張曉東

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，教材是我們的立足之本，每個例題不僅僅是知識內(nèi)容的載體，其背后還蘊(yùn)含著一些數(shù)學(xué)思想方法.我們在平時的學(xué)習(xí)過程中，要學(xué)會對書本上例題有進(jìn)一步的思考、反思，從中提煉出解決一類問題的策略、方法.本文從教材中一道二次函數(shù)應(yīng)用題出發(fā)，和大家一起品味例題，走進(jìn)一元二次方程和二次函數(shù)的世界.

原題呈現(xiàn)：蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級下冊第8頁第5題

如圖1，用50m長的護(hù)欄圍成一塊靠墻的矩形花園，試寫出花園的面積y（m2）與邊長x（m）之間的函數(shù)關(guān)系式.

【分析】本題首先要弄清楚兩點(diǎn)：第一，50m的護(hù)欄長，從圖中看就是三條線段AB+BC+CD=50，在知道BC=x后，可用含字母x的代數(shù)式表示得到AB=CD=[12]（50-x）；第二，要寫出矩形面積與邊長之間的函數(shù)關(guān)系式，只要知道AB的長，利用公式就可以列出.

解：當(dāng)BC=x時，則AB=CD=[12]（50-x），

所以y=[12]（50-x）x=-[12]x2+25x.

此時x的取值范圍為：0

【點(diǎn)評】此題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是分析清楚可知和需知，根據(jù)實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系列出函數(shù)關(guān)系式，最后要注意自變量x的取值范圍.

【拓展一】問題條件不變，問矩形面積能否等于313m2？

【分析】本題有兩種方法：一種是利用一元二次方程根的判別式解決，另一種是利用二次函數(shù)的最大值解決.

解法一：由題意得：-[12]x2+25x=313，

即x2-50x+626=0，Δ=-4<0.

所以此方程無解.

這就是說矩形花園的面積不可能等于313m2.

解法二：對y=-[12]x2+25x進(jìn)行配方，得：

y=-[12]（x-25）2+312.5.

故矩形花園面積的最大值是312.5，也就不可能取到大于312.5的值.

【分析】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確確定二次函數(shù)關(guān)系式，把面積最大值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)來求.

【拓展二】如圖2，用50m長的護(hù)欄圍成一塊靠墻的矩形花園，墻的長度為20m，試寫出花園的面積y（m2）與邊長x（m）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出花園的最大面積.

【分析】矩形面積y與邊長x之間的函數(shù)關(guān)系式?jīng)]有變化.但要注意到因?yàn)槭軌﹂L為20m這個條件的限制，自變量x的取值范圍變化了，從而在求面積的最大值時，x的值取不到頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)25.所以面積的最大值也就不再是頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)了.

解：當(dāng) BC=x時，則AB=CD=[12]（50-x），

所以y=[12]（50-x）x=-[12]x2+25x.

此時x的取值范圍為：0

對y=-[12]x2+25x進(jìn)行配方，得：

y=-[12]（x-25）2+312.5.

此時，這個二次函數(shù)的對稱軸為直線x=25，在自變量取0

所以，當(dāng)x=20時，矩形面積有最大值，最大值為300m2.

【點(diǎn)評】在解決最大最小值問題中，函數(shù)方法是常用方法，一般情況下最值在頂點(diǎn)取到，但在實(shí)際應(yīng)用的時候受自變量取值范圍的限制，其最值可能在左端點(diǎn)或右端點(diǎn)取到.必要時可以畫出函數(shù)的草圖解決.

【拓展三】如圖3，矩形花園一面靠墻（墻足夠長），另外三面所圍的柵欄的總長度是19m.（1） 若花園的面積是24m2，求AB邊的長度是多少？（2）若只利用這些柵欄將如圖所示的矩形花園分隔成兩個有一邊相鄰的矩形花園，且圍成的總面積最大，求兩個矩形花園公共邊的長.

【分析】第（1）小題列出一元二次方程，應(yīng)該能比較快地解決.第（2）小題的題型應(yīng)該是常規(guī)問題，也就是列出函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)解決，但因?yàn)闆]有明確如何分隔，可以是橫向也可以縱向，所以本題要分類討論.

解：（1） 設(shè)AB=x，則BC=19-2x.

由題意得：x（19-2x）=24.

∴x1=8，x2=[32].

答：AB邊的長是8m或[32]m.

（2） ①當(dāng)隔欄垂直墻時，

設(shè)隔欄長為xm，則平行墻的圍欄長（19-3x）m.

花圃面積S=x（19-3x），即S=-3x2+19x.

當(dāng)x=[196]時，Smax=[36112].

②當(dāng)隔欄平行墻時，

設(shè)隔欄長為xm，則垂直墻的圍欄長[19-2x2]m.

花圃面積S=x·[19-2x2]，即S=-x2+[192]x.

當(dāng)x=[194]時，Smax=[36116].

綜上所述，當(dāng)隔欄垂直墻時，Smax=[36112].

【拓展】對于此題的解決還可以設(shè)BC=x來解決，但這樣會出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，運(yùn)算起來相對麻煩些.問題還可以拓展到繼續(xù)分割成三個、四個甚至更多個矩形來考慮.

通過對一個問題的深入思考挖掘進(jìn)行拓展、演變和延伸，才能讓我們“回頭是岸”，脫離“題?！保瑤Т蠹疫M(jìn)入數(shù)學(xué)的美妙世界.

（作者單位：江蘇省太倉市沙溪實(shí)驗(yàn)中學(xué)）