馮曉九，梁立孚

(1.常州大學 環(huán)境與安全工程學院，213164 江蘇 常州；2. 哈爾濱工程大學 航天與建筑工程學院，150001哈爾濱)

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反映的規(guī)律為本構關系的變分原理

馮曉九1，梁立孚2

(1.常州大學 環(huán)境與安全工程學院，213164 江蘇 常州；2. 哈爾濱工程大學 航天與建筑工程學院，150001哈爾濱)

為證明經(jīng)典變分原理中存在反映的規(guī)律為本構關系的變分原理，從非線性彈性動力學的基本方程出發(fā)，應用變積方法建立非線性彈性動力學Hamilton原理.再應用對合變換法、Lagrange乘子法和局部代入法，將Hamilton原理變換為本構變分原理.論證了該變分原理反映的規(guī)律為本構關系，本研究以非線性材料為例，找到了一個新的材料本構關系的獲得途徑，為數(shù)值建模提供了理論依據(jù).研究結果表明，補充和完善了經(jīng)典變分原理中對3類基本規(guī)律的反映，即：最小勢能原理反映的規(guī)律為平衡關系、最小余能原理反映的規(guī)律為連續(xù)關系和本構變分原理反映的規(guī)律為本構關系.

非線性彈性動力學；變積；本構關系；變分原理；對合變換；Lagrange乘子法；局部代入法

中國變分原理學家、中科院院士劉高聯(lián)在為本文作者的一部專著撰寫序言時指出[1]：各種自然現(xiàn)象和過程(特別是力學現(xiàn)象)通常由一組數(shù)理方程(偏微分方程、積分-微分方程或積分方程)及初、邊值條件來描述，但人們通過長期的探索研究，發(fā)現(xiàn)這些現(xiàn)象和過程常常使系統(tǒng)的某一整體量(泛函)取駐值或極值，因而又可以用相應的變分原理來描述.后一描述法的突出優(yōu)點是：1)數(shù)學形式簡單緊湊，但內(nèi)含卻甚豐富(包含了全部數(shù)理方程及初邊值條件組);2)是整體性描述，包括各種物理間斷面上的相容條件;3)有‘變域變分’、‘自然邊界條件’等特殊工具，能夠自動捕獲各種未知邊(分)界面;4)是各種變分直接解法和有限元法的理論基礎.可見，變分原理既體現(xiàn)了數(shù)學形式上的簡潔優(yōu)美，又體現(xiàn)了物理內(nèi)容上的豐富深刻，更具有工程應用上的價值，確實代表了數(shù)學與物理的交融與貫通，以及理論與實用的結合與統(tǒng)一.特別是自上世紀60年代起，有限元素法的興起與蓬勃發(fā)展，使其作為主要理論基礎的變分原理又重新煥發(fā)了青春，取得了長足的發(fā)展.

從應用有限元素法進行近似計算的角度看問題，以彈性力學為例，彈性力學有3類基本條件——平衡關系(含力學邊界條件)、連續(xù)關系(含位移邊界條件)和本構關系；最小勢能原理需要精確滿足連續(xù)關系和本構關系2類基本條件，可以近似滿足平衡關系1類基本條件；最小余能原理需要精確滿足平衡關系和本構關系2類基本條件，可以近似滿足連續(xù)關系1類基本條件.

我國學者[2-4]對于以上事實有幾種不同的說法，有的學者稱為，最小勢能原理可以近似滿足平衡關系，最小余能原理可以近似滿足連續(xù)關系；也有的學者稱為，最小勢能原理平衡關系次要，最小余能原理連續(xù)關系次要；還有的學者稱為，最小勢能原理反映的規(guī)律為平衡關系，最小余能原理反映的規(guī)律為連續(xù)關系.本文采用最后一種說法來研究問題.

Reissner[5]的彈性力學二類變量的廣義變分原理的問世，說明國外學者也有類似的認識，在彈性力學的3類基本規(guī)律中，最小勢能原理反映的規(guī)律為平衡關系，最小余能原理反映的規(guī)律為連續(xù)關系，文獻[5]中二類變量的廣義變分原理反映平衡關系和連續(xù)關系2類基本規(guī)律.

是否可以建立一個變分原理反映平衡關系、連續(xù)關系和本構關系3類基本規(guī)律呢？這就是胡海昌—鷲津久一郎三類變量廣義變分原理的“Idea”[4,6].

以上的學術思想既適用于保守系統(tǒng)又適用于非保守系統(tǒng)[7-9]，既適用于彈性力學又適用于一般力學[10-12]，既適用于邊值問題又適用于初值問題[13-15]力學，同時也適用于流體力學[16-17]，電磁學[18-19]，….本文在繼承上述學術思想和總結變分原理的研究成果的基礎上，論證了彈性力學變分原理的各類條件的完備性[20]，得到了劉高聯(lián)院士的充分肯定.變分原理泛函的先決條件和駐值條件一起，構成一個適定的微分方程組，這便是變分原理的各類條件完備性的第1種含義.變分原理的先決條件、補充條件及反映的規(guī)律一起構成彈性力學的全部基本方程，這便是變分原理的各類條件完備性的另一種含義.

