吳成龍

(東華大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系,上海201620)

一類帶有界面條件的奇異攝動(dòng)弱非線性邊值問(wèn)題

吳成龍

(東華大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系,上海201620)

研究了帶有界面條件的弱非線性邊值問(wèn)題,信助Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理建立帶有界面條件的弱非線性邊值問(wèn)題的上下解理論,通過(guò)邊界層函數(shù)法構(gòu)造形式漸近解,證明解的存在性.

奇異攝動(dòng);漸近展開(kāi);微分不等式

0 引言

考慮弱非線性邊值問(wèn)題

其中ε是一個(gè)小的正參數(shù),A和B是給定的常數(shù),而且

其中[y](d)=y(d+)-y(d-),因右端函數(shù)在x=d處的不連續(xù)性,該問(wèn)題的解及解的一階導(dǎo)數(shù)在x=d∈(a,b)有一個(gè)跳躍,因此可以將該問(wèn)題看成由左問(wèn)題和右問(wèn)題組成的.

奇異攝動(dòng)理論產(chǎn)生于對(duì)天體力學(xué)的研究,由于其在非線性問(wèn)題中的廣泛應(yīng)用,相關(guān)理論和方法不斷被發(fā)展和優(yōu)化[1-5]等.最近幾年,帶有界面條件的奇異攝動(dòng)理論結(jié)果被廣泛地應(yīng)用于復(fù)合材料的熱傳導(dǎo)中[6],以及人口基因模型中[7],因此帶有界面條件的邊值問(wèn)題的研究越來(lái)越受到關(guān)注,如謝峰在文獻(xiàn)[8]中研究了帶有界面條件的二階擬線性奇異攝動(dòng)Dirichlet問(wèn)題

其中

作者建立了界面條件的擬線性邊值問(wèn)題的上下解理論,并給出了帶有界面條件的二階擬線性邊值問(wèn)題的解存在和唯一的條件.

對(duì)于弱非線性奇異攝動(dòng)邊值問(wèn)題,也有很多人對(duì)其研究,如丁海云,倪明康在文[9]中對(duì)下列具有不連續(xù)源的弱非線性奇異攝動(dòng)邊值問(wèn)題進(jìn)行了研究.

作者證明了解的存在唯一性與漸近解的一致有效性.本文對(duì)弱非線性奇異攝動(dòng)邊值問(wèn)題與帶有界面條件的二階擬線性奇異攝動(dòng)Dirichlet問(wèn)題進(jìn)行推廣,研究帶有界面條件的弱非線性奇異攝動(dòng)邊值問(wèn)題.

本文第一部分主要通過(guò)Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理建立帶有界面條件的弱線性邊值問(wèn)題的上下解理論.第二部分主要通過(guò)邊界層函數(shù)法,求出問(wèn)題的漸近解,再由漸近解尋找上下解.第三部分通過(guò)實(shí)例分析驗(yàn)證結(jié)果.

1 基本定理

為了方便研究,我們使用文[10]中的記號(hào),空間Qj[a,b],j=1,2,定義為

這里的?={d,x1,x2,···,xk}.

定義Q1[a,b]空間下的范數(shù)為：

可以證明Q1[a,b]是一個(gè)Banach空間.

接下來(lái)我們考慮如下帶有界面條件的邊值問(wèn)題

顯然(4)—(6)的解屬于Q2[a,b].

定義1如果α(x)∈Q2[a,b]滿足以下條件：

我們就稱α(x)是(4)—(6)的一個(gè)下解.

如果β(x)∈Q2[a,b]滿足以下條件：

我們就稱β(x)是(4)—(6)的一個(gè)上解.

(H 0)f(x,y,y′)關(guān)于函數(shù)對(duì)α(x)和β(x)滿足Nagum o條件,即存在?(x)∈C1[0,+∞), ?(x)＞0,使得

如果f(x,y,y′)：,且f(x,y,y′)關(guān)于函數(shù)對(duì)α(x)和β(x)滿足Nagumo條件.則由文[11]知,存在N＞0,使得

定理1假設(shè)問(wèn)題(4)—(6)存在上下解?(x),φ(x)(?(x)≤φ(x)),且f(x,y,y′)關(guān)于函數(shù)對(duì)?(x)和φ(x)滿足Nagumo條件,則問(wèn)題(4)—(6)至少存在一個(gè)解y(x)∈C2([a,d)∪(d,b]),且解y(x)滿足

證明首先修正原問(wèn)題F(x,y,y′)=f(x,y,y′)-y,

這樣修正后的問(wèn)題變?yōu)?/p>

利用Green函數(shù)寫出等價(jià)的積分方程,

其中p(x)是下面方程的解

顯然,p(x)∈[a,d)∪(d,b]在x=d處不連續(xù),

所以

這里的K1=ed-b,K2=ea-d.

