楊桂春

【摘要】數(shù)學(xué)知識(shí)既是演繹的又是實(shí)驗(yàn)歸納的，但人們往往只看到其演繹的一面而忽略了其實(shí)驗(yàn)歸納的過程，這不利于學(xué)生認(rèn)清數(shù)學(xué)的本質(zhì).本文從合情推理的意義與價(jià)值、數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯程序與歷史程序、數(shù)學(xué)發(fā)展過程中的兩個(gè)動(dòng)力、數(shù)學(xué)中規(guī)定的必要性與合理性等角度，分析比較數(shù)學(xué)的兩個(gè)側(cè)面及其關(guān)系，對引導(dǎo)學(xué)生建立正確的數(shù)學(xué)觀做了一些嘗試.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)知識(shí)；兩個(gè)側(cè)面；數(shù)學(xué)觀

一、一個(gè)有趣的例子

1777年，法國數(shù)學(xué)家蒲豐（Comtede Buffon ）提出了一個(gè)有趣的求π值的實(shí)驗(yàn)方法：在平面上畫兩條距離為a的平行線，將一根長度為l（l

我們知道圓周率π是圓周長與直徑的比值，是一個(gè)有確定值的精確概念，卻可用與圓周毫不相干的投針實(shí)驗(yàn)來近似地得出，真是不可思議.其實(shí)這個(gè)結(jié)論反映了數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在的本質(zhì)的聯(lián)系，這里不去研究.問題是：數(shù)學(xué)作為一門邏輯性的演繹學(xué)科，實(shí)驗(yàn)歸納扮演什么樣的角色呢？進(jìn)而引發(fā)了關(guān)于數(shù)學(xué)觀的疑問：數(shù)學(xué)是演繹的，還是實(shí)驗(yàn)歸納的？抑或兩者兼而有之？數(shù)學(xué)發(fā)展的動(dòng)力是什么？數(shù)學(xué)真理的標(biāo)準(zhǔn)是什么？

二、數(shù)學(xué)觀與數(shù)學(xué)的本質(zhì)

數(shù)學(xué)觀是人們對數(shù)學(xué)的總體看法，也就是人們對什么是數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)，從認(rèn)識(shí)論的角度來說，每個(gè)人都有自己的數(shù)學(xué)觀，大多數(shù)人趨于共識(shí)的認(rèn)識(shí)構(gòu)成了主流的數(shù)學(xué)觀.數(shù)學(xué)的本質(zhì)究竟是什么？

關(guān)于數(shù)學(xué)的本質(zhì)究竟是什么，主要有以下幾種觀點(diǎn)：

恩格斯說：數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué).

著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾認(rèn)為：數(shù)學(xué)是系統(tǒng)化了的常識(shí).

數(shù)學(xué)史學(xué)家認(rèn)為：數(shù)學(xué)是人為規(guī)定的一套語言、符號系統(tǒng).

數(shù)學(xué)哲學(xué)家認(rèn)為：數(shù)學(xué)是確定無疑的絕對真理.也有人認(rèn)為正好相反：數(shù)學(xué)是可誤的且可糾正的等等.

數(shù)學(xué)觀決定著人們對數(shù)學(xué)的態(tài)度和解決數(shù)學(xué)問題的方法.20世紀(jì)初，數(shù)學(xué)家在如何解決數(shù)學(xué)基礎(chǔ)危機(jī)問題上由于各自不同的數(shù)學(xué)觀（羅素認(rèn)為數(shù)學(xué)就是邏輯，馮·諾伊曼認(rèn)為數(shù)學(xué)是符號游戲，布勞威認(rèn)為數(shù)學(xué)是心智的構(gòu)造）便產(chǎn)生了三種解決方案，并由此發(fā)展出數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的三大學(xué)派：邏輯派、形式派、直覺派.

