朱 雷， 劉艷云， 王 軒, 武花干， 周小勇

(1.江蘇理工學院 電氣信息工程學院， 江蘇 常州 213001； 2.南京航空航天大學 電子信息工程學院， 南京 210016；3.常州紡織服裝職業(yè)技術(shù)學院 機電工程系， 江蘇 常州 213164； 4.南京理工大學 電子工程系， 南京 210094)

?

一個新四維超混沌系統(tǒng)的構(gòu)建與電路實現(xiàn)

朱 雷1，2*， 劉艷云3， 王 軒1, 武花干4， 周小勇1

(1.江蘇理工學院 電氣信息工程學院， 江蘇 常州 213001； 2.南京航空航天大學 電子信息工程學院， 南京 210016；3.常州紡織服裝職業(yè)技術(shù)學院 機電工程系， 江蘇 常州 213164； 4.南京理工大學 電子工程系， 南京 210094)

利用基本Sprott-B系統(tǒng)僅具有兩個渦卷平衡點的特點，通過系統(tǒng)改造與推廣，提出一個具有3個平衡點的三維混沌系統(tǒng)，進而通過增加一維線性控制器并反饋至三維系統(tǒng)狀態(tài)方程，構(gòu)建出一個新四維超混沌系統(tǒng).采用相軌圖、Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖等動力學工具對超混沌系統(tǒng)進行了仿真分析.結(jié)果表明，當參數(shù)變化時，系統(tǒng)可以在周期或復雜周期、混沌與超混沌之間演變，存在復雜而奇異的動力學行為.研制電子電路并生成了超混沌吸引子，完成了實驗驗證.

超混沌系統(tǒng)； 平衡點； Lyapunov指數(shù)譜； 電路實現(xiàn)

由于超混沌系統(tǒng)具有兩個或兩個以上的正Lyapunov指數(shù)，因而比混沌系統(tǒng)具有更為復雜的動力學行為，從而在保密通信等工程技術(shù)領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用價值[1].長期以來學術(shù)界對于超混沌系統(tǒng)的研究與發(fā)掘從未停歇，在三維混沌系統(tǒng)狀態(tài)方程上加載不同的反饋控制器構(gòu)造四維或更高維的系統(tǒng)，成為一種有效的探索手段.文獻[2]和文獻[3]分別從Chua系統(tǒng)和Colpitts振蕩器模型出發(fā)，添加反饋控制器并引入分段線性函數(shù)，構(gòu)造并物理生成了相應(yīng)的多渦卷超混沌吸引子.

除上述從電子電路原型中抽象出的混沌系統(tǒng)以外，更多的研究焦點集中在具有對稱蝴蝶混沌吸引子的三維連續(xù)混沌系統(tǒng)上.2007年，王光義等學者通過對Lorenz系統(tǒng)施加線性反饋控制器，實現(xiàn)并電路生成了兩翼超混沌吸引子[4]；2009年，包伯成等提出一個新三維混沌系統(tǒng)，即Bao系統(tǒng)[5]，并利用線性反饋控制得到相應(yīng)的超混沌系統(tǒng)[6]；2010年，賈立新等通過對Chen系統(tǒng)進行線性反饋控制，得到一種超混沌Chen系統(tǒng)[7]；包伯成等通過對增廣Lü系統(tǒng)進行線性反饋控制，得到一個四翼蝴蝶超混沌系統(tǒng)[8]；2012年，李春來與禹思敏通過對Yang系統(tǒng)的三個狀態(tài)方程同時施加線性控制器，構(gòu)建了一種超混沌系統(tǒng)并完成電路實驗驗證[9]；2014年以來，新的超混沌系統(tǒng)依然在陸續(xù)出現(xiàn)[10，11].

