南昌大學附屬中學 (330047)

周開財

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例析運用洛必達法則求解二道導數(shù)壓軸題

南昌大學附屬中學 (330047)

周開財

(1)證明：當λ=0時，f(x)≥0；

(2)若當x≥0時，f(x)≥0，求實數(shù)λ的取值范圍.

解法一：(1)當λ=0時，f(x)=x+e-x-1，則f′(x)=1-e-x.令f′(x)=0,解得x=0.當x<0時，f′(x)<0，∴f(x)在(-∞,0)上是減函數(shù)；當x>0時，f′(x)>0，∴f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).

故f(x)在x=0處取得最小值f(0)=0，即f(x)≥0.

(2)由已知x≥0，∴e-x-1≤0.

以上在處理第(2)問時對參數(shù)λ的范圍分類討論較難想到，現(xiàn)利用洛必達法則處理如下：

解法二：(2)由已知x≥0.

②當λ=0時，f(x)=x+e-x-1，由(1)知f(x)≥0，符合題意.

例2 設函數(shù)f(x)=ln(x+1)+a(x2-x)，其中a∈R.

(1)討論函數(shù)f(x)極值點的個數(shù)，并說明理由；

(2)若?x>0,f(x)≥0成立，求a的取值范圍.

③當a<0時，Δ>0.由g(-1)=1>0可得x1<-1，當x∈(-1,x2)時，g(x)>0，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調遞增；當x∈(x2,+∞)時，g(x)<0，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調遞減.故函數(shù)f(x)有一個極值點.

綜上所述，a的取值范圍是0≤a≤1.

以上在處理第(2)問時較難想到，現(xiàn)利用洛必達法則處理如下：

解法二：(2)由題意?x>0,f(x)≥0成立，即a(x-x2)≤ln(x+1)恒成立.

①當x=1時，x-x2=0，原不等式為0≤ln2恒成立；

綜上所述，a的取值范圍是0≤a≤1.

一般地，此類含參的函數(shù)綜合問題往往從三個角度求解：一是直接求解，通過對參數(shù)的討論來研究函數(shù)的單調性，進一步確定參數(shù)的取值范圍；二是憑借函數(shù)單調性確定參數(shù)的取值范圍，然后對參數(shù)取值范圍以外的部分進行分析驗證其不符合題意，即可確定所求；三是分離參數(shù)，求相應函數(shù)的最值或取值范圍，當函數(shù)的最值不好求解時，用洛必達法則往往能化難為易，使問題得到解決.