一、基金定投的概念

在現(xiàn)實(shí)投資中，一般會(huì)分成兩種投資方式，一種是單筆投資，另一種則是分次投資。

對(duì)于單筆投資，華爾街流傳這樣一句話：“要在市場中準(zhǔn)確地踩點(diǎn)入市，比在空中接住一把飛刀更難?！彼腥硕枷Ｍ谧畹忘c(diǎn)買入，最高點(diǎn)賣出，而能做到這點(diǎn)的萬中無一，哪怕是相對(duì)低點(diǎn)和高點(diǎn)，大多數(shù)人都不能很好的判斷。

相比之下，分次投資更適合大多數(shù)人，把資金分次買入相應(yīng)資產(chǎn)，從而均衡成本、避免最壞的情況，可以使自己立于不敗之地。隨著電子化交易的實(shí)現(xiàn)，在基金投資領(lǐng)域，這種分次投資的方法逐漸演化成：以基金為投資標(biāo)的，按照既定的模式，自動(dòng)化完成分筆投資，即基金定投。

二、基金定投的分類

按照期限與金額設(shè)定方式的不同，基金定投以分成四種類別：

其中，定期定額是基金定投中最初也最基本的模式，投資者通過提交申請(qǐng)，約定扣款時(shí)間和扣款金額，并確定扣款頻次、持續(xù)時(shí)間和申購對(duì)象，由銷售機(jī)構(gòu)在約定扣款日自動(dòng)扣款，完成基金申購。本文主要分析的及時(shí)定期定額模式下的投資方法。

三、定期定額的原理和投資方法

基金定投的根本目的是追求收益的最大化，下面以定期定額為投資模式，從數(shù)理分析的角度，討論其投資有效性、建立收益的模型、并分析不同維度上最求收益最大化的策略。

（一）定期定額收益的基本原理

定期定額有兩個(gè)固定，一個(gè)是固定日期，比如按月定投約定每月的1日為扣款日期；另一個(gè)是固定金額，比如每次扣款金額為1000元。固定日期避開了擇時(shí)，使得投資更趨緊于隨機(jī)變化下的均值情況；固定金額則可以在基金凈值低的時(shí)候購買更多的份額，降低持倉成本，這種降低是依托調(diào)和平均數(shù)的特性。

1.調(diào)和平均數(shù)帶來更低成本。我們把作為買入基金的價(jià)格（凈值），那么1元錢可以購買的基金份額就是，假設(shè)某只基金在兩個(gè)時(shí)間的凈值（價(jià)格）c1和c2，那么在這兩次購買的份額就是+，而兩次購買花費(fèi)2元，于是持倉均價(jià)就是，是一個(gè)調(diào)和平均數(shù)。如果是單筆購買，即隨機(jī)在兩次時(shí)點(diǎn)買入，則平均情況是，是一種算數(shù)平均數(shù)。數(shù)學(xué)有一個(gè)結(jié)論，就是算數(shù)平均數(shù)大于等于調(diào)和平均數(shù)（只有c1=c2時(shí)，兩種平均數(shù)才會(huì)相等），即。

無論價(jià)格的數(shù)量有多少，只要定投與隨機(jī)單筆購買的價(jià)格池一致，這個(gè)結(jié)果均成立。

通過定期定額獲得的持倉價(jià)格，小于隨機(jī)單筆購買的平均價(jià)格，這種差額-就是定期定額投資帶來的更低成本，更高收益。

例如下圖所示，當(dāng)我們?cè)贏BCDE五個(gè)點(diǎn)分別買入一次基金，那么持倉均價(jià)不是1，而是0.882，在E點(diǎn)賣出時(shí)可以獲得0.118的收益率了。

2.收益的來源。無論是股票還是基金，收益都來自開始的買入價(jià)和最后的賣出價(jià)的差額，把收益設(shè)為R，賣出價(jià)設(shè)為P，買入價(jià)依然是C，而用O和t代表買入階段和賣出階段的時(shí)間，則收益可以簡單的表示為：

R=Pt-C0

這個(gè)等式，表明收益需要使最后的賣出價(jià)更高、而開始的買入價(jià)更低。對(duì)定期定投來說，其并不注重?fù)駮r(shí)，所以我們把平均收益作為主要分析的對(duì)象。

