【摘要】纖維束是物理金融中的重要組成部分，纖維束由基底和這個(gè)基底上的點(diǎn)相聯(lián)系的纖維構(gòu)成，也就是纖維依附基形成纖維束，而基依附于基底存在?；椎牟煌瑢?dǎo)致基的分布受到限制，進(jìn)而形成不同的纖維束。本文將纖維束進(jìn)行分解，以基底的差異為區(qū)分度對(duì)纖維束進(jìn)行了新的劃分，在此基礎(chǔ)上對(duì)應(yīng)于金融的不同資產(chǎn)組合。

【關(guān)鍵詞】纖維束 ?基底 ?纖維 ?資產(chǎn)組合

一、引言

美國(guó)次貸危機(jī)引發(fā)的金融危機(jī)席卷全球，由此引發(fā)全球金融危機(jī)、經(jīng)濟(jì)危機(jī)和歐債危機(jī)，至今其影響還存在。2008年之后，眾多經(jīng)濟(jì)物理學(xué)家和經(jīng)濟(jì)學(xué)家反思傳統(tǒng)經(jīng)濟(jì)學(xué)的弊端，呼吁對(duì)經(jīng)濟(jì)學(xué)理論進(jìn)行根本的科學(xué)革命，并指出金融物理學(xué)的理論意義和實(shí)踐價(jià)值[1]。

卡里爾·伊林斯基在《金融物理學(xué)——非均衡定價(jià)中的測(cè)量建?！芬粫杏靡环N非正式和直觀的說(shuō)法來(lái)介紹纖維束——纖維束就是由一個(gè)個(gè)相同的子空間組成的，這些子空間相互粘連在一起從而形成了整個(gè)空間。完全相同的子空間被稱作是纖維，而將這些纖維連接在一起的子空間被稱作是基底。這樣就可以認(rèn)為纖維束是纖維和基底的組合體[2]。

本文首先對(duì)纖維束進(jìn)行一定的分解，將纖維束分為基底和纖維兩部分，從基底的不同來(lái)介紹幾種纖維束類型，并將簡(jiǎn)單介紹纖維束如何適用于金融這一不斷變化的學(xué)科。

二、纖維束的劃分

（一）以線為基底的纖維束

這種類型的纖維束的基底是直線或者曲線，作為基的點(diǎn)都在這條線上，而以基相聯(lián)系的纖維則是互相平行的直線。

1.以直線為基底的纖維束。若纖維束的基底是一條直線，基是該直線上的點(diǎn)，纖維是與基底相交的無(wú)數(shù)條直線，那么我們可以勾畫出這樣的纖維束是二維的平面。選用最基礎(chǔ)簡(jiǎn)單的二維平面為例，以X軸作為基底，X軸上的點(diǎn)為基，而過基且與基底垂直的直線作為纖維，這些纖維是相互平行的（見圖1）。

圖1 橫軸是基底，與橫軸正交的直線是纖維，而交點(diǎn)則是基

圖1中的纖維束是最常見的平面纖維束，在這個(gè)圖中，該纖維束的維度就等于基底（B）的維度加上纖維（F）的維度，即dimE=dimB+dimF。這樣纖維束上任意一點(diǎn)的位置可以通過一對(duì)坐標(biāo)來(lái)描述，像是（b，f），其中，f是該點(diǎn)所在纖維上的位置，b是纖維本身所在基底上的位置。

2.以圓環(huán)為基底的纖維束。如果將作為基底的直線彎曲成一個(gè)圓環(huán)，二維平面的纖維束將變成一個(gè)管狀圖形，這將得到一個(gè)不同類型的纖維束。新的纖維束具有圓形的基底（B）和直線纖維（F）（見圖2）。

