楊 瑾

(福州理工學(xué)院 土木工程系，福州 350506)

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連續(xù)現(xiàn)金流連續(xù)復(fù)利的使用研究

楊 瑾

(福州理工學(xué)院 土木工程系，福州 350506)

為了得到最貼近現(xiàn)實(shí)的計(jì)算方式，在資金價(jià)值理論的基礎(chǔ)上，通過公式推導(dǎo)間斷復(fù)利與連續(xù)復(fù)利之間的關(guān)系，再引入實(shí)例研究連續(xù)現(xiàn)金流連續(xù)復(fù)利計(jì)算的方法和特點(diǎn)，并分析其對(duì)資金時(shí)間價(jià)值的影響。結(jié)果表明，連續(xù)現(xiàn)金流連續(xù)復(fù)利計(jì)算模式的終值大于間斷現(xiàn)金流間斷復(fù)利，因此連續(xù)現(xiàn)金流連續(xù)復(fù)利模式的計(jì)算方式最貼近實(shí)際情況。同時(shí)說明，在投資過程中用連續(xù)現(xiàn)金流連續(xù)復(fù)利模式計(jì)算才能避免失誤，其對(duì)社會(huì)的投資決策的方向指導(dǎo)起著重要的作用。

資金時(shí)間價(jià)值；連續(xù)復(fù)利；連續(xù)現(xiàn)金流

0 引言

在工程經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，資金是十分重要的資源。通過一系列的投資行為，可以使資金不斷增值，也就是說資金是具有時(shí)間價(jià)值的。這就表明，在不同時(shí)刻支出或得到相同數(shù)額的資金在價(jià)值上是不相等的，即數(shù)量相同的資金，如果存在的時(shí)間點(diǎn)不一樣，則價(jià)值就不一樣。資金時(shí)間價(jià)值一般具有兩種表現(xiàn)形式[1]：終值和現(xiàn)值。直接揭露了不同節(jié)點(diǎn)上現(xiàn)金流量之間的相互關(guān)系。理論上講，資金的時(shí)間價(jià)值主要是資金持續(xù)不斷地增加,即它的計(jì)息時(shí)間應(yīng)是不間斷的。此外，一些本身就具有連續(xù)性質(zhì)的現(xiàn)金流,如設(shè)備的運(yùn)行費(fèi)及企業(yè)每天的營業(yè)額等，在進(jìn)行經(jīng)濟(jì)評(píng)價(jià)時(shí),往往對(duì)它們進(jìn)行簡單處理,認(rèn)為它們是發(fā)生在期初或期末，這是與實(shí)際情況相違背的。為了確保資金價(jià)值的正確評(píng)價(jià)，在計(jì)算時(shí)應(yīng)把不同時(shí)刻支出和得到的資金換算成同一時(shí)刻的資金，在同等條件下再進(jìn)行比較。本文研究等額收付系列連續(xù)現(xiàn)金流連續(xù)復(fù)利，并結(jié)合實(shí)例將其與其他計(jì)算方式相對(duì)比，分析連續(xù)現(xiàn)金流連續(xù)復(fù)利對(duì)資金時(shí)間價(jià)值的影響[2]。

1 等額收付系列連續(xù)復(fù)利計(jì)算

1.1 名義利率與實(shí)際利率

名義利率是按單利計(jì)算的利率。實(shí)際利率是按復(fù)利計(jì)算的利息(計(jì)息長度及利率均為年)。當(dāng)計(jì)息周期不是一年時(shí)，便會(huì)產(chǎn)生名義利率和實(shí)際利率的問題。用r表示名義利率，m表示一年內(nèi)計(jì)息次數(shù)，p表示本金，則一年后本利和為：

(1)

實(shí)際利率i為：

(2)

當(dāng)m=1時(shí)，i=r。

1.2 等額收付連續(xù)復(fù)利計(jì)算

1.2.1 等額收付連續(xù)復(fù)利推導(dǎo)

在實(shí)際生活中，大多數(shù)情況下的收入與支出都是等額進(jìn)行的。連續(xù)復(fù)利是指在計(jì)息期數(shù)逼近無窮的條件下獲得的利率[3]。由于整個(gè)資金的周轉(zhuǎn)是一個(gè)不間斷的過程，因此計(jì)息時(shí)間劃分的越小越合理，亦即計(jì)算次數(shù)越多越準(zhǔn)確，讓計(jì)息“次”的時(shí)間間隔趨于無限小，從而計(jì)息次數(shù)m→∞時(shí)，則有連續(xù)利率[4]：

=er-1

(3)

1.2.2 等額收付終值、現(xiàn)值計(jì)算

設(shè)每年的支付金額為A，連續(xù)復(fù)利為i，期數(shù)為n，n年末的等價(jià)終值為F，n年初折現(xiàn)值為P。則按復(fù)利計(jì)算的終值F為：

F=A+A(1+i)+…+A(1+i)n-2+A(1+i)n-1

(4)

等式兩邊同乘以(1+i)：

F(1+i)=A(1+i)+A(1+i)2+…+A(1+i)n-1+A(1+i)n

(5)

上面式子合并的：

F(1+i)-F=A(1+i)n-A

(6)

可得：

(7)

將式(3)代入式(7)，可得連續(xù)復(fù)利終值：

(8)

按復(fù)利計(jì)算的現(xiàn)值P為：

(9)

將式(3)代入式(7)代入(9)，可得連續(xù)復(fù)利現(xiàn)值:

(10)

