□朱元生

巧用對(duì)稱妙構(gòu)等腰

□朱元生

在解幾何題的過程中，若遇有高線、角平分線、線段的垂直平分線，可根據(jù)圖形的軸對(duì)稱性，巧妙構(gòu)造等腰三角形，借助等腰三角形的有關(guān)性質(zhì)，往往能夠迅速找到解題途徑，直觀易懂，簡(jiǎn)捷明快.

一、圖形含有垂線（或高線），以垂線（或高線）為對(duì)稱軸構(gòu)造等腰三角形

例1如圖1，已知A D⊥B C于點(diǎn)D，且∠B＝2∠C，試說明：A B＋B D＝D C.

圖1

分析：因?yàn)锳 D⊥B C，以A D為對(duì)稱軸進(jìn)行變換，點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)E必落在B C上，連接A E，則△A B E為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)使問題迎刃而解.

解：因?yàn)锳 D⊥B C，以A D為對(duì)稱軸進(jìn)行變換，點(diǎn)E為點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn).

連接A E，則△A B E為等腰三角形，所以∠A E B＝∠B＝2∠C，且D B＝D E.

因?yàn)椤螦 E B＝∠C＋∠C A E，

而∠A E B＝2∠C，

所以∠C＝∠C A E，

從而A E＝C E.

因此A B＝A E＝E C

所以A B+B D=E C+D E=D C.

二、圖形含有角平分線，以角平分線為對(duì)稱軸構(gòu)造等腰三角形

例2如圖2，在等腰Rt△A B C中，∠B A C＝90°，∠B的平分線交A C于D，過C作B D的垂線交B D的延長(zhǎng)線于E，試說明：B D＝2 C E.

圖2

分析：因?yàn)锽 E是∠A B C的平分線，且B E⊥C E，以B E為對(duì)稱軸進(jìn)行變換，點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)必是B A和C E的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)F，則△B C F為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可使問題巧妙獲解.

解：因?yàn)锽 E是∠A B C的平分線，且B E⊥C E，以B E為對(duì)稱軸進(jìn)行變換，點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)則為B A和C E的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)F，則△B C F為等腰三角形.

所以C E＝E F，即C F＝2 C E.

在△A B D和△A C F中，

因?yàn)椤螧 A D＝∠C A F＝90°，

A B＝A C，

∠A B D＝90°－∠F＝∠A C F，

所以△A B D≌△A C F（ASA），

所以B D＝C F＝2 C E.

三、圖形含有線段的垂直平分線，以垂直平分線為對(duì)稱軸構(gòu)造等腰三角形

例3如圖3，在△A B C中，A B＝ A C，∠A＝120°，A B的垂直平分線交A B于點(diǎn)E、交B C于點(diǎn)D，試說明：

圖3

分析：因?yàn)镈 E是線段A B的垂直平分線，以D E為對(duì)稱軸進(jìn)行變換，點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)必為點(diǎn)A，連接A D，則△A B D為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可使問題迅速獲解.

解：D E為線段A B的垂直平分線，連接A D，則△A B D為等腰三角形.

因?yàn)锳 B＝A C，∠A＝120°，

所以∠B＝∠C＝30°.

因?yàn)椤鰽 B D為等腰三角形，

B D＝A D，則∠B A D＝∠B＝30°，

從而∠D A C＝90°.

根據(jù)圖形的軸對(duì)稱，巧妙構(gòu)造等腰三角形，可迅速找到解題途徑，不僅能使問題化難為易，迎刃而解，而且有助于培養(yǎng)同學(xué)們探索求新的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提高同學(xué)們的數(shù)學(xué)思維能力和幾何解題能力.