如果對(duì)以圓環(huán)為基底的纖維束上的位置用坐標(biāo)（b，f）進(jìn)行描述，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)坐標(biāo)出現(xiàn)了不同之處：在直線上的坐標(biāo)可以從負(fù)無(wú)窮大到正無(wú)窮大，圓上的坐標(biāo)卻只能在0到2π之間進(jìn)行變化，且坐標(biāo)0與2π坐標(biāo)是重合的。

（二）以面為底的纖維束

以面為底的纖維束的底面可以是平面也可以是曲面，可不管是平面還是曲面，纖維束上某點(diǎn)坐標(biāo)已經(jīng)不能簡(jiǎn)單用一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示纖維本身所在基底上的位置。這里，選用標(biāo)準(zhǔn)的纖維束（見圖3）——刺猬——來(lái)描述其特點(diǎn)。

圖3

此纖維束的基底是曲面，纖維是與基底相切的發(fā)散直線，可知想要用坐標(biāo)來(lái)描述纖維束上某點(diǎn)的位置，纖維上的位置是很好確定的，令我們?yōu)殡y的是纖維本身位置的確定。（B，F(xiàn)）代表纖維束上某點(diǎn)的坐標(biāo)，F(xiàn)是一個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)數(shù)，B不再是簡(jiǎn)單的數(shù)，而是B=B（b），需要用向量來(lái)表示的某一位置。此時(shí)，纖維束的維度也將發(fā)生變化，而這變化是跟隨基底的變化進(jìn)行的。

考慮到纖維束的基底是如此變化的，那是不是也存在以面為底纖維如此變化的纖維束呢？是的，這樣的纖維束（見圖4）也是存在的。

圖4

在這種纖維束中，基底和纖維都是變動(dòng)的，不再是簡(jiǎn)單的數(shù)值。纖維束的基底是曲面，所以要確定纖維的位置B=B（b），需要用向量來(lái)確定，纖維上的位置也需要用向量來(lái)表示F=F（b）。這樣的話，纖維束的維度跟隨兩個(gè)變量的變化而變化。

三、金融資產(chǎn)適用的纖維束

通過上面對(duì)纖維束的一些簡(jiǎn)單介紹，發(fā)現(xiàn)纖維束的基底和纖維可以分別當(dāng)做是單獨(dú)的坐標(biāo)系，而且這兩套坐標(biāo)系可以具有不同的意義。想要細(xì)致描述一個(gè)金融資產(chǎn)組合的特征，是需要兩套坐標(biāo)系的，一套用來(lái)描述組合的貨幣價(jià)值，另一套描述組合中各種資產(chǎn)所占的比例[3]。于是，我們可以用纖維束來(lái)描述資產(chǎn)組合或者將資產(chǎn)組合空間看作是一個(gè)纖維束。纖維束的基底是資產(chǎn)組合的所有可能結(jié)構(gòu)構(gòu)成，組合的所以可能的貨幣價(jià)值是基底上的半線纖維（組合的貨幣價(jià)值不能為負(fù)，故選用半線纖維）。一般纖維束的纖維是沒有交集的，他們之間是依賴基底進(jìn)行變換的，也就是基底實(shí)現(xiàn)了纖維之間的連通。

首先通過一個(gè)外匯的例子來(lái)了解纖維束是如何作用于金融資產(chǎn)組合的?，F(xiàn)在我們有五種貨幣，分別是英鎊、美元、德國(guó)馬克、法國(guó)法郎、日元，這五種貨幣我們是無(wú)法根據(jù)其紙張的數(shù)量來(lái)比較大小，只有將它們換算為同種貨幣才能進(jìn)行比較。選用最一般的以面為底的纖維束，在基底上任意選五個(gè)點(diǎn)及該點(diǎn)上的纖維作為某種貨幣，纖維的長(zhǎng)度代表該種貨幣的數(shù)量，這種纖維束（見圖5）就是資金空間。

