筅江蘇省連云港市新浦中學(xué)　史曉偉

再談多解性教學(xué)在向量復(fù)習(xí)中的有效性

筅江蘇省連云港市新浦中學(xué)史曉偉

眾所周知，一題多解是中學(xué)數(shù)學(xué)的優(yōu)良傳統(tǒng).從新課程教學(xué)來(lái)看，以往的一題多解僅僅是對(duì)于問(wèn)題的一個(gè)多角度解答，是從不同的方向、不同的思路去審視分析同一題中的數(shù)量關(guān)系，從而用不同的方法得到相同的結(jié)果.在復(fù)習(xí)中適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行一題多解的訓(xùn)練可以激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造激情，加深對(duì)已學(xué)知識(shí)的鞏固，訓(xùn)練數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的嫻熟運(yùn)用，鍛煉思維的廣闊性、深刻性、靈活性及創(chuàng)造性.今天多解性教學(xué)是在此基礎(chǔ)上的一個(gè)挖掘和提高，其更注重了解答過(guò)程中所使用的基本知識(shí)和基本技能，還囊括了所涉及的數(shù)學(xué)思想方法，多解性教學(xué)更是在復(fù)習(xí)教學(xué)中對(duì)于所涉及的知識(shí)整體性角度做出一些分析，并從教師教的角度對(duì)知識(shí)進(jìn)行了滲透，從學(xué)生學(xué)的角度進(jìn)行了整合.用一句話概括，多解性教學(xué)不僅涉及問(wèn)題的過(guò)程與方法，更注重了知識(shí)背后的思想方法和知識(shí)間的聯(lián)系，進(jìn)而成為提升復(fù)習(xí)教學(xué)有效性的重要教學(xué)方式.

一、知識(shí)整合的角度

多解性教學(xué)不僅僅是思考多種解決問(wèn)題的角度，更要思考這些知識(shí)間的聯(lián)系，為什么試題背后常常使用這些基本知識(shí)和基本技能？比如，在高三復(fù)習(xí)中，很多問(wèn)題類似，做很多次，學(xué)生還是做錯(cuò)或者不會(huì)做？這是為何呢？學(xué)生總說(shuō)：我忘記了方法.那么，這忘記的背后原因是什么呢？從基本問(wèn)題的角度來(lái)說(shuō)，筆者認(rèn)為知識(shí)整合性不足是學(xué)生對(duì)于問(wèn)題缺少多角度思考的重要因素.因此，復(fù)習(xí)教學(xué)中關(guān)注多解性在知識(shí)整合角度的滲透是提高問(wèn)題解決能力的一個(gè)關(guān)鍵.

A.組成銳角三角形B.組成直角三角形

C.組成鈍角三角形D.在同一條直線上

分析：這是一道情境新穎、知識(shí)錯(cuò)綜交匯、思維入口開闊、值得研究的問(wèn)題.

思路1：數(shù)量積問(wèn)題自然應(yīng)該從知識(shí)最基本的角度出發(fā)——從向量數(shù)量積出發(fā).

解法1：設(shè)BBBC·CBBA=3t，CBBA·ABBB=4t，ABBB·BBBC=5t，得-a· bcosC=3t，-b·ccosA=4t，-c·acosB=5t，即a2+b2-c2=-6t，b2+ c2-a2=-8t，a2+c2-b2=-10t，解得a2=-8t，b2=-7t，c2=-9t，其中t<0，由余弦定理得cosC<0，即這三點(diǎn)可以組成銳角三角形.

點(diǎn)評(píng)：本方法是同學(xué)們的首選方法，利用數(shù)量積、余弦定理及方程的思想，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化化歸思想.

思路2：數(shù)量積是中學(xué)向量運(yùn)算最高的級(jí)別，高級(jí)別的運(yùn)算是向量最基礎(chǔ)運(yùn)算——向量和差運(yùn)算的積累，從這里整合入手.

點(diǎn)評(píng)：本解法通過(guò)向量的和差運(yùn)算實(shí)現(xiàn)三角形三邊比例關(guān)系，明顯較解法1運(yùn)算少得多，并通過(guò)余弦定理實(shí)現(xiàn)知識(shí)體系縱橫聯(lián)系.

