王耀東，陳桂波，張燁，韓穎，譚勇，蔡紅星

（長(zhǎng)春理工大學(xué) 理學(xué)院，長(zhǎng)春 130022）

基于Davies理論的粗糙面光散射特性研究

王耀東，陳桂波，張燁，韓穎，譚勇，蔡紅星

（長(zhǎng)春理工大學(xué) 理學(xué)院，長(zhǎng)春 130022）

基于Davies理論，利用BRDF描述散射特性，系統(tǒng)考察了BRDF隨角度、波長(zhǎng)及粗糙度等參數(shù)的變化規(guī)律。數(shù)值結(jié)果表明，粗糙面的BRDF在形態(tài)上有一定的類(lèi)鏡面散射特性同時(shí)在鏡面方向出現(xiàn)“高光”區(qū)域；入射天頂角越大則散射越趨于鏡面反射；波長(zhǎng)越小，粗糙面的相對(duì)粗糙程度越大，則Davies理論模型非鏡面反射部分比重也越大。結(jié)果表明研究可為復(fù)雜實(shí)體散射分析與應(yīng)用提供一定的理論依據(jù)和指導(dǎo)。

Davies理論；雙向反射分布函數(shù)；粗糙面

研究粗糙面散射特性［1］，進(jìn)而掌握其光散射規(guī)律是對(duì)復(fù)雜物體散射［2］規(guī)律研究的基礎(chǔ)和前提［3］，而表面散射特性通常用雙向反射分布函數(shù)（Bidirectional Reflectance Distribution Function，BRDF）來(lái)描述。

BRDF最早由Nicodemus于1970年提出［4］。各國(guó)學(xué)者在理論上、儀器設(shè)備研制的應(yīng)用［5］上進(jìn)行了大量的研究。理論模型方面先后有Davies于1954年假定表面高度起伏服從高斯分布并應(yīng)用基爾霍夫近似提出Davies模型［6］，Torrance和Sparrow于1967年由基于微平面分布理論并假定粗糙面由V型凹槽構(gòu)［7］成提出Torrance-Sparrow模型［8］，Maxwell和Beard于1973年提出包含表層和內(nèi)層反射貢獻(xiàn)的漆面材料的Maxwell Beard模型［9］，Phong于1975提出基于經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ颓抑饕谟?jì)算機(jī)圖形學(xué)中作為光照模擬的Phong模型［10］，Ove Steinvall于2000年提出能夠很好地描述許多不同類(lèi)型材質(zhì)的單站散射特性的四參數(shù)單站BRDF模型［11］，吳振森等人于2002年對(duì)Torrance-Sparrow模型進(jìn)行修正，將粗糙表面的高度起伏分布和斜率分布推廣到非高斯分布提出五參數(shù)半經(jīng)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)模型［12］，Sun Yinlong于2007年提出基于微面元高斯分布統(tǒng)計(jì)概率而建立的，可以很好地匹配光滑表面和粗糙表面的Sun BRDF模型［13］，等等。

其中Davies理論模型基于電磁場(chǎng)Maxwell方程，其物理意義明確且應(yīng)用范圍相對(duì)較廣［14，15］，因此本文采用Davies模型研究粗糙面光散射特性。本文首先介紹了描述散射特性的BRDF及Davies理論模型，然后應(yīng)用Davies理論模型計(jì)算了粗糙面的BRDF進(jìn)而分析得到了粗糙面的散射特性和規(guī)律。

1 理論模型

1.1 BRDF

BRDF是描述表面散射特性的一種方式，其定義為［16］:

如圖1所示，θi和θr為入射和出射天頂角，φi和φr為入射和出射方位角，公式（1）中dEi表示入射光在目標(biāo)面元造成輻照度的增量，dLr表示該面元在接收到這個(gè)輻照亮度增量后在出射方向亮度的增量。Li表示入射輻射亮度，dωi為入射立體角。即BRDF為對(duì)于樣品表面某一待分析的微面元，其沿出射方向（θr,φr）（探測(cè)方向）的亮度增量與引起此亮度增量的入射方向（θi,φi）照度增量的比值。

