徐芹

思維是認(rèn)知的核心！我們的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該關(guān)注學(xué)生的思維發(fā)展，在教學(xué)過(guò)程中如何有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維呢？本文從新授課，習(xí)題課兩個(gè)方面進(jìn)行分析.

一、新授課學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)與提升

新授課如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維呢？

新課程在學(xué)習(xí)模式上也有改革的要求，強(qiáng)調(diào)學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，數(shù)學(xué)思維也并非是灌輸?shù)?，有序地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維需要我們教師主導(dǎo)性作用的發(fā)揮.

首先，在每一節(jié)新授課之前，我們教師應(yīng)該結(jié)合學(xué)生的學(xué)情和所教內(nèi)容的實(shí)際情況，進(jìn)行合理的分析，繼而擬定活動(dòng)單或?qū)W(xué)案.活動(dòng)單、導(dǎo)學(xué)案是一份學(xué)習(xí)方案，凸顯導(dǎo)學(xué)功能，是鏈接三維教學(xué)目標(biāo)和學(xué)習(xí)內(nèi)容、學(xué)生已有知識(shí)和待學(xué)知識(shí)之間的橋梁，也是學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)，提升自己知識(shí)、發(fā)展能力的一個(gè)重要指導(dǎo).在活動(dòng)單中應(yīng)有科學(xué)合理的問(wèn)題設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)的問(wèn)題應(yīng)立足教材，來(lái)源于生活，同時(shí)又具有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)思維繼發(fā)性.

教材是什么？

教材是學(xué)生學(xué)習(xí)內(nèi)容的例子！是經(jīng)過(guò)課程專家進(jìn)行挑選的，符合學(xué)生學(xué)齡特征和思維發(fā)展要求的例子，承載著數(shù)學(xué)知識(shí)、思維和方法，是我們與學(xué)生一起學(xué)習(xí)初中數(shù)學(xué)的最為主要的資源.不僅僅如此，如果站在應(yīng)試的角度看教材，它也是中考命題專家手頭最為重要的“題源”.我們的問(wèn)題設(shè)計(jì)應(yīng)該對(duì)教材進(jìn)行深度的挖掘.

例如，筆者在和學(xué)生一起學(xué)習(xí)“無(wú)理數(shù)”這個(gè)概念時(shí)，可以進(jìn)行如下的設(shè)計(jì)，通過(guò)一個(gè)情境引出多個(gè)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生的思維不斷深化.

情境（PPT投影）：現(xiàn)在有兩張完全相同的，邊長(zhǎng)為1正方形紙片，如果將這兩個(gè)正方形剪開(kāi)，如圖1所示拼接出一個(gè)大正方形，請(qǐng)思考如下幾個(gè)問(wèn)題.

（1）求拼接得到的那個(gè)大的正方形面積；

（2）求拼接得到的大的正方形的邊長(zhǎng).

設(shè)計(jì)意圖：從問(wèn)題的設(shè)計(jì)來(lái)看，第一個(gè)問(wèn)題的起點(diǎn)相對(duì)較低，學(xué)生很快可以發(fā)現(xiàn)這樣的拼接面積不變，所以大的正方形面積為2，但是很多學(xué)生對(duì)于其邊長(zhǎng)的思考容易卡殼，怎么辦？可以進(jìn)一步追問(wèn).

追問(wèn)1：邊長(zhǎng)大約是多少？

追問(wèn)2：可以用分?jǐn)?shù)來(lái)表示么？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)追問(wèn)讓學(xué)生的思維的臺(tái)階降低，筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，追問(wèn)后學(xué)生會(huì)跟著問(wèn)題的節(jié)奏思考，最終發(fā)現(xiàn)有理數(shù)在表示大的正方形邊長(zhǎng)時(shí)存在著障礙，怎么辦？在不能解決時(shí)，新的問(wèn)題隨之而來(lái)，“用什么數(shù)來(lái)表示呢？”探究欲望和問(wèn)題意識(shí)都被有效激發(fā).這一過(guò)程中學(xué)生的思維能力得到有效的發(fā)展.

二、習(xí)題課學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)與提升

1.分析學(xué)生解題出錯(cuò)的錯(cuò)因并提前預(yù)防

習(xí)題教學(xué)是我們不得不重視的課型，不過(guò)我們的習(xí)題教學(xué)應(yīng)該如何上呢？筆者認(rèn)為除了要教給學(xué)生正確的解決數(shù)學(xué)習(xí)題的方法外，還應(yīng)該正視學(xué)生在解題過(guò)程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤，和學(xué)生一起分析出現(xiàn)解題錯(cuò)誤的成因，一起總結(jié)解決問(wèn)題的方法，實(shí)現(xiàn)從錯(cuò)誤走向正確.這樣的學(xué)生的思維會(huì)得到正向的引導(dǎo).

初中數(shù)學(xué)學(xué)生更多的學(xué)習(xí)是代數(shù)，而且學(xué)生有小學(xué)的基礎(chǔ)，但是錯(cuò)誤還是時(shí)常發(fā)生，例如，“數(shù)與式”處理上學(xué)生就常常容易犯錯(cuò)，具體的易錯(cuò)點(diǎn)與原因分析如下.