Green函數(shù)G(x,s)滿足如下邊值問(wèn)題

定義如下算子T：Q1[a,b]→Q1[a,b],

Q1[a,b]是一個(gè)Banach空間,由文[8]引理2.1可知,如果有界函數(shù)族E?Q1[a,b]在[a,b]上分段等度連續(xù),則E是一個(gè)相對(duì)緊集.從而知算子T是一個(gè)全連續(xù)算子.由Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理知,算子T至少存在一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)y(x)∈Q1[a,b].

接下來(lái)證明解y(x)滿足?(x)≤y(x)≤φ(x),我們這里只證明?(x)≤y(x).

若不然,令h(x)=y(x)-?(x),則至少存在一點(diǎn)x′使得h(x′)＜0,不妨設(shè)x0是一個(gè)最小的負(fù)值點(diǎn),先假設(shè),顯然我們知,h(x0)＜0,h′(x0)=0,h′′(x0)≥0.但是

若x0=d,則有

即h(x)在d點(diǎn)連續(xù).又注意到h(x)在d點(diǎn)取得負(fù)的極小值,故h′(d+)-h′(d-)≤0.但是

這導(dǎo)出矛盾.如果x0=xi,同樣可以推出矛盾,我們證明了?(x)≤y(x),x∈[a,d)∪(d,b].同樣的方法我們也可以證明y(x)≤φ(x),x∈[a,d)∪(d,b].

因此,問(wèn)題(12)—(14)的解也是問(wèn)題(4)—(6)的解,同時(shí)也滿足?(x)≤y(x)≤φ(x),x∈[a,d)∪(d,b],定理1證明結(jié)束.

2 主要結(jié)果

這部分主要討論形式漸近解.為簡(jiǎn)單計(jì),這里只考慮零階近似.因?yàn)樵趚=d處,函數(shù)不連續(xù),所以把原始問(wèn)題(1)—(3)看成左問(wèn)題和右問(wèn)題構(gòu)成.

左問(wèn)題PL：

右問(wèn)題PR：

首先做如下假設(shè)：

(H 1)原問(wèn)題的退化問(wèn)題f1(x,y,0)=0,x∈[a,d],有解?(x)∈C1[a,d];f2(x,y,0)= 0,x∈[d,b],有解φ(x)∈C1[d,b].

(H 2)函數(shù)f1(x,y,εy′)∈C2(R×R×[a,d]),f2(x,y,εy′)∈C2(R×R×[d,b]),

由邊界函數(shù)法[4],設(shè)問(wèn)題(15)—(16)的形式解為

其中

將(19)式代入(15)式可得到一系列確定展開(kāi)式系數(shù)的方程

滿足左邊界層x=a條件

滿足右邊界層x=d條件

同樣的方法,可以求出右問(wèn)題PR的形式漸近解

其中

將(24)式代入(17)式可得到一系列確定展開(kāi)式系數(shù)的方程.

則右問(wèn)題PR的左邊界層與右邊界層滿足的條件如下：

為了求出零階漸近解,接下來(lái)引入兩個(gè)引理,是關(guān)于漸近解的指數(shù)估計(jì)[5].

引理1若條件(H1)—(H2)成立,只要ε＞0充分小,則問(wèn)題(20)和(21)存在一個(gè)解QL0(τ1),且解滿足如下指數(shù)估計(jì)：

引理2若條件(H1)-(H2)成立,只要ε＞0充分小,則問(wèn)題(22)和(23)存在一個(gè)解VL0(η),且解滿足如下指數(shù)估計(jì)：

同樣的方法,我們可以對(duì)右問(wèn)題PR做出如下指數(shù)估計(jì)：

由上面引理,QR0(τ2)在點(diǎn)d處指數(shù)型衰減,可以忽略,所以當(dāng)我們考慮右邊界層問(wèn)題時(shí),無(wú)需考慮左邊界層的影響.

由界面條件知：

即

式中

這里θ1,θ2∈(0,1).

同樣的方法,我們可以得出右問(wèn)題PR的左邊界層的一階導(dǎo)數(shù)表示

式中

這里θ3,θ4∈(0,1).則

從而,

(H 3)假設(shè)方程組(31)—(32)有解(γL,γR).

至此,我們已構(gòu)造出原問(wèn)題(1)—(3)的零階形式近似解

定理2如果條件(H0)—(H3)成立,對(duì)足夠小的ε＞0,邊值問(wèn)題(1)—(3)至少存在一解y(x,ε)∈Q1[a,b],且

證明為了證明定理2,接下來(lái)尋找問(wèn)題(1)—(2)的上下解.首先,對(duì)于上面的零階漸近解,如果條件(H1)—(H3)成立,則顯然有如下不等式成立.