三、數(shù)學(xué)的兩個(gè)側(cè)面

波利亞指出數(shù)學(xué)既是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)又是一門實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)，即數(shù)學(xué)具有二重性.“一方面，以最后確定的形式出現(xiàn)的定型的數(shù)學(xué)，好像是僅含證明的純論證性的材料，它是歐幾里得式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)；另一方面，從形成過程中的數(shù)學(xué)看來卻像是一門實(shí)驗(yàn)性歸納科學(xué).”由于數(shù)學(xué)教科書記載的是定型的數(shù)學(xué)知識(shí)，因此，數(shù)學(xué)展現(xiàn)給人們都是第一個(gè)側(cè)面，很少反映第二個(gè)側(cè)面，從而在學(xué)生思想中形成數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难堇[學(xué)科的深刻印象，掩蓋了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)與歸納的面目，從而形成片面的數(shù)學(xué)觀.這種片面的數(shù)學(xué)觀將妨礙學(xué)生正確理解和運(yùn)用數(shù)學(xué)，也影響學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

四、教師的責(zé)任

數(shù)學(xué)教育工作者自身的數(shù)學(xué)觀對教學(xué)方式及學(xué)生數(shù)學(xué)觀的形成的影響是很大的.

如果把數(shù)學(xué)看成是絕對的真理、看成靜態(tài)知識(shí)的堆砌，那么數(shù)學(xué)教學(xué)的目的就是教師把這些知識(shí)原樣地傳授給學(xué)生，學(xué)生只需模仿和記憶，教學(xué)評價(jià)則以學(xué)生掌握知識(shí)量作為評價(jià)指標(biāo).

如果認(rèn)為數(shù)學(xué)真理不是絕對的，把數(shù)學(xué)看成問題、語言、命題、理論和觀念組成的復(fù)合體，是動(dòng)態(tài)的認(rèn)識(shí)發(fā)展系統(tǒng)，那么數(shù)學(xué)教學(xué)的目的就是培養(yǎng)學(xué)生的批判意識(shí)和創(chuàng)造能力，提升人的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、實(shí)現(xiàn)人的發(fā)展.

既然存在著不同的數(shù)學(xué)觀，作為數(shù)學(xué)教育工作者，必須選擇正確的數(shù)學(xué)觀并把它融入數(shù)學(xué)教育工作中去，數(shù)學(xué)教育的任務(wù)應(yīng)該是既把數(shù)學(xué)知識(shí)傳授給學(xué)生又培養(yǎng)其創(chuàng)新精神，同時(shí)又使學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀.

講清數(shù)學(xué)的兩個(gè)側(cè)面，引導(dǎo)學(xué)生建立正確的數(shù)學(xué)觀，是廣大數(shù)學(xué)教育工作者的責(zé)任，也是值得深入探討的一個(gè)問題.

筆者認(rèn)為，在傳授數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，使學(xué)生了解以下幾點(diǎn)，對形成正確的數(shù)學(xué)觀是有益的.

（一）合情推理的意義與價(jià)值

科學(xué)思維具有兩重性：一類是進(jìn)行論證推理的邏輯思維；另一類則是形象思維.形象思維最直接的層面是合情推理.邏輯思維是在 “抓到真理”后進(jìn)行完善和 “補(bǔ)充證明”的思維，而合情推理則是 “發(fā)現(xiàn)真理”的思維.

合情推理是波利亞的“啟發(fā)法” 中的一個(gè)推理模式，它是指觀察、歸納、類比、實(shí)驗(yàn)、聯(lián)想、猜測、矯正與調(diào)控等方法，是波利亞多年深入研究數(shù)學(xué)問題解決過程得出的理論成果.波利亞認(rèn)為，可以機(jī)械地用來解決一切問題的“萬能方法”是不存在的；在問題解決過程中，人們總是針對具體情況，不斷地向自己提出有啟發(fā)性的問句、提示，以啟動(dòng)與推進(jìn)思維的小船.

他明確提出有兩種推理：論證推理可用來確定數(shù)學(xué)知識(shí)，合情推理可用來為猜想提供依據(jù)，即波利亞給我們指出數(shù)學(xué)思維不是純“形式”的，它所涉及的不僅有公理、定理、定義及嚴(yán)格的證明，而且有許許多多其他方面：推廣、歸納、類推以及從具體情況中辨認(rèn)出或者說抽取出某個(gè)數(shù)學(xué)概念等等，數(shù)學(xué)教師應(yīng)使學(xué)生了解這些十分重要的 “非形式”思維過程.在日常生活中，合情推理幾乎無處不在，比如：“它可能是……” （猜測），“做出來看一看” （實(shí)驗(yàn)），“由上所述可得……” （歸納），“將人心比自心”（類比），“可以想象” （聯(lián)想），“實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)” （檢測）等.