錯(cuò)因1：學(xué)生對(duì)概念理解上的偏差導(dǎo)致了錯(cuò)誤，如在實(shí)數(shù)的范圍內(nèi)，涉及到若干個(gè)概念，正數(shù)和負(fù)數(shù)，無(wú)理數(shù)與有理數(shù)，平方根和算術(shù)平方根等等，理解上的偏差勢(shì)必導(dǎo)致在應(yīng)用和描述上出現(xiàn)問(wèn)題.

錯(cuò)因2：學(xué)生在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行數(shù)與式的計(jì)算時(shí)，由于不能非常熟練地掌握和運(yùn)用基本技能，導(dǎo)致在進(jìn)行變形與計(jì)算時(shí)出現(xiàn)了較為明顯的錯(cuò)誤.

錯(cuò)因3：學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中由于對(duì)各個(gè)代數(shù)式的認(rèn)識(shí)存在著較為模糊的現(xiàn)象，導(dǎo)致在判斷與應(yīng)用上出現(xiàn)錯(cuò)誤.

錯(cuò)因4：學(xué)生間存在著較為明顯的個(gè)體差異，導(dǎo)致有部分學(xué)生的觀察、分析與總結(jié)的能力出現(xiàn)部分缺失，綜合能力偏弱，面對(duì)一些綜合性的習(xí)題時(shí)，解決存有困難.

例如，16的算術(shù)平方根是多少？

很多同學(xué)初次遇到這個(gè)問(wèn)題時(shí)會(huì)錯(cuò)誤地認(rèn)為結(jié)果是4.為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤結(jié)果呢？筆者和學(xué)生交流后發(fā)現(xiàn)，學(xué)生出錯(cuò)的主要原因在于對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解出現(xiàn)偏差，對(duì)根號(hào)的意義和符號(hào)語(yǔ)言缺乏深入的理解，如果將符號(hào)轉(zhuǎn)化為語(yǔ)言，那么這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題等價(jià)于：求16的算術(shù)平方根的算術(shù)平方根，這里有開(kāi)方開(kāi)2次，最終的正確結(jié)果應(yīng)該是2.這就是典型的學(xué)生對(duì)代數(shù)式的理解存在偏差導(dǎo)致了解題出現(xiàn)錯(cuò)誤.

那么，這類問(wèn)題如何引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行預(yù)防呢？

首先，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生深化對(duì)概念的理解與研究，注意防止知識(shí)陷阱.

其次，要加強(qiáng)運(yùn)算的熟練性、準(zhǔn)確性，同時(shí)給學(xué)生提供更多訓(xùn)練的平臺(tái)，切實(shí)提升學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的技巧性.

2.拓展訓(xùn)練，促進(jìn)思維與知識(shí)“框架化”發(fā)展

由于學(xué)生的思維能力還不夠成熟，所以對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)和方法的積累很多時(shí)候不可能一步到位，只有通過(guò)多個(gè)角度的訓(xùn)練才能得到內(nèi)化和發(fā)展，筆者認(rèn)為為了有效促進(jìn)學(xué)生思維和知識(shí)的框架化發(fā)展，我們的拓展訓(xùn)練不可缺失，問(wèn)題設(shè)計(jì)應(yīng)具有綜合性，同時(shí)還應(yīng)該設(shè)計(jì)變式訓(xùn)練.

例如，“三角形全等”的習(xí)題課中，筆者有如下的問(wèn)題設(shè)計(jì).

例1 在△ABC中，AB=AC，MN是過(guò)A點(diǎn)的直線，已知BD⊥MN于D，CE⊥MN于E，根據(jù)所學(xué)內(nèi)容思考如下2個(gè)問(wèn)題：

問(wèn)題1 若B、C分別位于直線MN的同側(cè)（如圖a所示），且AD=CE，求證：AB⊥AC；

問(wèn)題2 若B、C分別位于直線MN的兩側(cè)（如圖b所示），且AD=CE，試分析AB與AC是否垂直？

學(xué)生在解決完這個(gè)例題后，為了幫助學(xué)生提煉解決問(wèn)題的辦法，促進(jìn)知識(shí)框架和思維框架的建立，進(jìn)行如下的變式.

變式 在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，MN為一條過(guò)C點(diǎn)的直線，已知BD⊥MN于D，CE⊥MN于E，現(xiàn)在繞A點(diǎn)將直線MN旋轉(zhuǎn)到圖c所示的位置，請(qǐng)猜想DE、BD、CE之間可能存在的等量關(guān)系，寫(xiě)出關(guān)系式，并試著證明你的猜想.

設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)這樣的綜合性問(wèn)題設(shè)計(jì)和變式處理，學(xué)生的框架逐步地趨于嚴(yán)謹(jǐn)、精細(xì)，思維能力和學(xué)習(xí)情感也在解決問(wèn)題的過(guò)程中逐步地提升.