思路3：在頭腦中的知識(shí)若僅僅能正向運(yùn)用，那么對(duì)于問(wèn)題的思考力度還是缺乏辯證哲學(xué)思想的，要提高復(fù)習(xí)教學(xué)的有效性，更需要從“正難則反易”的哲學(xué)角度思考，從特殊情況進(jìn)行排除，選擇題還是靈活機(jī)動(dòng)地用特殊值檢驗(yàn)或排除.

若是直角三角形，則必有一個(gè)為0，不合題意，排除B；若是鈍角三角形，則比例系數(shù)一正兩負(fù)，不合題意，排除C；若是三點(diǎn)共線，則數(shù)量積的值不同號(hào)，排除D；所以選擇A.

思路4：對(duì)于本題多解性思考的另外一個(gè)角度，則是向量數(shù)量積與三角形面積公式中的元素比較接近，從這一知識(shí)整合角度出發(fā)，從向量結(jié)合面積公式，自然有點(diǎn)悠然見南山的感覺(jué).

解法4：不難發(fā)現(xiàn)，S△ABC=absinC=bcsinA=casinB，所以=3t，所以tanC=-

所以tanA、tanB、tanC都是正數(shù)，即這三點(diǎn)可以組成銳角三角形.

點(diǎn)評(píng)：本解法利用向量的數(shù)量積的概念，能聯(lián)想到三角形面積公式，化去邊用角來(lái)確定三角形形狀，不失為好方法.

多解性整合的再思考：從上述問(wèn)題解決的角度來(lái)說(shuō)，將數(shù)量積知識(shí)整合在不同的解答中，有效地整合了向量相關(guān)的各種基本知識(shí)，這些知識(shí)的橫向思考和縱向運(yùn)用，大大加強(qiáng)了學(xué)生對(duì)于知識(shí)運(yùn)用的能力，筆者認(rèn)為對(duì)于有效的試題還需要進(jìn)一步從多解性教學(xué)中加強(qiáng)思考的眼光.

二、后續(xù)思考的角度

從上述的不同四種解法，不難得到以下問(wèn)題推廣：

點(diǎn)評(píng)：向量是新課標(biāo)中的必修內(nèi)容.由于向量具有數(shù)與形的雙重性，也使得向量與教材其他內(nèi)容相比，更具獨(dú)特性.正是由于向量的上述特征，高考命題者對(duì)向量?jī)?nèi)容格外青睞，在命制有關(guān)向量問(wèn)題時(shí)，呈現(xiàn)形式鮮活，知識(shí)縱橫交匯，可謂匠心獨(dú)具，從而使得向量試題成為高考試卷中一道亮麗的風(fēng)景.因此，向量復(fù)習(xí)教學(xué)追求的是高效率的復(fù)習(xí)方法，就是做盡量少的題，復(fù)習(xí)盡量多的基礎(chǔ)知識(shí)，因此在做一道題時(shí)要盡量用各種不同的基礎(chǔ)知識(shí)去求解，也就是用一題訓(xùn)練多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，由一題掌握多法，利用一個(gè)問(wèn)題發(fā)散知識(shí)的廣度，提高知識(shí)運(yùn)用的整合性，從而獲得事半功倍的效果.

三、思想方法的角度

多解性教學(xué)并不只是解決單一的問(wèn)題，而是要從典型問(wèn)題的解決中尋求知識(shí)背后涉及的本質(zhì)和思想方法，唯有更有深度的挖掘，才能使得多解性教學(xué)有別于以往的一題多解，才能在思想認(rèn)識(shí)的深刻性上有更多的啟發(fā).

問(wèn)題2：已知a·b=0，向量c滿足（c-a）·（c-b）=0，|ab|=5，|a-c|=3，則a·c的最大值為________.