圖1 出射入射光束的幾何示意圖

1.2 Davies理論模型

Davies理論模型主要是通過(guò)假設(shè)不規(guī)則表面的高度起伏在其平均值附近呈高斯分布，并基于基爾霍夫近似來(lái)描述電磁能量從粗糙表面散射的數(shù)學(xué)公式。其適用于條件下的反射，式中σ為表面粗糙度均方根，a為表面自相關(guān)長(zhǎng)度［17］。模型的BRDF包含兩個(gè)部分，分別是鏡面反射部分和非鏡面反射部分。

其中鏡面反射部分表示為:

非鏡面反射部分表示為:

式中，ρdh,s是平滑表面的方向半球反射率，可由菲涅爾公式?jīng)Q定［14］。

假定φi=0°，θi=30°，λ=500nm，ρdh,s=28.70%，σ=0.07μm，a=2.2μm，計(jì)算取定參數(shù)［15］后粗糙表面Davies理論模型的BRDF，其散射形態(tài)如圖2所示。

圖2 粗糙表面Davies理論模型的散射形態(tài)圖

圖2在直角坐標(biāo)系下，待研究散射材料平放于xOy面上。入射光從圖中箭頭方向入射（θi=30°，φi=0°）。設(shè)A(x,y,z)為圖形表面上一點(diǎn)，O為原點(diǎn)，可有向量其中θr，φr標(biāo)示r→（即 OA）向量的方向，同時(shí)也為fr(θi,φi;θr,φr)中的出射方向，分別為天頂角和方位角。的大小也同時(shí)表示這個(gè)出射方向下的 fr值。

由圖2可見(jiàn)，粗糙面Davies理論模型形態(tài)上表現(xiàn)為一定的類(lèi)鏡面散射特性。由于粗糙面Davies理論模型分為鏡面反射部分和非鏡面反射部分，鏡面反射部分只有鏡面反射方向存在散射光，所以在圖中鏡面反射方向點(diǎn)處 fr函數(shù)不連續(xù)，出現(xiàn)極窄的尖峰，也就是出現(xiàn)“高光”區(qū)域［18］。

2 結(jié)果與分析

由公式（2）和（3）可知，因變量有θi，φi，θr和φr參變量有λ（波長(zhǎng)），ρdh,s（方向半球反射率），σ（表面粗糙度均方根）和a（表面自相關(guān)長(zhǎng)度）。假定φi=0°，θi=30°，λ=500nm，ρdh,s=28.70%，σ=0.07μm，a=2.2μm，計(jì)算取定參數(shù)［15］后粗糙表面Davies理論模型的BRDF散射形態(tài)如圖2。

由于研究參數(shù)對(duì)于BRDF的影響首先得選定其他參數(shù)的值。這里波長(zhǎng)選取中間值500nm。方向半球反射率、表面粗糙度均方根和表面自相關(guān)長(zhǎng)度選取Kapon樣品的參數(shù)值ρdh,s=28.70%（對(duì)應(yīng)波長(zhǎng)500nm下的值）、σ=0.0700μm和a=2.2000μm［15］。

2.1 Davies理論模型中入射角度的影響

假定φi=0°，λ=500nm，ρdh,s=28.70%，σ=0.07μm，a=2.2μm后，計(jì)算粗糙表面Davies理論模型的BRDF散射形態(tài)，不同入射角下BRDF散射形態(tài)如圖3，可見(jiàn)在入射天頂角增大時(shí)，非鏡面反射部分的形態(tài)保持基本不變的同時(shí)整體縮小，而鏡面反射部分則逐漸增強(qiáng)。由于整體形態(tài)基本不變，所以下面討論隨其他參數(shù)的影響規(guī)律時(shí)取入射天頂角θi=30°這一定值，又由于模型本身假定材料并無(wú)方向性，所以入射方位角取任一值均可，為方便起見(jiàn)這里取φi=0°。

圖3 Davies理論模型 fr隨θi變化關(guān)系圖（參數(shù)：φi=0°；λ=500nm；ρdh,s=28.70%；σ=0.07μm；a=2.2μm）

2.2 Davies理論模型中λ及ρdh,s的影響

波長(zhǎng)λ對(duì)于粗糙表面Davies理論模型的BRDF的影響，從公式本身來(lái)說(shuō)，可以先探討取定其他參數(shù)后 fr隨波長(zhǎng)λ的變化關(guān)系，假定φi=0°，θi=30°，ρdh,s=28.70%，σ=0.07μm，a=2.2μm后，計(jì)算粗糙表面Davies理論模型的BRDF散射形態(tài)，不同入射角下BRDF散射形態(tài)如圖4。

