白國鵬，李換平，李笑宇

（1.天津市市政工程設(shè)計(jì)研究院，天津 300051；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué)交通科學(xué)與工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱 150090）

基于馬爾可夫模型的路網(wǎng)養(yǎng)護(hù)管理排序問題研究

白國鵬1，李換平2，李笑宇1

（1.天津市市政工程設(shè)計(jì)研究院，天津 300051；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué)交通科學(xué)與工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱 150090）

對馬爾可夫排序模型進(jìn)行研究，分析了該模型在路網(wǎng)養(yǎng)護(hù)管理中的適用性；建立了路網(wǎng)多因素排序模型，通過在實(shí)例分析中繪制馬爾可夫圖，闡明了馬爾可夫排序模型的應(yīng)用原理，并利用MATLAB程序?qū)δＰ瓦M(jìn)行了求解，為解決路網(wǎng)養(yǎng)護(hù)規(guī)劃中的養(yǎng)護(hù)路段排序問題提供依據(jù)。

工程管理；路網(wǎng)養(yǎng)護(hù)管理；馬爾可夫；排序模型

隨著中國公路網(wǎng)建設(shè)進(jìn)入尾聲，路網(wǎng)的養(yǎng)護(hù)資金投入、養(yǎng)護(hù)資金分配等養(yǎng)護(hù)投資規(guī)劃問題日益明顯，主要表現(xiàn)為嚴(yán)格按照規(guī)范要求進(jìn)行養(yǎng)護(hù)所需資金不足、具體路段的養(yǎng)護(hù)對策難以從長遠(yuǎn)意義角度出發(fā)進(jìn)行選取、資金的利用效率低等。這些問題的存在嚴(yán)重影響了路網(wǎng)路況，養(yǎng)護(hù)資金投入不合理使得路網(wǎng)錯(cuò)過了最佳養(yǎng)護(hù)時(shí)機(jī)，養(yǎng)護(hù)對策選取不合理則導(dǎo)致路況過早過快惡化。同時(shí)由于不同氣候地區(qū)路網(wǎng)的主要病害與破壞形式均不相同，養(yǎng)護(hù)規(guī)劃的影響因素眾多。人為地對每個(gè)路段進(jìn)行排序來確定養(yǎng)護(hù)優(yōu)先級是不客觀的，如何科學(xué)、客觀地對路網(wǎng)道路進(jìn)行養(yǎng)護(hù)排序顯得尤為重要。

馬爾可夫排序模型的核心思想在于投票，而排序就是所有投票人的選票結(jié)果。不同的是，投票人不是每一位專家，而是馬爾可夫排序模型里客觀存在的隨機(jī)游走的評分人（稱其為墻頭草評分人）。該文擬利用馬爾可夫排序模型對路網(wǎng)道路進(jìn)行多因素排序，解決路網(wǎng)養(yǎng)護(hù)規(guī)劃中的排序問題。

1 馬爾可夫排序模型適用性分析

馬爾可夫排序模型是多因素排序模型，其核心思想充分體現(xiàn)了模型的客觀性，盡量減少了主觀排序的可能。該模型為其客觀性所付出的代價(jià)是計(jì)算量增大，但現(xiàn)在計(jì)算機(jī)性能的不斷提高使將馬爾可夫排序模型用于處理大型路網(wǎng)排序問題成為可能。

馬爾可夫排序模型的原理是：系統(tǒng)中客觀存在一個(gè)墻頭草隨機(jī)游走的評分人，根據(jù)墻頭草在馬爾可夫圖上隨機(jī)游走時(shí)在每個(gè)節(jié)點(diǎn)上所消耗的時(shí)間比例獲得評分排名即馬爾可夫評分向量r，根據(jù)該向量進(jìn)行排序。將公路網(wǎng)內(nèi)的每個(gè)路段進(jìn)行養(yǎng)護(hù)優(yōu)先排序的過程比擬為馬爾可夫排序的投票過程，根據(jù)每個(gè)需要養(yǎng)護(hù)路段的自由屬性來確定每個(gè)養(yǎng)護(hù)路段的養(yǎng)護(hù)優(yōu)先級。