解法1：（圖形化思想）設(shè)|a|=a，|c|=c，則由已知條件a·b=0，（c-a）·（c-b）=0，如圖1，易得Rt△ABC和Rt△OAB中，∠AOB=∠ACB=90°且O、A、C、B四點(diǎn)共圓，圓的直徑就是5，又由圓的性質(zhì)可設(shè)∠AOC=∠ABC=θ，在Rt△ABC中，cosθ=，則在△OAC中，由余弦定理及基本不等式得32=|AC|2=a2+c2-2accosθ≥2ac-2ac×ac，所以ac≤，所以a·c=a·c·cosθ≤=18.

圖1　

圖2　

解法2：（代數(shù)化思想）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CA為y軸，以CB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2，易得A（0，3）、B（4，0），設(shè)O（x，y），則a=（-x，3-y），b=（4-x，-y），c=（-x，-y），因?yàn)閍·b=-4x+x2-3y+y2=0，即y2-3y=4x-x2，所以a·c= x2+y2-3y=x2+4x-x2=4x.而O（x，y）的橫坐標(biāo)x的取值范圍為≤，所以4x∈［-2，18］，從而a·c的最大值為18.

點(diǎn)評(píng)：代數(shù)思想和幾何思想解向量問(wèn)題本身就是向量自身特點(diǎn)決定的，學(xué)生在向量問(wèn)題中的困擾一直存在，其認(rèn)為向量問(wèn)題往往靈活性強(qiáng)、難度大，殊不知從思想方法的角度來(lái)說(shuō)，唯有兩種常規(guī)思想的介入，即幾何圖形化思想和代數(shù)運(yùn)算的力量，只要選擇合理的角度去嘗試，久而久之勢(shì)必會(huì)在向量問(wèn)題解決的經(jīng)驗(yàn)上有更多的積累.

問(wèn)題3：設(shè)e1，e2為單位向量，非零向量b=xe1+ye2，x， y∈R，若e1，e2的夾角為的最大值等于________.

解法1：（圖形化思想）不妨設(shè)x≠0，由b=xe1+ye2，x， y∈R，則

點(diǎn)評(píng)：兩種不同的方式解決向量問(wèn)題，我們發(fā)現(xiàn)利用圖形化，掌握?qǐng)D形變化的本質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，直觀而簡(jiǎn)潔，利用代數(shù)法是從函數(shù)入手，通過(guò)相關(guān)運(yùn)算得到一個(gè)二元函數(shù)，然后換元轉(zhuǎn)換為一元函數(shù)求解最值.相比而言，思想方法的結(jié)合，使得問(wèn)題的走向脈絡(luò)清晰，通俗易懂.

總之，縱觀高中數(shù)學(xué)，很多知識(shí)之間存在聯(lián)系，對(duì)典型例題解法的總結(jié)、回味與“提煉”，變重解題的數(shù)量為重解題的質(zhì)量和解題后的反思.力求做到吃透一道題，掌握一類題，悟出一些方法、道理，從題海中解放出來(lái).總之，我們高三復(fù)習(xí)應(yīng)倡導(dǎo)多解性教學(xué)，作為一線的老師就要適當(dāng)選好題組，選好解題方向，起到“授人以漁”的作用.作為中學(xué)數(shù)學(xué)教師，多一點(diǎn)觀察生活、多一點(diǎn)讀書思考，使得數(shù)學(xué)教學(xué)與時(shí)俱進(jìn)，教學(xué)中少點(diǎn)兒“命令式”，多點(diǎn)兒“探究式”；少點(diǎn)兒強(qiáng)硬灌輸，多點(diǎn)兒數(shù)學(xué)欣賞，不僅使教師自身積累美的涵養(yǎng)，也產(chǎn)生良好的教學(xué)效果，使課堂具備生命力.教師重視在數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法間討論聯(lián)系、揭示數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)，學(xué)生就會(huì)少一些困惑和驚奇，有利于幫助他們看透問(wèn)題，多角度地思考問(wèn)題，正所謂“漫江碧透，魚翔淺底”！

1.章建躍.理解學(xué)生理解數(shù)學(xué)理解教學(xué)［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2010（12）.

2.康宇，馬躍進(jìn).賞析2011年高考精彩向量題［J］.數(shù)學(xué)通訊，2011（9）.F

圖3