許歡
蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)下冊(cè)第57頁(yè)的練習(xí)3:如圖,在矩形ABCD中,DE⊥AC,垂足為E.圖中有哪些三角形與△ABC相似?為什么?
矩形被一條對(duì)角線分得的兩個(gè)三角形全等,而直角三角形斜邊上的高把原直角三角形分成兩個(gè)直角三角形,這兩個(gè)三角形都和原三角形相似.所以圖中△ADC、△ADE、△CDE與△ABC都相似.
上題中出現(xiàn)了一個(gè)基本圖形(見下面圖1).其實(shí)在研究數(shù)學(xué)問(wèn)題中,若能捕獲到一些基本圖形,則會(huì)縮短我們的思維路徑,提升解題效率.
在相似三角形的學(xué)習(xí)中出現(xiàn)并整理過(guò)多種基本圖形,這里以“垂直型”為例:如圖1 “雙垂直共角共邊型”(也稱“射影定理型”) ;如圖2“雙垂直共角型”;如圖3 “三垂直型”.
在2016年蘇州市中考試卷中就有類似考題能用這些基本圖型來(lái)解答.
例1 如圖4,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(8,0)、(0,[23]),C是AB的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)C作y軸的垂線,垂足為D,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā),沿DC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng),過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線,垂足為E,連接BP、EC.當(dāng)BP所在直線與EC所在直線第一次垂直時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為 .
【解析】如圖4,當(dāng)BP所在直線與EC所在直線第一次垂直時(shí),即BP⊥EC,垂足為點(diǎn)F時(shí),出現(xiàn)“雙垂直共角共邊型”,得△CPF∽△CEP,另外在BF、DC相交所形成的“8字型”中,有一對(duì)對(duì)頂角相等,一對(duì)直角相等,可得△CPF∽△BPD,進(jìn)而有△CEP∽△BPD,可以列出有關(guān)DP、PE的比例式,再根據(jù)“坐標(biāo)及平行線分線段成比例”即可得答案.求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,[3]).
例2 如圖5,在矩形ABCD中,AB=6cm,AD=8cm,點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),沿對(duì)角線BD向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng),速度為4cm/s,過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BD交BC于點(diǎn)Q,以PQ為一邊作正方形PQMN,使得點(diǎn)N落在射線PD上,點(diǎn)O從點(diǎn)D出發(fā),沿DC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng),速度為3m/s,以O(shè)為圓心,0.8cm為半徑作⊙O,點(diǎn)P與點(diǎn)O同時(shí)出發(fā),設(shè)它們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(單位:s)[0 (1)如圖5,連接DQ,當(dāng)DQ平分∠BDC時(shí),t的值為 ; (2)如圖6,連接CM,若△CMQ是以CQ為底的等腰三角形,求t的值. 【解析】(1)由正方形PQMN,可得QP⊥BD,結(jié)合△BCD,出現(xiàn)“雙垂直共角型”,可得 △BPQ∽△BCD,從而求出PQ、BQ,再根據(jù)角平分線性質(zhì)定理可得PQ=CQ. (2)作ME⊥BC于點(diǎn)E(如圖6). △QEM和△BPQ之間出現(xiàn)類似“三垂直型”,即△QEM∽△BPQ,進(jìn)而可得△QEM∽△BCD,再結(jié)合等腰三角形“三線合一”性質(zhì),即可得到答案. 略解:(1)1; (2)t=[4049](s). 掌握一些相似三角形的基本圖形,將它們與其他知識(shí)點(diǎn)充分結(jié)合,透過(guò)外形看清本質(zhì),一定能夠快速地獲取解決此類問(wèn)題的思路與方法. (作者單位:江蘇省常熟市實(shí)驗(yàn)中學(xué))