對(duì)于隨機(jī)單筆投資而言，平均投資收益就是：

但對(duì)于定期定額，其平均投資收益則是：

因?yàn)橥粫r(shí)間的買入價(jià)等于賣出價(jià)，所以我們可以認(rèn)為，上面的等式就變成：

通過定期定額我們獲得了兩塊收益來源，一部分是投資標(biāo)的本身的上升-；另一部分來自于通過調(diào)和平均值的特性，將持倉成本超額降低的0-0，也是定投帶來的超額收益。

3.收益額最大化。除了考慮價(jià)差之外，投資收益額還取決于投資的時(shí)間效率和投資金額的多少。當(dāng)我們進(jìn)行定期定額投資的時(shí)候，不可避免面臨時(shí)間問題，如果時(shí)間很長則年化收益率必然被攤薄。而且定投的金額大小也會(huì)影響最后的絕對(duì)收益額。假設(shè)第一筆買入和最后賣出的時(shí)間差為T，每次定投的金額為d，扣款的次數(shù)為N，則在考慮時(shí)間和金額后，設(shè)平均的單位時(shí)間收益額*，則有：

要追求收益額的最大化，就是求*的最大化，從上式可知需要考慮四個(gè)方面：更低的買入價(jià)格0，更高的賣出價(jià)格，更快的買賣T，更大的投資金額N×d?，F(xiàn)實(shí)投資中，我們?cè)谮H回之前往往會(huì)持續(xù)扣款投資，買賣時(shí)差T與定投扣款的次數(shù)N直接相關(guān)，而單次扣款金額d又與投資人的薪酬水平密切聯(lián)系，所以一般情況下投資者更關(guān)注的是買賣價(jià)差。

4.內(nèi)部回報(bào)率最大化。當(dāng)資金沒有投入基金時(shí)，可以選擇其他的投資方式，在這種前提下我們追求每一份現(xiàn)金流的時(shí)間和其對(duì)應(yīng)的平均收益，即內(nèi)部回報(bào)率。內(nèi)部回報(bào)率最大化，就是資金的使用效率最大化。

設(shè)平均的內(nèi)部回報(bào)率為，則有

通過兩分法，可以近似求得。即，內(nèi)部回報(bào)率最大化，近似等于單位時(shí)間價(jià)差最大化。

（二）降低持倉均價(jià)

在進(jìn)行定期定額的設(shè)定中，我們會(huì)面臨不同的扣款日期、頻率、標(biāo)的、時(shí)間長度的選擇，那么這些設(shè)定對(duì)于降低持倉成本有什么影響，我們應(yīng)該如何選擇呢？

1.扣款日期的影響。如果每月的某一天，基金的凈值（價(jià)格）總是相對(duì)較低的時(shí)候，根據(jù)這種周期性的變化，選擇在那一天進(jìn)行定投就可以使持倉價(jià)格更低。能不能找到這樣的一天呢？

從證券本身的價(jià)值來看，很難說具有周度或者月度的周期性變化；而影響其市場價(jià)格的因素多而負(fù)責(zé)，盡管有的資金因?yàn)橐恍┴?cái)務(wù)的需要會(huì)選擇固定在每周或每月的某一天流入或流出，但不同個(gè)人和機(jī)構(gòu)的選擇并不一致。換一個(gè)角度，如果證券價(jià)格具有典型的周期性，那么投資者就可以利用這種周期性低買高買，所有人都這么做的結(jié)果就是周期性的消亡。所以，扣款日期對(duì)于降低定期定額的持倉價(jià)格影響不大。

2.扣款頻率的影響?？劭铑l率是指相同時(shí)間內(nèi)扣款的次數(shù)，或者兩次扣款之間的時(shí)間間隔。目前市場上有按日、周、月、季等定期扣款的方式。

以按季和按月定投為例，在每一個(gè)季度內(nèi)，可以按季定投1次3元，也可以按月定投3次1元。

按季定投的持倉價(jià)格就是季度內(nèi)隨機(jī)選擇某一天的價(jià)格，假定一個(gè)月有30天，平均情況就是所有90個(gè)價(jià)格的算數(shù)平均數(shù)：