作為三維連續(xù)混沌系統(tǒng)，基本Sprott-B系統(tǒng)[12]由美國學者Sprott于1994年提出，相關(guān)的研究報道較少，文獻[13]和[14]基于其數(shù)學模型分別構(gòu)建了兩種不同的分段線性混沌系統(tǒng).從相軌圖角度看，基本Sprott-B系統(tǒng)具有兩翼蝴蝶混沌吸引子，從平衡點角度看，與上文提到的三維兩翼蝴蝶混沌系統(tǒng)不同，僅具有兩個渦卷平衡點，從這個差別出發(fā)，本文嘗試對基本Sprott-B系統(tǒng)進行改造，從而提出一個具有3個平衡點的新三維混沌系統(tǒng)，并進一步構(gòu)建出一個新四維超混沌系統(tǒng)，同時搭建電子電路驗證并觀察系統(tǒng)生成的兩翼蝴蝶超混沌吸引子.

1 新四維超混沌系統(tǒng)的構(gòu)建

基本Sprott-B混沌系統(tǒng)[12]狀態(tài)方程為：

(1)

與其它典型連續(xù)混沌系統(tǒng)如Lorenz系統(tǒng)等相同的是，系統(tǒng)(1)具有一對指標2的鞍焦平衡點S1=(1， 1， 0)和S-1=(-1，-1， 0)，從而呈現(xiàn)出一個兩翼蝴蝶混沌吸引子.不同的是，系統(tǒng)(1)缺少一個指標1的鞍點.而從目前四維連續(xù)蝴蝶超混沌系統(tǒng)構(gòu)建的角度來看，一般都是基于現(xiàn)有三維連續(xù)混沌系統(tǒng)，通過引入一維線性或非線性控制器并反饋至三維系統(tǒng)方程中獲得，大多數(shù)情況下，原三維系統(tǒng)中指標1的鞍點對應(yīng)于四維超混沌系統(tǒng)中唯一的不穩(wěn)定平衡點，并往往成為生成超混沌吸引子的關(guān)鍵.

基于上述思想，本文首先對系統(tǒng)(1)進行一種巧妙地改進，在第3個方程中增加一個線性項-z，并引入正參數(shù)a， b， c進行系統(tǒng)推廣，從而提出一個新的三維混沌系統(tǒng)，其數(shù)學模型為：

(2)

圖1 系統(tǒng)(2)的混沌吸引子Fig.1 Chaotic attractor of system (2)

(3)

式中參數(shù)，a， b， c， d均大于0，當取參數(shù)a=10， b=4， c=1， d=0.5時，系統(tǒng)表現(xiàn)出兩翼蝴蝶超混沌吸引子，如圖2所示.此時系統(tǒng)(3)的四個Lyapunov指數(shù)為LE1=0.1452， LE2=0.1013， LE3=0.0014， LE4=-5.2478，其Lyapunov維數(shù)為dL=3.047，因此系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài).下面對其動力學特性進行詳細的分析.

圖2 系統(tǒng)(3)的超混沌吸引子Fig.2 Hyperchaotic attractor of system (3)

2 超混沌系統(tǒng)的動力學分析

2.1 基本動力學分析

對于系統(tǒng)(3)，滿足

.

(4)

因此系統(tǒng)(3)耗散.代數(shù)計算可知，系統(tǒng)(3)僅有一個平衡點E0=(0， 0， c， 0)，在E0處線性化系統(tǒng)(3)，得其Jacobi矩陣

(5)

以及相應(yīng)的特征多項式

f(λ)=(λ+1)g(λ),

(6)

式中,

g(λ)=λ3+bλ2+(d-abc)λ+2bd.

(7)

對于g(λ)，根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù)，由于-bd-ab2c<0，所以E0是不穩(wěn)定平衡點.展開(6)式，得到

f(λ)=λ4+(b+1)λ3+(b+d-abc)λ2+

(d+2bd-abc)λ+2bd.

(8)

當取參數(shù)a=10， b=4， c=1， d=0.5時，數(shù)值計算得到四個特征根λ1=-8.6305，λ2=4.5281，λ3=-1，λ4=0.1024，因此平衡點E0為不穩(wěn)定的鞍點.

2.2 Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖

系統(tǒng)參數(shù)變化，動力學行為將隨之發(fā)生改變，下面從Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖的角度動態(tài)觀察這一影響.限于篇幅，這里僅分析參數(shù)b和d變化對系統(tǒng)的影響，且為了圖形清晰起見，這里忽略了第四根負Lyapunov指數(shù)LE4.

