郭雨萌

賭博遇到數(shù)學問題

概率論起源于17世紀中葉，是研究隨機現(xiàn)象規(guī)律的數(shù)學分支。當時在人口統(tǒng)計、保險等工作中，需要整理和研究大量的隨機數(shù)據(jù)資料，這就孕育出一種專門研究大量隨機現(xiàn)象的規(guī)律性的數(shù)學。但當時，刺激數(shù)學家們首先思考概率論的問題卻是源自賭博者的問題。

三四百年前，在歐洲許多國家，貴族之間盛行賭博之風，擲骰子是他們常用的一種賭博方式。因骰子的形狀為小正方體，當它被擲到桌面上時，每個面向上的可能性是相等的，即出現(xiàn)1點至6點中任何一個點數(shù)的可能性是相等的。有的參賭者就想：如果同時擲兩顆骰子，則點數(shù)之和為9與點數(shù)之和為10，哪種情況出現(xiàn)的可能性較大？17世紀中葉，法國有一位熱衷于擲骰子游戲的貴族德·梅耳發(fā)現(xiàn)了這樣的事實：將一枚骰子連擲四次至少出現(xiàn)一個6點的機會比較多，而同時將兩枚骰子擲24次，至少出現(xiàn)一次雙6點的機會卻很少。

這是什么原因呢？后人稱此為著名的德·梅耳問題。又有人提出了“分賭注問題”：兩個人決定賭若干局，事先約定誰先贏得6局便算贏家。如果在一個人贏3局，另一人贏4 局時因故終止賭博，應(yīng)如何分賭本？諸如此類需要計算可能性大小的賭博問題有很多，但他們自己也無法給出答案。

數(shù)學家們參與“賭博”

參賭者將他們遇到的上述問題請教了當時法國的數(shù)學家帕斯卡，帕斯卡接受了這些問題，他沒有立即回答，而是把它們交給另一位法國數(shù)學家費馬。他們頻頻通信，互相交流，圍繞著賭博中的數(shù)學問題開始了深入細致的研究。這些問題后來被到巴黎的荷蘭科學家惠更斯獲悉，回到荷蘭后，他獨立地進行研究。

帕斯卡和費馬一邊親自做賭博實驗，一邊仔細分析計算賭博中出現(xiàn)的各種問題，終于完整地解決了“分賭注問題”，并將此題的解法向更一般的情況推廣，從而建立了概率論的一個基本概念——數(shù)學期望，這是描述隨機變量取值的平均水平的一個量。而惠更斯經(jīng)過多年的潛心研究，解決了擲骰子中的一些數(shù)學問題。1657年，他將自己的研究成果寫成了專著《論擲骰子游戲中的計算》，這本書迄今為止仍被認為是概率論中最早的論著。因此可以說，早期概率論的真正創(chuàng)立者是帕斯卡、費爾馬和惠更斯。這一時期被稱為組合概率時期，計算各種古典概率。

在他們之后，對概率論這一學科做出貢獻的是瑞士數(shù)學家族——貝努利家族的幾位成員。這個家族中最著名的數(shù)學家雅可布·貝努利在前人研究的基礎(chǔ)上，繼續(xù)分析賭博中的其他問題，給出了“賭徒輸光問題”的詳盡解法，并證明了一個被稱為“大數(shù)定律”的定理，其內(nèi)容是：在隨機事件的大量重復(fù)出現(xiàn)中，往往呈現(xiàn)幾乎必然的規(guī)律。通俗地說，在試驗不變的條件下，重復(fù)試驗多次，隨機事件的頻率近似于它的概率。我們可以用擲骰子來說明“大數(shù)定律”。大家都知道骰子擲1、2、3、4、5、6點的機率各是六分之一，可是實際上擲六次卻很難得到1、2、3、4、5、6點各一次，那這個機率到底是如何得來的呢？以前有位西方數(shù)學家，擲了一萬次骰子，得出來各點的機率不是六分之一，他又繼續(xù)擲，擲了五萬次、六萬次，甚至十萬次，發(fā)現(xiàn)得到1、2、3、4、5、6點的機率愈來愈平均，也就是六分之一。

大數(shù)定律的發(fā)現(xiàn)和證明過程是極其困難的，雅可布·貝努利做了大量的實驗計算，首先猜想到這一事實，然后為了證明這一猜想，他花費了20年的時間。雅可布將他的全部心血傾注到這一數(shù)學研究之中，從中他發(fā)現(xiàn)了不少新方法，取得了許多新成果，終于將此定理證實。

雅可布的侄子尼古拉·貝努利也真正地參與了“賭博”。他提出了著名的“圣彼得堡問題”：甲乙兩人賭博，甲擲一枚硬幣到擲出正面為一局。若甲擲第一次擲出正面，則乙付給甲一個盧布；若甲第一次擲得反面，第二次擲得正面，乙付給甲兩個盧布；若甲前兩次擲得反面，第三次得到正面，乙付給甲22個盧布。一般地，若甲前n-1次擲得反面，第n次擲得正面，則乙需付給甲2n-1個盧布。問在賭博開始前甲應(yīng)付給乙多少盧布才有權(quán)參加賭博而確保乙方不致虧損？

與尼古拉同時代的許多數(shù)學家研究了這個問題，并給出了一些不同的解法。但其結(jié)果是很奇特的，所付的款數(shù)竟為無限大。即不管甲事先拿出多少錢給乙，只要賭博不斷地進行，乙肯定是要賠錢的。

走出賭博成為嚴謹?shù)膶W科

隨著18世紀～19世紀科學的發(fā)展，人們注意到某些生物、物理和社會現(xiàn)象與機會游戲相似，從而由機會游戲起源的概率論被應(yīng)用到這些領(lǐng)域中，同時也大大推動了概率論本身的發(fā)展。法國數(shù)學家拉普拉斯將古典概率論向近代概率論推進，他首先明確給出了概率的古典定義，并在概率論中引入了更有力的數(shù)學分析工具，將概率論推向一個新的發(fā)展階段。

概率論在20世紀迅速發(fā)展起來，現(xiàn)在，概率論與以它作為基礎(chǔ)的數(shù)理統(tǒng)計學科一起，在自然科學、社會科學、工程技術(shù)、軍事科學及工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等諸多領(lǐng)域中起著不可或缺的作用。衛(wèi)星上天、導(dǎo)彈巡航、飛機制造、宇宙飛船遨游太空等都有概率論的一份功勞；及時準確的天氣預(yù)報、海洋探險、考古研究等更離不開概率論與數(shù)理統(tǒng)計；在社會服務(wù)領(lǐng)域，概率論的應(yīng)用更為明顯，比如應(yīng)用排隊過程模型來描述和研究電話通信、機器損修、水庫調(diào)度，病人候診等一系列服務(wù)系統(tǒng)。

概率論作為理論嚴謹、應(yīng)用廣泛的數(shù)學分支正日益受到人們的重視，并將隨著科學技術(shù)的發(fā)展而得到發(fā)展。