合情推理是產(chǎn)生數(shù)學(xué)猜想的主要源泉，受惠于合情推理，數(shù)學(xué)猜想不斷推動(dòng)數(shù)學(xué)學(xué)科的進(jìn)步.從數(shù)學(xué)發(fā)展史上看，每一個(gè)重要數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，除演繹推理外還要大量地依賴于合情推理，許多數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)猜想，包括著名各界難題的解決，往往是在對數(shù)式或圖形的直接觀察、歸納、類比、猜想中獲得方法的，而后再進(jìn)行邏輯驗(yàn)證，同時(shí)隨著問題的解決，使數(shù)學(xué)方法得到提煉或數(shù)學(xué)研究范圍得到擴(kuò)展，使數(shù)學(xué)發(fā)展前進(jìn)一步.

合情推理是“發(fā)現(xiàn)真理”的思維，我們的數(shù)學(xué)教學(xué)，歷來強(qiáng)調(diào)邏輯思維，而對合情推理有所忽視，“既教證明，又教猜想”，結(jié)合情推理能力的教學(xué)以適當(dāng)?shù)牡匚?，是開發(fā)學(xué)生創(chuàng)造性素質(zhì)的需要，是全面提升學(xué)生優(yōu)秀文化素質(zhì)的需要，是全面開發(fā)大腦潛力的需要.忽視了合情推理能力的培養(yǎng)，勢必使學(xué)生的推理意識(shí)和能力形成缺陷，對今后的發(fā)展造成不可估量的損失.

合情推理是培養(yǎng)探索能力的基本手段，是培養(yǎng)創(chuàng)造能力的重要武器，是“數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)”的重要途徑，無論是對于數(shù)學(xué)自身的發(fā)展，還是對于學(xué)生自身的發(fā)展，合情推理都具有非常重要的意義，因此，我們應(yīng)該格外重視合情推理能力的培養(yǎng).

（二）數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯程序與歷史程序

數(shù)學(xué)教材是根據(jù)教學(xué)需要，按照知識(shí)的邏輯程序編排的.一般說來，知識(shí)產(chǎn)生的歷史程序與教材反映的邏輯程序并不完全一致且不為學(xué)生所知，如初等代數(shù)教材中都是先研究指數(shù)函數(shù)再用指數(shù)來定義和研究對數(shù)函數(shù)，這在邏輯上是和諧的.而歷史上，指數(shù)與對數(shù)是毫不相干的數(shù)學(xué)概念先后形成的，而且是對數(shù)在前，指數(shù)在后，是歐拉發(fā)現(xiàn)了兩者之間的對應(yīng)關(guān)系，從而有了現(xiàn)在的邏輯程序.這種邏輯程序?qū)斫夂脱芯恐笖?shù)與對數(shù)的知識(shí)是頗有益處的，繞過了前人所走的一切彎路.

按邏輯程序編寫的教學(xué)內(nèi)容，由于不能正確、客觀地反映數(shù)學(xué)知識(shí)形成的過程而掩蓋了數(shù)學(xué)形成過程中歸納與實(shí)驗(yàn)的一面，造成數(shù)學(xué)是抽象的、枯燥無味的消極影響.為了消除這種消極影響，教師在教學(xué)時(shí)要講清數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的淵源及形成的過程，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯程序與歷史程序及相互之間的差異，了解人為造成這種差異的動(dòng)機(jī)與效果.這對激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，形成正確的數(shù)學(xué)觀是有益的.

（三）數(shù)學(xué)發(fā)展過程中的兩個(gè)動(dòng)力

數(shù)學(xué)的發(fā)展主要受兩個(gè)因素的驅(qū)使，一個(gè)是使數(shù)學(xué)知識(shí)趨于完善的內(nèi)在需求.為了解決數(shù)學(xué)自身的問題，彌補(bǔ)原有知識(shí)的缺陷，人們做出一些新的規(guī)定，從而演繹出新的數(shù)學(xué)知識(shí).如為了使“開平方”運(yùn)算得以有意義的實(shí)施，人們引進(jìn)了虛數(shù)單位i，規(guī)定i2=-1，并規(guī)定形如a+bi （a，b為實(shí)數(shù)）的數(shù)叫復(fù)數(shù)，并規(guī)定了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，從而演繹出復(fù)數(shù)的理論體系.在這個(gè)過程中邏輯起了主導(dǎo)作用，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的邏輯與演繹的一面，往往是先從理論上完善后考慮應(yīng)用.