接下來(lái)通過(guò)零階近似構(gòu)造上下解：不妨設(shè)上下解分別為α(x),β(x),其中

這里的μi,i=1,2,滿足如下條件：

可以選取合適的μ1,使得μ1＞0.同樣的方法,可以求出μ2.

這里的λi,i=1,2,3,4滿足如下條件：

對(duì)于以上的構(gòu)造的Π1(x),i=1,2,3,4,以及ωL1(τ1),ωR1(η),ωL2(η),ωR2(τ2)具有以下性質(zhì)

(i)ωL1(τ1),ωR1(η),ωL2(η),ωR2(τ2)是非負(fù)的;

(ii)

(iii)ωL1(τ1),ωL2(η),ωR1(τ1),ωR2(η)是以下方程的解

(iv)這里的Πi(x),i=1,2,3,4,是下面方程的解

則對(duì)于以上構(gòu)造的上下解,顯然滿足如下性質(zhì)：

接下來(lái)驗(yàn)證(7),不妨設(shè)x∈[a,x1),

同理可以驗(yàn)證β(x)也是問(wèn)題(4)—(6)的一個(gè)上解,即邊值問(wèn)題(4)—(6)存在一解y(x,ε)∈Q1[a,b]且滿足

證畢.

3 例子

考慮如下奇異攝動(dòng)問(wèn)題：

顯然可知,左問(wèn)題的退化問(wèn)題f1(x,y,εy′)=2y-2=0有唯一光滑解：

而右問(wèn)題的退化問(wèn)題f2(x,y,εy′)=y=0也有唯一光滑解：

則(20)—(21),(22)—(23),(25)—(26),(27)—(28)的解可以求出：

[1]莫嘉琪.關(guān)于非線性方程εy′′=f(x,y,y′,ε)奇異攝動(dòng)邊值問(wèn)題解的估計(jì)[J].數(shù)學(xué)年刊,1984,5A(1)：73-77.

[2]MO J Q.Generalized solution of singularly perturbed problems for nonlinear reaction diffusion equation[J]. Journal of Anhui Normal University(Natural Science),2014,2：103-107.

[3]杜增吉,莫嘉琪：一類擾動(dòng)發(fā)展方程近似解[J].物理學(xué)報(bào),2012,61(15)：155202.

[4]周明儒,杜增吉,王廣瓦.奇異攝動(dòng)中的微分不等式理論[M].北京：科學(xué)出版社,2012.

[5]倪明康,林武忠.奇異攝動(dòng)問(wèn)題中的漸近理論[M].北京：高等教育出版社,2009.

[6]MIKHAILOV M,?ZISIK M.Unified Analysis and Solution of Heat and Mass Diffusion[M].New York：Dover, 1994.

[7]DE FALCO C,O,RIORDAN E.Interior layers in a reaction-diffusion equation with a discontinuous diffusion coefficient[J].Int J Numer Anal Model,2010,7：444-461.

[8]XIE F.An interface problem with singular perturbation on a subinterval[J].Boundary Value Problems,2014, 2014：201.

[9]丁云海,倪明康.具有不連續(xù)源的弱非線性奇異攝動(dòng)邊值問(wèn)題[J].山東大學(xué)學(xué)報(bào),2012,47(2)：8-13.

[10]LIN H X,XIE F.Singularly perturbed second order semilinear boundary value problems with interface conditions [J].Boundary Value Problems,2015,2015：47.

[11]KELLY W G,PETERSON A C.The Theory of Differential Equations[M].New York：Sp ringer-Verlag,2010.

(責(zé)任編輯：林磊)

A class of singularly perturbed weakly non linear boundary value problems with interface conditions

WU Cheng-long
(Department of Applied Mathematics,Donghua University,Shanghai 201620,China)

In this paper we study a class of weakly non linear boundary value problems with interface conditions.By means of the Schauder fixed point theorem we establish the theorem about a weakly nonlinear boundary value problem with interface conditions.By the method of boundary layer function,the formal asymptotic solution is constructed, which is used to prove the existence of the solution.

singular perturbation;asymptotic expansion;differential inequalities

O175.1

A

10.3969/j.issn.1000-5641.2016.03.004

1000-5641(2016)03-0027-12

2015-05

上海市自然科學(xué)基金(15ZR1400800)

吳成龍,男，碩士研究生,研究方向?yàn)槠娈悢z動(dòng)理論.E-mail：2131377@mail.dhu.edu.cn.