按月定投有3個(gè)價(jià)格，可以先計(jì)算出總份額，然后計(jì)算3個(gè)月的持倉價(jià)格，，相當(dāng)于按照這個(gè)價(jià)格進(jìn)行季度定投，那么在任何一天開始的平均情況，就是所有30個(gè)整合價(jià)格的C′算數(shù)平均數(shù)：

對(duì)s的分子分母同時(shí)除以3，將ci，ci+30，ci+60分為一組，即可輕易的判斷后者小于前者，原因還是調(diào)和平均數(shù)小于算數(shù)平均數(shù)。本質(zhì)上，一個(gè)季度內(nèi)，按季定投是隨機(jī)的單筆投資，而按月定投則是3次定期定額。同類，一個(gè)月內(nèi)，按月定投是隨機(jī)的單筆投資，而按周定投則是4次的定期定額。一周內(nèi)，按周定投是隨機(jī)的單筆投資，而按日定投則是5次的定期定額。

所以，在時(shí)間足夠長的情況下，購買頻次越大，購買的時(shí)間間隔越小，降低持倉均價(jià)的幅度越大。日定投成本<周定投成本<月定投成本<季定投成本。

3.投資標(biāo)的的影響。不同投資標(biāo)的區(qū)別主要有三個(gè)方面：流動(dòng)性、收益性、波動(dòng)性。流動(dòng)性上，同樣頻率的基金定投基本沒有差別。收益性上，如果某個(gè)投資標(biāo)的平均收益明顯較高，那么收益中0的部分就高，所以要選擇預(yù)期收益性高的標(biāo)的。波動(dòng)性上，在普通投資中通常我們會(huì)選擇波動(dòng)率小，但這一點(diǎn)在定投中卻不同。

使用扣款2次的例子，說明波動(dòng)性大小與降低持倉成本的關(guān)系。我們可以定義定期定額的降低持倉成本f（Δ），在2次購買下，那么這個(gè)函數(shù)就可以變成：

假設(shè)整體價(jià)格c1+c2不變，設(shè)x=|c1-c2|≥0，并對(duì)x求導(dǎo)，則有：

當(dāng)c1+c2不變，設(shè)x=|c1-c2|，則x≥0，且f（Δ）x=2x≥0

|c1-c2|與f（Δ）是正向關(guān)系，兩次購買的價(jià)格差別越大，則定期定額降低持倉成本的幅度越大。

如果價(jià)格中有0，則會(huì)出現(xiàn)極值：

所以，。

但價(jià)格為0的情況并不存在，實(shí)際上，可以假定價(jià)格的波動(dòng)有一定范圍c1+c2≤k1且|c1-c2|≥k2>0，則有：

所以，。通常降低持倉成本的幅度f（Δ）是會(huì)小于某個(gè)極值，而這個(gè)機(jī)制收到定投標(biāo)的本身獨(dú)特的價(jià)格變化所影響。

以上是2次扣款的情況，那么對(duì)于多次購買如何呢？我們來看下4次扣款的情況，超額降低成本的函數(shù)如下：

上式中，第一個(gè)括號(hào)與2次扣款一樣，對(duì)|y1-y2|呈現(xiàn)單調(diào)向上；第二個(gè)括號(hào)中只需比較分母部分即可。

設(shè)x1=|c1-c2|，x2=|c3-c4|，k3=c1+c2，k4=c3+c4，則有

分別對(duì)x1x2求導(dǎo)，第二個(gè)括號(hào)部分分別與之呈現(xiàn)正相關(guān)。4個(gè)價(jià)格，兩兩之間差距越大（方差越大），則降低成本的幅度越大。如果價(jià)格波動(dòng)有一定范圍，則相應(yīng)的這種降低成本的效果也存在極值。

4次購買的分析過程可以衍生到多次，包括3次等奇數(shù)次數(shù)也可用相似方法證明，不再重復(fù)證明。

定投標(biāo)的上，我們會(huì)選擇預(yù)期收益高，而波動(dòng)幅度大的。

4.投資時(shí)間長度的影響。我們都知道定投要做的時(shí)間長一些，一方面因?yàn)楦蟮姆帜缚梢苑謹(jǐn)們r(jià)格的波動(dòng)，另一方面則是因?yàn)殡S著扣款次數(shù)的增加，通過定期定額降低持倉成本的幅度也在提升。

