江蘇省蘇州第十中學(xué) (215006)

項(xiàng)燕英

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一道2016年高考題的別解及推廣

江蘇省蘇州第十中學(xué) (215006)

項(xiàng)燕英

2016年高考(四川卷)理科20題為

(1)求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo)；

(2)設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l′平行于OT與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A、B，且與直線l交于點(diǎn)P. 證明：存在常數(shù)λ，使得|PT|2=λ|PA|·|PB|，并求λ的值.

為方便，下面均假設(shè)相關(guān)直線斜率存在，若有斜率不存在的，只要在λ中令k→∞，所有結(jié)論全都成立.

別證二要基于伸縮變換幾個(gè)簡單的性質(zhì)：

根據(jù)上述方法，將情況一般化，不難得到

結(jié)論的證明與證法一、二完全相同，從略.更一般的，有

很顯然，當(dāng)k+k′=0時(shí)，λ=1，于是有

結(jié)論1，2中，若令a=b，則λ=1，此時(shí)橢圓變?yōu)閳A，結(jié)論即為圓的切割線定理和相交弦定理.

在結(jié)論1,2,3中，以-b2代b2，則可得到雙曲線中對應(yīng)的結(jié)論：

證明從略. 在拋物線中有：

結(jié)論9 已知拋物線E:y2=2px(p>0)，過不在拋物線上的點(diǎn)P作斜率互為相反數(shù)的兩直線分別與拋物線交于A、B和C、D，則|PC|·|PD|=|PA|·|PB|.

下面僅給出結(jié)論8的證明：

對結(jié)論3、6、9可以歸納為下面定理

定理 點(diǎn)P為不在圓錐曲線的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作斜率互為相反數(shù)的兩直線分別與圓錐曲線交于A、B和C、D，則|PC|·|PD|=|PA|·|PB|.

上述定理非常有用，2016年四川文20題就是本定理的應(yīng)用，讀者不妨一試.下面再舉一例說明．

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過點(diǎn)A，C，D的動(dòng)圓記為圓Q，動(dòng)圓Q過不同于A的定點(diǎn)，請求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．

本題(2) 常出現(xiàn)在各地各種考題中，常規(guī)方法難度大，運(yùn)算量大，而用上述定理則極其簡單．