2 建立馬爾可夫路網(wǎng)養(yǎng)護(hù)排序模型

根據(jù)某項(xiàng)指標(biāo)（如交通量、指標(biāo)值）的分差，建立馬爾可夫排序模型隨機(jī)矩陣V，稱其為馬氏排序模型原始矩陣；通過對V進(jìn)行歸一化處理、全勝隊(duì)伍處理，得到具有穩(wěn)態(tài)向量的隨機(jī)矩陣Si；利用每個(gè)指標(biāo)的Si計(jì)算得到最終隨機(jī)矩陣S；計(jì)算S的穩(wěn)態(tài)向量（主特征向量），得到馬爾可夫排序模型評分向量r即排序結(jié)果。

為了更清晰地表達(dá)模型建立的過程，選擇交通量（年平均日交通量AADT）和路況指標(biāo)（如路面狀況指數(shù)PCⅠ）雙變量進(jìn)行闡述。將交通量作為排序的因素之一，可優(yōu)先對交通量大的路段進(jìn)行養(yǎng)護(hù)。某路段的交通量越大，在路網(wǎng)中發(fā)揮的作用就越大。單純考慮交通量因素也存在缺點(diǎn)：路段的交通量小，路況將持續(xù)下降，交通量也將隨之更小，下?lián)艿馁Y金就更少，路況將更差，形成惡性循環(huán)。決策者不希望看到這種情況，所以考慮添加路況指標(biāo)作為另一變量來平衡這種缺點(diǎn)，路況差的路段將獲得更為合理的分配資金的機(jī)會，整體上改進(jìn)了模型。

馬爾可夫排序模型不局限于雙變量排序，可根據(jù)決策者的需求采取多變量排序的方式。

雙變量排序中的每個(gè)變量都存在一個(gè)權(quán)重α1、α2，若它們同等重要，則α1=α2=0.5，只要保證α1+ α2=1且αi≥0即可?；诮煌浚ˋADT）和路況指標(biāo)（PCⅠ）雙變量模型的建立步驟如下：

（1）建立馬爾可夫原始矩陣：

式中：［V］ij表示V中第i行第j列的數(shù)值；n為路段總數(shù)。

式中：VAADT為按交通量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)建立的馬氏原始矩陣；VZB為按道路性能指標(biāo)均值統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)建立的馬氏原始矩陣；ZB為道路性能指標(biāo)值與滿分之差。

（2）根據(jù)馬爾可夫原始矩陣V按式（4）計(jì)算馬爾可夫隨機(jī)矩陣S。SAADT、SZB分別對應(yīng)VAADT、VZB，分別根據(jù)VAADT、VZB計(jì)算得到。然后根據(jù)各因素權(quán)重按式（6）計(jì)算馬爾可夫隨機(jī)矩陣SEnd。

式中：［S］ij代表矩陣S中第i行第j列的值。

式中：SEnd為全部S構(gòu)建的最終隨機(jī)矩陣，本例中由SAADT和SZB構(gòu)建；αi為統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)對應(yīng)權(quán)重。

（3）為了保證SEnd具有不可約性，使其擁有穩(wěn)態(tài)向量，按式（7）對SEnd進(jìn)行處理。ˉS不可約，保證了其穩(wěn)態(tài)向量存在且唯一。ˉS內(nèi)的數(shù)值依賴于標(biāo)量β的選擇，通常β越大，模型越符合原始數(shù)據(jù)。這里采用全勝隊(duì)伍均等對所有隊(duì)伍投票的算法保證ˉS矩陣的不可約性，并取β=1。