市場總會(huì)受到短期因素影響出現(xiàn)較大的上下波動(dòng)，當(dāng)定投的時(shí)間較短時(shí)，這種短期波動(dòng)會(huì)對(duì)我們的持倉帶來顯著的影響。而拉長時(shí)間則能把短期的波動(dòng)分?jǐn)偟簦谑钦w持倉價(jià)格和就會(huì)顯得平滑。

就降低持倉成本而言，拉長定投時(shí)間，相當(dāng)于增加更多的買入價(jià)格，把c1、c2變成更多的c1、c2、c3…cn，我們定義定投n次的持倉成本為n，即，而同期的價(jià)格平均值為|n，即。

使用來定義平均情況下、定期定額比隨機(jī)單筆購買超額降低持倉成本的效果，F(xiàn)n越大，則定期定額比單筆購買的降低成本的幅度越大。這種定義下，隨著定投次數(shù)的增加可以產(chǎn)生一組如下的數(shù)列：

我們對(duì)進(jìn)行變形，可以得到：

數(shù)列是單調(diào)向上的。

如果對(duì)|求關(guān)于n的導(dǎo)數(shù)，可以得到：

即數(shù)列向上的增速遞減。

平均來看，隨著定投次數(shù)的增加，相對(duì)于隨機(jī)單筆投資，定期定額投資超額降低持倉成本的效果越來越好，但降低的幅度呈現(xiàn)邊際遞減。當(dāng)隨機(jī)單筆投資的價(jià)格保持穩(wěn)定的時(shí)，這種關(guān)系如下圖所示：

假設(shè)市場價(jià)格在后續(xù)的波動(dòng)中不出現(xiàn)極端價(jià)格，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)這種降低成本的能力會(huì)收斂于某個(gè)值（具體計(jì)算略過，可以嘗試假設(shè)，對(duì)，求極限），而收斂值受到標(biāo)的特有的價(jià)格變化影響。

在投資時(shí)間長度的影響中我們知道內(nèi)部報(bào)酬率近似等于單位時(shí)間的價(jià)差，隨著時(shí)間拉長，因?yàn)榻档统杀镜倪呺H作用減弱，內(nèi)部報(bào)酬率會(huì)逐漸走低。

（三）提高賣出的相對(duì)價(jià)格

賣基金比買更難。影響證券市場未來的走勢因素有很多，我們不能主動(dòng)改變基金的賣出價(jià)，也很難選擇到絕對(duì)高點(diǎn)的賣出時(shí)機(jī)。相比之下，相對(duì)較高的賣出時(shí)機(jī)更容易選擇。

未來一段時(shí)間，基金的價(jià)格波動(dòng)會(huì)有很多種可能，從而形成一種分布，設(shè)分布的中位數(shù)是P50%，那么當(dāng)價(jià)格運(yùn)行到Pi且Pi>P50%時(shí)，如果贖回基金，就能在平均水平之上的價(jià)格賣出，即選擇了相對(duì)較高的賣出時(shí)機(jī)。如果基金價(jià)格的波動(dòng)具有歷史重復(fù)性，就可以使用歷史數(shù)據(jù)來確定這種分布，從而對(duì)比出某個(gè)時(shí)間價(jià)格是否相對(duì)較高。

實(shí)際上，基金的價(jià)格會(huì)有一種長期向上的趨勢，不能簡單類比歷史的價(jià)格數(shù)據(jù)。購買價(jià)和賣出價(jià)都是基金的幾個(gè)，會(huì)呈現(xiàn)同步的變化，所以我們可以近似的使用買賣價(jià)差Pt-0的分布Dis，來衡量賣出的時(shí)機(jī)是否相對(duì)較高。在降低持倉均價(jià)中我們知道，定期定額扣款次數(shù)越多，則降低持倉成本的幅度越大，所以不同扣款次數(shù)，分布Dis不一樣。在扣款次后，應(yīng)該把實(shí)際買賣差價(jià)（Pi-0）i放在相同扣款次數(shù)的歷史分布Disi中進(jìn)行比較，選擇相對(duì)較高的賣出時(shí)機(jī)，就是選擇定投收益相對(duì)較高的時(shí)機(jī)止盈。

