簡潔、自然的特性，才能使學生養(yǎng)成良好的思維習慣.

二、實例

本部分通過對遞推數(shù)列通項公式的教學設計，具體地展示應如何應用合適的教學策略引導學生去思考問題，去進行總結(jié)歸納.

關(guān)于遞推數(shù)列的教學，高中老師常見做法是歸納題型、總結(jié)技巧、印發(fā)學案，讓學生被動接受，以后再生搬硬套.這樣歸納題型，誠然有其應試的好處，但學生并不知道其來龍去脈，并不能弄清楚為什么要這樣出題.所以在教學中，如果沒有以思想方法為主線，就會顯得雜亂無章.學生只能死記硬背，若題型稍微有些變化，很多學生就沒有思路，沒有方法了.

數(shù)列題型很多，大部分學生不知道其來歷，只是一味地死記硬背，這樣的效果可想而知.所以在教學過程中，要追根溯源，講解每種方法的來歷及其相互關(guān)聯(lián).不要怕花時間，也只有在這上面花的時間到位了，學生的理解就會更透徹，記憶就會更長久.

達到這樣效果的重要前提就是授課教師能理解數(shù)學問題的本質(zhì)，并發(fā)現(xiàn)問題之間的相互關(guān)聯(lián).只有這樣才能使學生學得輕松，才能使學生體會到數(shù)學自然、簡潔的魅力.接下來就以數(shù)列遞推關(guān)系式為例給出教學設計.

數(shù)列可以看作一個定義域為正整數(shù)集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函數(shù)，當自變量從小到大依次取值時，對應的一列函數(shù)值，而數(shù)列的通項公式也就是對應函數(shù)的解析式.所以在數(shù)列教學過程中要不斷體現(xiàn)并強化這種函數(shù)的思想.用函數(shù)的觀點認識數(shù)列，通過化歸來分析處理數(shù)列問題.

先引導學生回顧中學階段所學過的函數(shù)類型：常數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、高次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等.在后面的教學中我們會發(fā)現(xiàn)幾乎所有題型都是在這些函數(shù)中變形.

問題A1若數(shù)列{an}滿足an-an-1=1（n≥2），a1=1，求通項公式an.

解：因為an-an-1=1（n≥2），所以a2-a1=1，a3-a2=1，…，an-an-1=1.由累加法可得an-a1=（n-1）×1，則an=n.

因為a1=1也滿足上式，所以an=n.

本題的方法很多，可直接把數(shù)列{an}當成等差數(shù)列來求解，我們也可以用上面的方法，通過這種方法再次回顧等差數(shù)列通項公式的一種推導方法：累加法.

接下來引導學生思考，在問題A1中an=an-1+1（n≥2），其中“1”是常函數(shù)，那我們能不能把它換成已經(jīng)學過的其他函數(shù)？比如一次、二次、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)等.

問題A2若數(shù)列{an}滿足an=an-1+n（n≥2），a1=1，求通項公式an.

解：因為an-an-1=n（n≥2），所以a2-a1=2，a3-a2=3，…，an-an-1=n.由累加法可得an-a1=2+3+…+n，

問題A3若數(shù)列{an}滿足an=an-1+n2（n≥2），a1=1，求通項公式an.

解：因為an-an-1=n2（n≥2），所以a2-a1=22，a3-a2=32，…，an-an-1=n2.由累加法可得an-a1=22+32+…+n2，

問題A4若數(shù)列{an}滿足an=an-1+n3（n≥2），a1=1，求通項公式an.

解：因為an-an-1=n3（n≥2），所以a2-a1=23，a3-a2=33，…，an-an-1=n3.由累加法可得an-a1=23+33+…+n3，

注1：通過問題A3和問題A4，復習一下an=n2以及an=n3的前n項和公式.

問題A5若數(shù)列{an}滿足1，求通項公式an.

又因為a1=1也滿足上式，所以

注2：通過問題，引導學生復習裂項相消法，例如：

問題A6若數(shù)列{an}滿足an=an-1+2n（n≥2），a1=1，求通項公式an.

解：因為an-an-1=2n（n≥2），所以a2-a1=22，a3-a2=23，…，an-an-1=2n.由累加法可得an-a1=22+23+…+2n，

所以an=1+22+23+…+2n=2n+1-3.

又因為a1=1也滿足上式，所以an=2n+1-3.

小結(jié)1：能用累加法的數(shù)列{an}要滿足an=an-1+f（n）（n≥2）的形式，且f（n）在現(xiàn)有知識水平下能求和.同學們自己也可以編出很多類似的習題.