（4）計(jì)算每個(gè)路段的權(quán)值分量。利用式（8）、式（9）計(jì)算路網(wǎng)權(quán)值向量r，得到路網(wǎng)中所有路段的排序。由于計(jì)算得到的每個(gè)路段的權(quán)值分量均小于1（［r］i＜1），對于一些有養(yǎng)護(hù)硬性要求的路段，只要將其評分值設(shè)置為1，即可得到路網(wǎng)所有路段的排序方案。

式中：λ為ˉS轉(zhuǎn)置矩陣的特征值；Ⅰ為n階次對角陣，為主對角線全為1的矩陣；r為馬爾可夫評分向量，為ˉS轉(zhuǎn)置的穩(wěn)態(tài)向量（即主特征向量）。

3 實(shí)例分析

下面通過一個(gè)實(shí)例對上述模型進(jìn)行說明并求解。隨機(jī)取江蘇南京G104國道K1132—K1136路段5個(gè)上行路段進(jìn)行養(yǎng)護(hù)優(yōu)先排序，其2013年路面狀況指數(shù)PCⅠ、路面行駛質(zhì)量指數(shù)RQⅠ、路面車轍深度指數(shù)RDⅠ、路面抗滑性能指數(shù)SRⅠ等指標(biāo)值見表1。

表1　5個(gè)路段的路況指標(biāo)值

從表1來看，RQⅠ差異較大。下面第1～3步以RQⅠ為例進(jìn)行計(jì)算，其他指標(biāo)類似。RQⅠ指標(biāo)值與滿分之差見表2。

表2　5個(gè)路段的RQⅠ指標(biāo)值

（1）計(jì)算馬爾可夫原始矩陣（投票矩陣）：

（3）為了保證得到的馬爾可夫隨機(jī)矩陣S具有穩(wěn)態(tài)評分向量，采用全勝隊(duì)伍均等對所有隊(duì)伍投票的算法進(jìn)行計(jì)算，得到S。繪制馬爾可夫排序圖（見圖1），用以表示馬爾可夫模型的物理意義即墻頭草評分人在每一個(gè)節(jié)點(diǎn)上所消耗的時(shí)間，從而獲得評分排名。

圖1　模型評分人在馬爾可夫圖上進(jìn)行一次隨機(jī)游走

（4）計(jì)算SEnd。本例采用PCⅠ、RQⅠ、RDⅠ、SRⅠ4個(gè)指標(biāo)進(jìn)行排序，采用JTG H20-2007《公路技術(shù)狀況評定標(biāo)準(zhǔn)》中計(jì)算PQⅠ時(shí)的各指標(biāo)權(quán)重，對于瀝青路面，道路等級為一級公路的權(quán)重值分別為0.35、0.4、0.15、0.1。按式（6）計(jì)算，得到最終隨機(jī)矩陣：

（5）利用MATLAB計(jì)算ST的穩(wěn)態(tài)向量即主特征向量，程序如下：1）對S賦值，S=［0.03，0.10，0.20，0.30，0.37；0.09，0，0.26，0.23，0.42；0.17，0.10，0.08，0.31，0.34；0.15，0.11，0.30，0.07，0.38；0.05，0.05，0.45，0.40，0.05］；2）利用eig函數(shù)計(jì)算ST的所有特征值及特征向量，［X，Z］=eig（S′）；3）取特征值的模，M=abs（X）；4）計(jì)算主特征向量并歸一，T=M（：，1）/sum（M（：，1））。計(jì)算結(jié)果見表3。

表3　馬爾可夫排序模型5個(gè)路段的排序結(jié)果

4 結(jié)語

該文旨在研究一種客觀有效的多因素排序方法，用以解決路網(wǎng)養(yǎng)護(hù)中對養(yǎng)護(hù)道路優(yōu)先選取問題。利用馬爾可夫排序模型建立路網(wǎng)養(yǎng)護(hù)排序模型，為解決路網(wǎng)養(yǎng)護(hù)規(guī)劃中的養(yǎng)護(hù)優(yōu)先排序問題提供了一種新方法。

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U418.2

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1671-2668（2016）05-0234-03

2016-05-23