2 連續(xù)現(xiàn)金流連續(xù)復(fù)利計(jì)算

在市場經(jīng)濟(jì)中，將現(xiàn)金流視為連續(xù)現(xiàn)金流比假定它們?yōu)殚g斷現(xiàn)金流而言更接近于實(shí)際。如果存在函數(shù)Q(t),使得某現(xiàn)金流的流量函數(shù)C(t)可以表示成：

(11)

則稱這種現(xiàn)金流為連續(xù)流，并且稱Q(t)為連續(xù)流的流速函數(shù)[5]，t為連續(xù)的持續(xù)時(shí)間。顯然，連續(xù)流的流量函數(shù)是絕對(duì)連續(xù)函數(shù)，這是連續(xù)流與離散流的根本區(qū)別。

在Q(t)的連續(xù)點(diǎn)處，由數(shù)學(xué)方法可知：

(12)

表示Q(t)在時(shí)點(diǎn)t有凈現(xiàn)金流量的變化率。

現(xiàn)金流量變化函數(shù)的種類根據(jù)實(shí)際情況的不同也可以近似看作不同的函數(shù)類型。本文選擇實(shí)際中最為典型的一種連續(xù)流：均勻流，即Q(t)為常數(shù)A。許多現(xiàn)金流都可用均勻流來描述，例如五險(xiǎn)一金等均可看成是均勻流。

以均勻流為例進(jìn)行公式推導(dǎo)：

連續(xù)現(xiàn)金流量連續(xù)復(fù)利時(shí)：Ft→A(均勻的),i→er-1。

(13)

3 算例分析

王某從35歲開始每年末在社?；鹜顿Y3000元，時(shí)限為25年，年利率8%。(1)王某在25年后可得多少錢？相當(dāng)于他現(xiàn)在一次性存入多少錢？(2)在連續(xù)復(fù)利下如何求解？(3)若王某每年存入的連續(xù)現(xiàn)金流的總金額為3000元(即連續(xù)流的年流速)，25年后他得到的又是多少錢，相當(dāng)于他現(xiàn)在存入多少錢？

A=3000，n=25，i=8%，依題意求普通年金終值與現(xiàn)值：

即，25年給王某帶來本利和21.93萬元。相當(dāng)于他現(xiàn)在一次性存入：

依據(jù)連續(xù)現(xiàn)金流連續(xù)復(fù)利求終值與現(xiàn)值：

通過計(jì)算，得到的結(jié)果見表1。

表1 結(jié)果分析表

4 結(jié)語

通過算例分析表明，資金的時(shí)間價(jià)值在個(gè)人投資決策中產(chǎn)生了重要影響，連續(xù)現(xiàn)金流連續(xù)復(fù)利計(jì)算模式的終值大于間斷現(xiàn)金流間斷復(fù)利，因此連續(xù)現(xiàn)金流連續(xù)復(fù)利模式的計(jì)算方式最貼近真實(shí)。社會(huì)是不斷發(fā)展的，每分每秒的資金都在發(fā)生變動(dòng)，隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，資金運(yùn)動(dòng)速度的不斷加快，連續(xù)流假設(shè)的必要性應(yīng)該得到人們的重視。不管是個(gè)人投資還是企業(yè)投資，在實(shí)際使用中采用連續(xù)復(fù)利法是合理的。除此之外，在當(dāng)下快速發(fā)展的經(jīng)濟(jì)模式下，連續(xù)現(xiàn)金流連續(xù)復(fù)利的觀點(diǎn)，也對(duì)社會(huì)的投資決策的方向指導(dǎo)起著重要的作用。

[1] 吳鯤.論貨幣的時(shí)間價(jià)值和投資決策[J].現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)信息,2014(3):131-132.

[2] 劉萬鵬,田元福.間斷復(fù)利與連續(xù)復(fù)利的比較研究[J].重慶交通大學(xué)學(xué)報(bào):社會(huì)科學(xué)版,2009(4):59-60.

[3] 王榮波.離散復(fù)利和連續(xù)復(fù)利對(duì)投資者收益的影響分析[J].襄陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2013(1):23-25.

[4] 吳宏量,莫俊文.連續(xù)復(fù)利連續(xù)現(xiàn)金流模型的建立及應(yīng)用[J].蘭州交通大學(xué)報(bào),2015(3):44-47.

[5] 劉曉君.工程經(jīng)濟(jì)學(xué)[M].北京:中國建筑工業(yè)出版社, 2015.

(責(zé)任編輯：仇新明)

Research on Continuous Compound Interest of Continuous Cash Flow

YANG Jin

(Department of Civil Engineering, Fuzhou Institute of Technology, Fuzhou 350506，China)

In order to obtain the calculation most close to the reality, the relationship between intermittent compound interest and continuous compound interest can be determined indirectly by equation, which is based on the time value theory. This investigation aims to figure out the methods of counting continuous compound interest, and its influence on the time value theory. The calculated results showed that the future value calculated by continuous compound interest cash flow is greater than intermittent compound interest cash flow. Therefore, the computing model of continuous compound interest cash flow is most close to the reality. Continuous compounding continuous cash flow model calculations can avoid mistakes in the investment process, which plays an important role in social investment decisions.

time value of money; continuous compound interest; continuous cash flow

2016-08-01

楊瑾(1990-)，女，甘肅平?jīng)鋈?，助教，碩士，主要從事建筑與環(huán)境、工程經(jīng)濟(jì)等研究。

F407

A

1009-7961(2016)05-0074-03