（ii）如果對所有小于 y的 x∈I，P（x）成立，則有 I
中的 z>y，使得對所有小于 z的 x∈I，P（x）成立；
則對所有 x∈I，P（x）成立.
證：
（法 1）設開區(qū)間 I為（a，b），構造 X=
，其中，是使命題 P（x）成立的開區(qū)間，證明 X=（a，b）.
（法 2）證明一個適用于任意有序集的一般歸納原理，從中取有序集 I為開區(qū)間（ a，b），導出實數(shù)區(qū)間上的連續(xù)歸納法，再取 I為（-∞，+∞）時，就得到關于實數(shù)的連續(xù)歸納法，即定理 4.
對于實數(shù)閉區(qū)間的情形連續(xù)歸納法同樣成立，有趙文靜給出的關于實數(shù)的第二連續(xù)歸納法.
定理 4（實數(shù)閉區(qū)間上的連續(xù)歸納法）設 I是閉區(qū)間[a，
b]，P（x）是關于實數(shù) x∈I的一個命題，如果：
（i）有 x0∈I，當 I中的 a≤x≤x0時，P（x）成立；
（ii）如果對所有小于等于 y的 x∈I，P（x）成立，則有
I中的 z≥y，使得對所有小于等于 z的 x∈I，P（x）成立；
則對所有 x∈I，P（x）成立.
證：構造一個實數(shù) x的命題 P（x）*，使得在 x∈[a，b]時，P（x）*仍為 P（x），而當 xb時，P（x）*：x=x.根據(jù)定理 4可證明 P（x）*對一切實數(shù)成立，從而證明本定理成立.
在實際應用的過程中，還衍生出了其他形式的連續(xù)歸納法. 定理 5（絕對值形式的連續(xù)歸納法）設 P（x）是一個涉及實數(shù) x的命題，如果：
（1）有某個 x0>0，使對一切|x|（2）若對一切|x|0）有 P（x）成立，則有 z>y，
使得 P（x）對一切 |x|則對一切實數(shù) x，P（x）成立.
證：證集合 Σ={x|p（x）不成立 }=..
定理 6（“擴張”形式的連續(xù)歸納法）設 P（x）是定義在
（a，b）內的命題函數(shù)，如果
證：采用集合論的思想進行證明.設集合
，}a0≥S|x∈{x.
}不成立）x（P且
，a0∈（x，使對一切的）b，a（.
）b0，a0）有某個（l（a≥S|x
b0）有 P（x）成立；
）成立，x（P）有b，a（.
）bl，al∈（x）若對一切2（.
）2b，2a∈（x，使一切l(wèi)>b2b，l下證 Σ=..用反證法，若 Σ≠.，
由良序集必有昀小元知 Σ中有昀小元 m，滿足 m≥a0，且 P
（a，b）有 P（x）
成立.
那么對一切 x∈（a，b）有 P（x）成立.
證：證集合 Σ={x∈（a，b）|p（x）不成立}=..
應用連續(xù)歸納法，可以證明連續(xù)函數(shù)的確界存在定理、區(qū)間套定理、有限覆蓋定理、有界性定理、介值定理、昀大值定理等重要定理.
三、結語
本文歸納整理了數(shù)學歸納法各種形式的推廣，對證明方法進行了簡單的敘述，數(shù)學歸納法是數(shù)學證明中的重要而有力的工具，從正整數(shù)集到良序集，再到實數(shù)集，都有著各自的形式并得到了廣泛的應用，為數(shù)學證明提供了一種新思路，甚至可以使原本復雜的證明變得簡便.
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