固定參數(shù)a=10， c=1， d=0.5，改變參數(shù)b，當b∈[0.1，20]時，數(shù)值仿真得到系統(tǒng)(3)的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖，如圖3所示.這里x-b分岔圖仿真時選擇的Poincaré截面為z=0平面.從圖3可見，隨著b的改變，系統(tǒng)狀態(tài)在周期或復雜周期、混沌與超混沌之間演變.當b∈[0.1，0.7)時，Lyapunov指數(shù)LE1=0， LE2， LE3， LE4< 0，系統(tǒng)處于周期或復雜周期狀態(tài)；當b∈[0.7，1.5)時，除在b=1.22處存在一個周期窗口以外，Lyapunov指數(shù)LE1> 0， LE2=0， LE3， LE4< 0，系統(tǒng)處于微弱的混沌狀態(tài)；當b∈[1.5，2.3)時，Lyapunov指數(shù)LE1=0， LE2， LE3， LE4< 0，系統(tǒng)處于周期狀態(tài)；當b∈[2.3，2.6)時，Lyapunov指數(shù)LE1 > 0， LE2=0， LE3， LE4<0，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)；當b∈[2.6，11.3)時，Lyapunov指數(shù)LE1> 0， LE2> 0， LE3=0， LE4< 0，系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)；當b∈[11.3，20]時，除個別瞬態(tài)、微弱的混沌窗口以外，Lyapunov指數(shù)LE1=0， LE2， LE3， LE4< 0，系統(tǒng)處于周期狀態(tài)，且為周期3.

圖3 b變化時系統(tǒng)(3)的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖Fig.3 Lyapunov exponent spectrum and bifurcation diagram with changing b of system (3)

固定參數(shù)a=10， b=4， c=1，改變參數(shù)d，當d∈[0.1，1.6]時，數(shù)值仿真得到系統(tǒng)(3)的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖，如圖4所示.這里z-d分岔圖選擇的Poincaré截面為y=1平面.顯而易見，當d∈[0.1，1.06)時，除個別混沌窗口外，Lyapunov指數(shù)LE1> 0， LE2> 0， LE3=0， LE4< 0，系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)；當d∈[1.06，1.6]時，除個別瞬態(tài)混沌窗口以外，Lyapunov指數(shù)LE1=0， LE2， LE3， LE4< 0，系統(tǒng)處于周期狀態(tài).進一步的相軌圖仿真研究表明，當1.06 ≤ d < 1.4時，系統(tǒng)呈現(xiàn)出單翼周期吸引子，當1.4 ≤ d ≤ 1.6時，呈現(xiàn)出對稱兩翼周期吸引子.且在單翼周期區(qū)域中，隱藏著局部的吸引子共存窗口，例如，當d=1.1時，參數(shù)初值(x0， y0， z0， w0)分別為(1， 1， 1， 1)和(1， 1， 1，-1)時，分別對應(yīng)著右吸引子和左吸引子.

3 電路實現(xiàn)與實驗驗證

根據(jù)系統(tǒng)(3)的微分方程組，可以設(shè)計并制作硬件實現(xiàn)電路，如圖5所示.這里τ=R0C0為積分電路時間常數(shù)，也是時間尺度變換因子，為了保證實驗觀測效果，取R0=100 kΩ，C0=0.1 μF，從而電路生成的超混沌信號在相軌圖不變的情況下，時間域被壓縮100倍.為了保證電路實現(xiàn)精度，集成運算放大器和模擬乘法器分別選擇了TI公司的TL084和MPY634集成芯片，并采用±12 V線性電源電壓供電，電阻采用了多圈電位器精密調(diào)節(jié)得到，而電容則采用大量CBB電容精密測量篩選獲得.

當取電阻Ra=2 kΩ，Rb=5 kΩ，Rd=40 kΩ，電壓-5c V為-5 V時，對應(yīng)于系統(tǒng)(3)的參數(shù)a=10，b=4，c=1，d=0.5.采用高分辨率的安捷倫數(shù)字示波器DSO7054B進行實驗觀測，可以精密捕獲超混沌系統(tǒng)的相軌跡，實驗結(jié)果如圖6所示.通過與圖2對比可以發(fā)現(xiàn)，電路工作后得到的超混沌吸引子與數(shù)值仿真結(jié)果保持一致，上述電路可以準確實現(xiàn)本文所構(gòu)建的超混沌系統(tǒng).