另一個(gè)是解決實(shí)際問題的需求也刺激了數(shù)學(xué)的發(fā)展.為了解決實(shí)際問題，人們不斷嘗試和選擇著新的方法，在這過程中實(shí)驗(yàn)與歸納起了主導(dǎo)作用.這時(shí)的數(shù)學(xué)方法是零零星星的，從理論上來講是不完善的，如微積分在應(yīng)用了相當(dāng)長時(shí)間時(shí)，理論基礎(chǔ)尚未完全建立起來.在嘗試過程中，有許多失敗的教訓(xùn)，最終失敗的記錄隨著時(shí)間的推移而被淡化了，而有益的嘗試經(jīng)過邏輯加工而成型了，以演繹的形式傳了下來，展現(xiàn)于世人面前.其實(shí)邏輯演繹與實(shí)驗(yàn)歸納對數(shù)學(xué)的發(fā)展都是極其重要的，沒有邏輯數(shù)學(xué)無法嚴(yán)密，沒有實(shí)驗(yàn)歸納數(shù)學(xué)就難創(chuàng)新，往往是先應(yīng)用后理論完善.

（四）數(shù)學(xué)中規(guī)定的必要性與合理性

為了更好地研究、傳播及應(yīng)用，數(shù)學(xué)中必須做出一些規(guī)定用以規(guī)范和界定不同的數(shù)學(xué)對象，這與社會(huì)中制定（規(guī)定）法律來規(guī)范人們的言行是類似的.

規(guī)定是人為的，人們總是試圖用少量的規(guī)定來達(dá)到所需的目的，對數(shù)學(xué)中規(guī)定的必要性與合理性的研究體現(xiàn)了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)歸納與演繹推理的兩個(gè)側(cè)面.因此，正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)中的規(guī)定也是形成正確的數(shù)學(xué)觀的一個(gè)重要因素，教學(xué)時(shí)必須講清規(guī)定的必要性與合理性.數(shù)學(xué)中的所有定義都是規(guī)定的.定義一般都是從一些客觀對象中抽象出來的，抽象的過程是一個(gè)歸納的過程.如“規(guī)定了方向、原點(diǎn)和長度單位的直線叫數(shù)軸”就是從人們早已熟知的秤桿、溫度計(jì)及船閘上的標(biāo)尺等中抽象出來的.在教學(xué)過程中必須講清定義的實(shí)際來源.同時(shí)，還要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容深入淺出地講清各種定義的合理性，使學(xué)生感到自然、切實(shí).如為了使am÷an及Cmn=n！m?。╪-m）！在m=n時(shí)有意義，必須對a0（a≠0）與0！做出規(guī)定，規(guī)定可以任意做出，如規(guī)定a0=3，0！=8等，但考慮到其合理性及數(shù)學(xué)知識(shí)的和諧性，人們選擇了a0=1（a≠0），0！=1，這就反映了數(shù)學(xué)演繹的面目.數(shù)學(xué)中的符號都是人工制訂、約定俗成的，也可說是前人規(guī)定的.符號的形式及意義不是一旦確定就一成不變的.講清各種數(shù)學(xué)符號的起源及演變過程也有助于學(xué)生正確認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué).如，開平方符號“”的演變過程，最初用·a+b 表示a+b的平方根，后來又用 a+b表示，但因都無法區(qū)別a+b與a+b而被廢棄了.了解演變過程同時(shí)也有助于正確使用數(shù)學(xué)符號.

學(xué)生怎樣認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)受許多因素的影響，如何引導(dǎo)學(xué)生建立正確的數(shù)學(xué)觀也非一篇文章能講清，這里談一點(diǎn)個(gè)人的體會(huì)與做法，求教于大家.