由以上論述可見，在廣義變分原理中，已經(jīng)有胡海昌-鷲津久一郎廣義變分原理反映平衡關系(含力學邊界條件)、連續(xù)關系(含位移邊界條件)和本構關系3類基本規(guī)律，但是，在經(jīng)典變分原理中只有最小勢能原理反映的規(guī)律為平衡關系和最小余能原理反映的規(guī)律為連續(xù)關系，尚未見反映的規(guī)律為本構關系的變分原理.本文以非線性彈性力學為例，建立反映的規(guī)律為本構關系的變分原理具有一定的深度和難度，不失一般性.為敘述方便，不妨將反映的規(guī)律為本構關系的變分原理稱為本構變分原理.本文應用變積方法建立非線性彈性動力學的Hamilton原理，應用對合變換[21]，由非線性彈性動力學的Hamilton原理推導出非線性彈性動力學的本構變分原理，應用Lagrange乘子法和局部代入法論證了非線性彈性動力學的本構變分原理反映的規(guī)律為本構關系[22].

1 非線性彈性動力學的Hamilton原理

應用Cartesian張量，非線性彈性動力學的基本方程如下.

1)動態(tài)平衡關系：

(1)

2)連續(xù)關系：

(2)

3)本構關系：

(3)

(4)

(5)

4)時間邊值條件[23]：

(6)

將虛位移δui乘上式(1)，然后積分，并代數(shù)相加，可得

(7)

應用Green定理和分部積分可得：

(8)

(9)

將式(8)和式(9)代入式(7)，按慣例，在時域邊界上取δui=0，可得

將式(1) 和式(2)代入式(10)，可得

(10)

將本構關系式(3)和式(4)代入式(10)，可得

(11)

式(1)可以處理為一個泛函的駐值問題

其先決條件為式(2).實際上，這即是非線性彈性動力學中的Hamilton原理[24].

2 反映的規(guī)律為本構關系的變分原理

應用對合變換，Hamilton原理的泛函可以變換為

其先決條件為式(1)和式(2).

本文將應用兩種不同的方法，論證這是一個反映的規(guī)律為本構關系的變分原理，稱之為本構變分原理.

2.1 應用Lagrange乘子法推導本構變分原理的駐值條件[25-26]

將Π0變分，并令δΠ0=0，可得

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

引入Lagrange乘子，將式 (12)～(16)納于泛函δΠ0中，可得

(17)

應用Green定理和分部積分可得：

(18)

(19)

(20)

(21)

將式(18) ～(21)代入式(17)，按慣例在時域邊界處取δui=0，經(jīng)整理可得

(22)

由于引入Lagrange乘子，使得各虛量相互獨立，故由式(22)可得：

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

由式(25), 式(31)解得

(34)

由式(27)～(30)解得

(35)

由式(26)解得

(36)

由式(32)解得

(37)

由式(33)解得

(38)

將式(34)～式(38)代入式(17)，整理可得

(39)

由式(39)可得Π0的駐值條件為：

可見，這個變分原理反映的規(guī)律為本構關系.

2.2 應用局部代入法推導本構變分原理的駐值條件

應用對合變換Hamilton原理的泛函變換為本構變分原理泛函為

(40)

其先決條件為式(1)和式(2).

將Π0變分，并令δΠ0=0，可得

(41)

其先決條件的變分式為式(12)～(16)，將式 (12)～(16)代入式(41)，可得

(42)

應用Green定理和分部積分可得：

(43)

(44)

將式(43)～(44)代入式(42)，然后將式(15)代入式(42)，并按慣例在時域邊界處取δui=0，可得

(45)

由于δui的任意性，由式(45)可得本構變分原理駐值條件的一種表達形式：

這便又一次表明，這個變分原理反映的規(guī)律為本構關系.

3 結 論

1) 通過變積方法，由非線性彈性動力學的基本方程建立了非線性彈性動力學Hamilton原理，即本構變分原理,為下一步證明奠定了基礎.

2) 通過對合變換方法，分別應用Lagrange乘子法和局部代入法推導本構變分原理的駐值條件，得到了本構關系表達式，證明了本構變分原理反映的規(guī)律為本構關系.

3) 從理論上說，補充和完善了前人研究的經(jīng)典變分原理對3類基本規(guī)律的反映,從工程應用上說，為數(shù)值建模提供了依據(jù).

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(編輯 張 紅)

The variational principle：the law of reflection is constitutive relation

FENG Xiaojiu1, LIANG Lifu2

(1.School of Environmental and Safety Engineering, ChangzhouUniversity, 213164 Changzhou, China; 2.College of Aerospace and Civil Engineering, Harbin Engineering University, 150001 Harbin, China)

In order to prove that the classical variational principles contain one principle that the reflection law is the constitutive relation, Hamilton principle of nonlinear elastodynamics is established by using the variational integral, starting from the basic equations of nonlinear elastodynamics. Then, after involutory transformation is used, Hamilton theory is converted to the constitutive variational principle with Langrange multiplier method and partial substitution method. It testifies that this variational principle reflects the constitutive relation. Taking the nonlinear material as an example, a new way to obtain the material constitutive relation is provided in this paper, which provides theoretical basis for numeral modeling. It supplements and improves the reflections of three basic rules in the classical constitutive relation: the reflection law of minimum potential energy principle is the balanced relation, the reflection law of the minimum complimentary energy principle is continuous relation, and the reflection law of constitutive variational principle is constitutive relation.

nonlinear elastodynamics; variational integral; constitutive relation; variational principle; involutionary transformation; Lagrange multiplier method; partial substitution method

10.11918/j.issn.0367-6234.2016.04.025

2014-11-17.

國家自然科學基金 (10272034).

馮曉九(1964—)，男，教授；

梁立孚(1939—)，男，教授，博士生導師.

梁立孚，lianglifu@hrbeu.edu.cn.

O343

A

0367-6234(2016)04-0149-05