圖5 資金空間纖維束

圖5中，標(biāo)著GBP、USD、DM、FF、JY的五個(gè)點(diǎn)便是基底上選的基，基上的纖維是半線纖維，而纖維之間的連通是依賴于基底進(jìn)行的。也就是想要進(jìn)行兩種或多種貨幣之間的換算或者比較，就需要將貨幣換算成同一種貨幣，而換算的過程就是在基底進(jìn)行的，基底實(shí)現(xiàn)了不同貨幣之間的跳躍。

接下來(lái)看一個(gè)凈現(xiàn)值計(jì)算的纖維束空間的例子。

首先簡(jiǎn)單介紹一下什么是凈現(xiàn)值法（NPV）。令NPV站住腳跟的原理是：資金有時(shí)間價(jià)值。時(shí)間價(jià)值可以通過貼現(xiàn)過程來(lái)展示。對(duì)不同貨幣標(biāo)明面值的資金進(jìn)行比較首先需要將它們兌換成同樣的貨幣，同理，貨幣相同時(shí)間不同的資金也不能直接進(jìn)行比較，需要將它們轉(zhuǎn)換到統(tǒng)一的時(shí)點(diǎn)上，而這一過程反映的就是資金的時(shí)間價(jià)值。

NPV公式：

P是當(dāng)前的一筆資金，F(xiàn)是T年后收到的資金數(shù)量，r是投資過程的利率

NPV過程中使用的利率被稱作是貼現(xiàn)率

貼現(xiàn)因子：

假設(shè)我們現(xiàn)在有100英鎊和一年后有103英鎊可選擇，這時(shí)候應(yīng)該怎樣選擇呢，肯定是選擇兩者相比更大的那個(gè)，但是這兩種選擇并不在同一時(shí)間上，我們無(wú)法比較出跨越時(shí)間的兩種選擇，也就是需要把這兩種選擇換算到同一時(shí)間上。這里就需要NPV公式，可以將當(dāng)前的100英鎊按一定的年利率換算到一年后的貨幣數(shù)量，或者將一年后的103英鎊換算為當(dāng)前一定的貨幣數(shù)量。同種貨幣關(guān)于時(shí)間的變化也存在纖維束空間（見圖6）。

圖6 凈現(xiàn)值纖維束空間

在凈現(xiàn)值纖維束空間里，基底實(shí)現(xiàn)了時(shí)間的跨越，也就是基底是資產(chǎn)組合的時(shí)間軸，纖維則是不同時(shí)間的貨幣數(shù)量，貼現(xiàn)過程實(shí)現(xiàn)了代表著不同數(shù)量貨幣的纖維之間的連通。

四、結(jié)束語(yǔ)

當(dāng)投資者在進(jìn)行貨幣交換和凈現(xiàn)值計(jì)算時(shí)，可以認(rèn)為是在纖維束中進(jìn)行移動(dòng)的。任何交易市場(chǎng)都存在一個(gè)可移動(dòng)的纖維束空間，且這并不依賴于交易資產(chǎn)的特征、市場(chǎng)參與者的偏好以及市場(chǎng)的某些性質(zhì)。將纖維束空間與資產(chǎn)組合結(jié)合到一起有助于我們一定程度上客觀直接的研究金融市場(chǎng)的波動(dòng)和趨勢(shì)。

參考文獻(xiàn)

[1]周煒星.《經(jīng)濟(jì)物理學(xué)》簡(jiǎn)評(píng).新書介紹，2014.

[2]劉建國(guó).現(xiàn)代金融學(xué)研究的新視角——《金融物理學(xué)導(dǎo)論》評(píng)介.華東理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2007.

[3]施其敏，包菡.淺析貨幣時(shí)間價(jià)值的應(yīng)用.《心事》，2014.

作者簡(jiǎn)介：李玉娟（1991-），女，漢族，山東濰坊人，山東科技大學(xué)數(shù)學(xué)系統(tǒng)與科學(xué)學(xué)院研究生，研究方向：金融數(shù)學(xué)與金融工程。