（四）收益額最大化的策略

多數(shù)人投資的目標(biāo)是在同一段時(shí)間內(nèi)使收益總額最大化，如在收益額最大化中所述，僅就基金定投而言，需要考慮買入價(jià)、賣出價(jià)、買賣時(shí)差T與投資金額D=N×d。對(duì)于投資者而言，選擇什么樣的策略來最大化其定投的收益呢？

1.扣款金額不變（贖回后離場）。通常情況下，定期定額都是持續(xù)不斷的進(jìn)行扣款，扣款的次數(shù)與買賣時(shí)差存在直接關(guān)系，即T=N×Δt，其中Δt是兩次扣款的時(shí)間間隔。

在既定的定投頻率下，如果每次扣款金額不變、即d不變，由收益額最大化中的等式可得：

使價(jià)差最大化，即可獲得最大的收益。這種情況并不考慮贖回資金的投資，其最好的定投策略，就是盡量提高扣款頻率，選擇波動(dòng)大而預(yù)期收益高的基金標(biāo)的，在堅(jiān)持長期定投的同時(shí)選擇相對(duì)較高的收益時(shí)機(jī)賣出。（參閱降低持倉均價(jià)和提高賣出的相對(duì)價(jià)格）這項(xiàng)策略，適合兩類投資人，一類是把每次贖回的資金轉(zhuǎn)做其他用途的小夫妻；第二類，則是剛剛開始做定投，每月從工資中拿出固定比例參與定投的月光族或上班族。

2.扣款金額變化（贖回后再投資）。當(dāng)我們贖回上一筆定投基金后，贖回的資金如何處理。如果不擇時(shí)投資，很可能會(huì)再次進(jìn)行基金定投。贖回的資金加上既定的每次扣款額，必然使未來的扣款金額增加。扣款金額發(fā)生了變化，但是每次投資的總額則相對(duì)不變，可以假設(shè)每次贖回前的扣款總額D不變，由收益額最大化中的等式可得：

追求收益最大化，就是買賣價(jià)差最大，而相應(yīng)定投的時(shí)間（或定投的次數(shù)）最少。

對(duì)于有財(cái)富積累的投資者，例如買股抄基者，從理財(cái)配置的角度，更希望能把計(jì)劃的投資總額全部投入，持續(xù)參與基金投資，及時(shí)中間止盈也能迅速將贖回的資金重新投入，從而實(shí)現(xiàn)總收益最大化。這種情況下，我們需要的不再是一次性選擇某個(gè)相對(duì)高點(diǎn)止盈，而是需要在一段時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)多次止盈將累計(jì)收益率最大，并且每次都能把主要的資金投入。

同樣是依據(jù)歷史的重復(fù)性，我們可以獲得一個(gè)的分布情況，找出最高時(shí)的（t-0）和N，就能對(duì)這種情況下進(jìn)行一定的策略指導(dǎo)。比如我們預(yù)計(jì)未來以10%止盈可以平均5個(gè)月完成一次，而20%止盈則需要平均20個(gè)月完成，理想狀態(tài)下會(huì)選擇10%止盈、并將資金分5個(gè)月定投。但這是理想狀態(tài)，實(shí)際上每次獲得止盈收益的時(shí)間不會(huì)相同，在后面我們會(huì)將這項(xiàng)策略稍加調(diào)整，以便更容易實(shí)時(shí)。在操作中，可以選擇從12個(gè)月開始即進(jìn)行實(shí)際收益率與同期限歷史收益水平的對(duì)比。

（五）定期定額內(nèi)部回報(bào)率最大化的策略

在內(nèi)部回報(bào)率最大化中，我們得到內(nèi)部回報(bào)率的近似值，與扣款金額變化一樣，都是在追求單位時(shí)間買賣價(jià)差的最大化，這里不再展開。

作者簡介：季恒（1988-），男，河南信陽人，理財(cái)規(guī)劃師，對(duì)外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)實(shí)驗(yàn)班09屆，大學(xué)本科，任職于北京京東金融科技控股有限公司，研究方向：理財(cái)規(guī)劃與投資策略分析。