圖4 d變化時系統(tǒng)(3)的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖Fig.4 Lyapunov exponent spectrum and bifurcation diagram with changing d of system (3)

圖5 超混沌系統(tǒng)(3)的電路實現(xiàn)Fig.5 Circuit implementation of hyperchaotic system (3)

圖6 超混沌系統(tǒng)(3)的電路實驗結(jié)果Fig.6 The circuit experimental results of hyperchaotic system (3)

4 結(jié)論

本文從僅具有兩個渦卷平衡點的基本Sprott-B混沌系統(tǒng)出發(fā)，巧妙地在第3個方程中增加一個線性項-z，并引入正參數(shù)進行系統(tǒng)推廣，提出一個具有3個平衡點的新三維混沌系統(tǒng)，新混沌系統(tǒng)與基本Sprott-B系統(tǒng)具有不同的拓撲結(jié)構(gòu)與混沌吸引子.在此基礎(chǔ)上，引入線性控制器w并反饋至新三維混沌系統(tǒng)的第一個方程，從而構(gòu)建出一個新四維超混沌系統(tǒng)，典型參數(shù)下的Lyapunov指數(shù)計算表明系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)，而相軌圖仿真表明系統(tǒng)具有兩翼蝴蝶超混沌吸引子.在對系統(tǒng)的耗散性、平衡點穩(wěn)定性分析的基礎(chǔ)上，結(jié)合Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖等動力學分析手段對系統(tǒng)參數(shù)的影響進行了詳細分析，結(jié)果表明，參數(shù)b的變化可以導致系統(tǒng)狀態(tài)在周期或復雜周期、混沌與超混沌之間演變，參數(shù)d的變化可以導致系統(tǒng)狀態(tài)在周期與超混沌之間演變，且在單翼周期區(qū)域中，隱藏著局部吸引子共存窗口.在理論分析和仿真研究的基礎(chǔ)上，設(shè)計了相應(yīng)的硬件電路并進行了實驗驗證，通過對超混沌吸引子的觀察，證實了本文所提出的新四維超混沌系統(tǒng)是一個物理可實現(xiàn)的系統(tǒng).

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Construction and circuit implementation of a new four-dimensional hyperchaotic system

ZHU Lei1，2， LIU Yanyun3， WANG Xuan1, WU Huagan4， ZHOU Xiaoyong1

(1.School of Electrical and Information Engineering， Jiangsu University of Technology， Changzhou， Jiangsu 213001; 2.School of Electronic and Information Engineering， Nanjing University of Aeronautics and Astronautics， Nanjing 210016; 3.Department of Mechanical and Electrical Engineering， Changzhou Textile Garment Institute， Changzhou， Jiangsu 213164; 4.Department of Electronic Engineering， Nanjing University of Science and Technology， Nanjing 210094)

Based on the characteristics of the only two equilibrium points in the basic Sprott-B system, a three-dimensional chaotic system is proposed through system reforming and extension, which possess three equilibrium points. Furthermore, by adding a linear controller and feeding back into the state equation of the three-dimensional system, a four-dimensional hyperchaotic system is constructed. The simulation analysis of the hyperchaotic system is carried out by the dynamics tools of phase portrait, Lyapunov exponent spectrum and bifurcation diagram. The results indicate that the change of the parameters leads the system to evolve between period or complex period and chaos or hyperchaos, with complicated and marvelous dynamics behavior. By developing the electronic circuit, the hyperchaotic attractor is generated and the experiment verification is completed.

hyperchaotic system; equilibrium point; Lyapunov exponent spectrum; circuit implementation

2015-07-25.

國家自然科學基金項目(51277017)；江蘇省自然科學基金項目(BK2012583)；江蘇省產(chǎn)學研聯(lián)合創(chuàng)新資金資助項目(BY2014038-06)；江蘇省高等學校大學生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓練計劃項目(201511463004Z).

1000-1190(2016)02-0206-05

TM132

A

*E-mail: zhuleei@126.com.