圖4 Davies理論模型 fr隨λ變化關(guān)系圖（ρdh,s=28.70%）（參數(shù)：φi=0°；θi=30°；ρdh,s=28.70%；σ=0.07μm；a=2.2μm）

由公式（2）和（3）可見(jiàn)，如果其他參數(shù)均不變，則隨著波長(zhǎng)λ增長(zhǎng)，鏡面反射部分逐漸增強(qiáng)；而非鏡面反射部分則分為系數(shù)部分和指數(shù)部分，系數(shù)部分逐漸減弱，指數(shù)部分逐漸增強(qiáng)，整體的結(jié)果則是逐漸減弱。隨波長(zhǎng)的具體變化關(guān)系如圖5所示。

圖5 Davies理論模型各項(xiàng)值在鏡面反射方向隨波長(zhǎng)的關(guān)系（參數(shù)：φi=φr-180°=0°；θi=θr=30°；ρdh,s=28.70%；σ=0.07μm；a=2.2μm）

從圖5中可見(jiàn)，Davies理論模型在波長(zhǎng)較短時(shí)，模型中非鏡面反射項(xiàng)起主要作用。隨著波長(zhǎng)的增大，非鏡面反射項(xiàng)的值整體在下降，鏡面反射項(xiàng)的值則緩慢增長(zhǎng)，所以鏡面反射項(xiàng)的作用將逐漸增強(qiáng)。這主要是由于隨著波長(zhǎng)的增大，粗糙面相對(duì)波長(zhǎng)的粗糙情況越來(lái)越小，從而散射中非鏡面項(xiàng)的比重越來(lái)越小了。

從Davies理論模型公式出發(fā)，可以人為討論只改變波長(zhǎng)而其他參數(shù)均不變的情況下的影響規(guī)律。但是，參數(shù)中方向半球反射率ρdh,s并非與波長(zhǎng)λ無(wú)關(guān)的參數(shù)，對(duì)于某一確定的材料將ρdh,s=ρdh,s(λ)，本文選取Kapon樣品為例討論，其ρdh,s(λ)隨波長(zhǎng)λ取值如表1。

表1 Kapon樣品ρdh,s(λ)隨λ的關(guān)系［15］

所以實(shí)際上針對(duì)已知的特定研究材料，ρdh,s不再是獨(dú)立參變量，這時(shí)假定 φi=0°，θi=30°，σ=0.07μm，a=2.2μm，計(jì)算粗糙表面Davies理論模型的BRDF，其散射形態(tài)如圖6。

圖6 Davies理論模型 fr隨λ變化關(guān)系圖（ρdh,s=ρdh,s(λ)）（參數(shù)：φi=0°；θi=30°；σ=0.07μm；a=2.2μm）

圖6與圖4對(duì)比可見(jiàn)，當(dāng)考慮ρdh,s=ρdh,s(λ)后，散射整體形態(tài)隨波長(zhǎng)由遞減轉(zhuǎn)化成了先增大后減小關(guān)系，而這個(gè)轉(zhuǎn)變主要由于ρdh,s在模型中對(duì)整個(gè)散射起到整體縮放的作用。從而，由于ρdh,s在短波段過(guò)渡到中間波段時(shí)有快速增大過(guò)程而后基本保持不變，使得原本單調(diào)遞減的整體散射形態(tài)在短波段到中間波段有了遞增，而后ρdh,s基本不變整體形態(tài)又出現(xiàn)再次遞減。

2.3 Davies理論模型粗糙面參數(shù)的影響

2.3.1 Davies理論模型σ的影響

表面粗糙度均方根σ是表面輪廓高度起伏的標(biāo)準(zhǔn)差，其值大體反映了表面輪廓起伏的高低。圖7展示假定φi=0°，θi=30°，λ=500nm，ρdh,s=28.70%，a=2.2μm后，計(jì)算粗糙表面Davies理論模型的BRDF在不同表面粗糙度均方根σ下散射形態(tài)，隨著表面粗糙度均方根σ增大，表面輪廓起伏越來(lái)越大，表面也越粗糙，所以鏡面反射項(xiàng)逐漸減小，而非鏡面反射項(xiàng)逐漸增大。