在類型A中，an與an-1前的系數(shù)均為1，如果an與an-1前的系數(shù)不相等，又該如何處理？

問題B1若數(shù)列{an}滿足an+1=2an+1，a1=1，求通項公式an.

解：因為an+1=2an+1，所以an+1+1=2（an+1），因此數(shù)列{an+1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以an+1=2n，故an=2n-1.

問題B2若數(shù)列{an}滿足an+1=2an+3，a1=1，求通項公式an.

解：因為an+1=2an+3，，所以an+1+3=2（an+3），因此數(shù)列{an+3}是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，所以an+3=4·2n-1= 2n+1，故an=2n+1-3.

注3：在問題B1與B2中，an前面的系數(shù)是2，則可以通過“拼湊”轉(zhuǎn)化為一個新的等比數(shù)列再進行求解，但是如果不是2，拼湊就有些煩瑣.

（3）對數(shù)裂項：

問題B3若數(shù)列{an}滿足an+1=3an+1，a1=1，求通項公式an.

在解決這個問題之前，我們注意觀察：在問題B1與B2的解答過程中，拼湊得到的結(jié)構(gòu)有什么共性？對解決問題B3有什么啟發(fā)？

問題B1與B2均可轉(zhuǎn)化為an+1+t=2（an+t），那么問題B3能不能也應用類似的思想？不難發(fā)現(xiàn)：若an+1+t=3（an+t），則an+1=3an+2t與原等式an+1=3an+1比較可得2t=1，所以原等式變?yōu)橐虼藬?shù)列｝是首項為，公比為3的等比數(shù)列，所以·3n-1，故an=

以上方法即為待定系數(shù)法.我們通過引入一個參數(shù)t，就把問題轉(zhuǎn)化成基本的等比數(shù)列求解，其中用到了化歸的思想，即把一個新的問題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為我們所熟悉的問題加以求解.

小結(jié)2：形如an+1=pan+d（p≠1）均可用待定系數(shù)法來求解.上式中的d是常數(shù)，沿用前面的思路，d能否換成類似的一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)呢？

問題B4若數(shù)列{an}滿足an+1=4an-3n+1，，a1=2，求通項公式an.

解：應用待定系數(shù)法，令an+1+a（n+1）+t=4（an+an+t），即an+1=4an+3an+3t-a，與an+1=4an-3n+1比較系數(shù)可得a= -1，t=0，所以數(shù)列{an-n}是首項為1，公比為4的等比數(shù)列，則an-n=4n-1，即an=4n-1+n.

問題B5若數(shù)列{an}滿足an+1=3an+2n，a1=-1，求通項公式an.

解：應用待定系數(shù)法，令an+1+k2n+1=3（an+k2n），整理并比較系數(shù)可得an+1+2n+1=3（an+2n），

所以數(shù)列{an+2n}是首項1，公比為3的等比數(shù)列，則an+2n=3n-1，即an=3n-1-2n.

問題B6若數(shù)列{an}滿足an+1=2an+2n，a1=1，求通項公式an.

若按照問題B5的方法，則求不出相應的k，所以其解法如下：

解：將an+1=2an+2n兩邊同時除以2n+1，得則

同理，對于問題B5，也可以將an+1=3an+2n兩邊同時除以2n或3n+1分別得到再加以求解.顯然除以3n+1再用累加法求解相對簡潔.

小結(jié)3：形如an+1=pan+dn（p≠1，d≠1），兩邊同時除以dn或pn+1后再進行求解.

在前面的例題中，an+1、an或an-1的次數(shù)均為1次，如果換成-1或2，又該如何解決？將問題B1中的an+1與an換成于是有下面的問題：

問題C1若數(shù)列{an}滿足求通項公式an.

前面的問題，不管是整式型還是分式型，遞推關(guān)系式均為一次，且只有an+1與an兩項，如果遞推關(guān)系式為二次或者有an+2、an+1與an三項，又該如何解決呢？

問題D1若數(shù)列{an}滿足an+1=，a1=5，求通項公式an.

解：因為an+1=，所以兩邊同時取以5為底的對數(shù)得log5an+1=2log5an，則{log5an}是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以an=52n-1.