圖7 Davies理論模型fr隨σ變化關(guān)系圖（參數(shù)：φi=0°；θi=30°；λ=500nm；ρdh,s=28.70%；a=2.2μm）

選取鏡面反射方向（θr=30°，φr=180°）的 fr進(jìn)行更為具體的分析，如圖8可見(jiàn)隨著表面粗糙度均方根σ的增大，fr逐漸由鏡面反射部分為主逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)榉晴R面反射部分為主。

圖8 鏡面反射方向下 fr隨σ變化關(guān)系圖

2.3.2 Davies理論模型a的影響

表面自相關(guān)長(zhǎng)度a，是表面自相關(guān)函數(shù)R(τ)下降到其最大值的倍的τ［17］。一般用來(lái)估計(jì)隨機(jī)表面的特征波長(zhǎng)，如果輪廓上兩點(diǎn)的距離大于自相關(guān)長(zhǎng)度，則可以認(rèn)為這兩點(diǎn)是互不相關(guān)的，用來(lái)說(shuō)明表面輪廓的隨機(jī)性。

假定φi=0°，θi=30°，λ=500nm，ρdh,s=28.70%，σ=0.07μm后，計(jì)算粗糙表面Davies理論模型的BRDF在不同表面自相關(guān)長(zhǎng)度a下散射形態(tài)由圖9可見(jiàn)，隨著表面自相關(guān)長(zhǎng)度a增大，非鏡面反射項(xiàng)逐漸增大。從公式（2）可見(jiàn)，表面自相關(guān)長(zhǎng)度a并不影響鏡面反射項(xiàng)。圖10則選取鏡面反射方向（θr=30°，φr=180°）的 fr進(jìn)行更為具體的分析。

圖9 Davies理論模型 fr隨a變化關(guān)系圖（參數(shù)：φi=0°；θi=30°；λ=500nm；ρdh,s=28.70%；σ=0.07μm）

圖10 鏡面反射方向下 fr隨a變化關(guān)系圖

3 結(jié)論

基于Davies理論粗糙面的光散射形態(tài)表現(xiàn)出類(lèi)散射特性，有較強(qiáng)的方向散射特性，其BRDF包含鏡面反射項(xiàng)和非鏡面反射項(xiàng)，BRDF在鏡面反射方向出現(xiàn)“高光”區(qū)域。

入射方位角不影響B(tài)RDF的整體散射形態(tài)和大小，隨著入射天頂角的增大，鏡面反射部分逐漸增強(qiáng)，非鏡面反射部分逐漸減弱。在不考慮方向半球反射率隨波長(zhǎng)變化時(shí)，波長(zhǎng)增大主要通過(guò)影響非鏡面反射部分的系數(shù)部分使其逐漸減弱，而鏡面反射部分則緩慢增強(qiáng)。在考慮方向半球反射率隨波長(zhǎng)變化時(shí)，方向半球反射率相當(dāng)于對(duì)鏡面和非鏡面部分整體進(jìn)行縮放。

表面粗糙度均方根和自相關(guān)長(zhǎng)度增大都會(huì)使Davies理論模型的非鏡面反射部分增強(qiáng)，而前者增大使鏡面反射部分減弱，后者不影響鏡面反射部分。

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Study on Scattering Characters of the Rough Surface Based on Davies Theory

WANG Yaodong，CHEN Guibo，ZHANG Ye，HAN Ying，TAN Yong，CAI Hongxing
（School of Science，Changchun University of Science and Technology，Changchun 130022）

In this paper，regularity of scattering has been investigated using BRDF based on Davies theory changing with angle，wavelength，roughness，etc.The numerical simulation showed that the shape of rough surface scattering has a certain scattering of mirror-like and has a highlight area in the specular reflection direction.The scattering shape will be more like specular reflection with the zenith angle of incident increase.The off-specular component will be more important with the wavelength decrease，relative roughness increase，in Davies model.This article research results can provide necessary theory and guidance for complex entity scattering.

Davies theory；BRDF；rough surface

O436

A

1672-9870（2016）05-0045-06

2016-04-12

王耀東（1990-），男，碩士研究生，E-mail:gannannu@163.com

陳桂波（1979-），男，副教授，E-mail:guibochen@126.com