小結(jié)5：對于高次問題，我們主要的思想是降次，通過取對數(shù)或因式分解一般均能達到預期的效果.對于二階常系數(shù)線性齊次遞推數(shù)列，即形如an+2=pan+1+qan（其中p，q為常數(shù)，且q≠0），常用特征根法求解.課堂上只引導學生提出此類問題，課外興趣小組再進行深入探討與研究.課堂教學要讓學生學會思考問題，知道知識的來龍去脈，能夠提出問題.這比單純地教會學生做幾道題，死記一些解題技巧更有意義.

前幾類問題中都只有an，但有些問題會出現(xiàn)an與Sn的關(guān)系，對于這類問題通常應用的是an=Sn-Sn-1（n≥2）.

問題E1若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn=2an+ n2-4n，求通項公式an.

解：由Sn=2an+n2-4n，可得a1=3，且Sn-1=2an-1+（n-1）2-4（n-1）（n≥2），

兩式相減并整理可得an=2an-1-2（n-1）+3.

再由待定系數(shù)法得

an-2n+1=2［an-1-2（n-1）+1］，

所以數(shù)列{an-2n+1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以an=2n+2n-1，驗證n=1也滿足.所以an=2n+2n-1.

問題E2若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=1且滿足an+1=

則Sn=n·2n-1（n≥2），當n=1時，S1=a1=1也滿足等式，所以Sn=n·2n-1.

小結(jié)6：對于出現(xiàn)an與Sn的問題，要看題目的最終目標是什么.通過E1和E2不難發(fā)現(xiàn)，在E1中求an，則用升降足標法作差，即把Sn消掉；在E2中求Sn，則利用an+1=Sn+1-Sn把an+1消掉.所以這類題的主要思想是消元.

三、結(jié)束語

構(gòu)建主義認為學習是學習者主動通過新舊知識間反復的、雙向的相互作用，而建構(gòu)自己的經(jīng)驗體系的過程.教學中，教師要在充分做好“雙基”復習的基礎上，選擇一些基礎性、啟發(fā)性以及綜合性的例題.不要脫離基礎而搞所謂的拔高題，不過分地追求技巧教學.教師要引導學生從不同的角度對知識進行建構(gòu)、分析、理解，形成良好的教學認知結(jié)構(gòu).

教學過程中教師不能無視學生已有的經(jīng)驗以及思維習慣，而要把學生現(xiàn)有的知識經(jīng)驗、思維能力作為新知識的出發(fā)點，通過啟發(fā)與引導，讓學生不斷充實與完善自己的知識結(jié)構(gòu).我們要清楚地認識到教學過程不僅僅是知識、經(jīng)驗的傳遞，而是新舊知識間的轉(zhuǎn)換以及結(jié)構(gòu)重組處理的過程.所以在中小學的數(shù)學教學中我們要注意“數(shù)學情境與提出問題”.提出數(shù)學問題和解決數(shù)學問題是相互引發(fā)的，在解決數(shù)學問題和數(shù)學應用的過程中，已解決的問題和應用中的成果又可以作為提出新問題的數(shù)學情境，引發(fā)學生深一層次的探究與思考．

因此在上復習課時，教師不能以題海代復習，不能機械地羅列知識點以及例題.要注意教學策略，要選擇好題，并發(fā)現(xiàn)它們之間的內(nèi)在聯(lián)系；并要做到例題之間過渡自然，通過設立數(shù)學情境與提出問題，促進學生在課堂上積極地去思考，盡量做到學有所思，學有所悟.通過學習體會到數(shù)學的自然與美，使學生能夠舉一反三、觸類旁通，不斷提高學習效率.同時通過課堂教學，培養(yǎng)學生的問題意識，不斷提高學生提出問題與解決問題的能力，使學生形成對知識主動探究的態(tài)度，這樣的教學方式對于培養(yǎng)、提高學生的思維能力、數(shù)學創(chuàng)新能力具有重要的現(xiàn)實意義.這些都充分體現(xiàn)新課程改革的核心思想.本文也正是基于這樣的教學理念，選擇了一個具體的課程內(nèi)容（遞推數(shù)列通項公式），做了一些嘗試，并取得了一些實質(zhì)性的教學效果.同時也希望我們的這些思考能引發(fā)更多教育研究者對數(shù)學教學策略改進與提高的關(guān)注和研究.

1.［美］波利亞.數(shù)學的發(fā)現(xiàn)［M］.歐陽絳，譯.北京：科學出版社，1982.

2.李邦河.數(shù)學概念的發(fā)展［J］.數(shù)學通報（8），2009.

3.呂傳漢，汪秉彝．再論中小學“數(shù)學情境與提出問題”的數(shù)學學習［J］．數(shù)學教育學報，2002，11（4）．