李　龍，魏培君

（北京科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院應(yīng)用力學(xué)系，北京100083）

偶應(yīng)力熱彈性介質(zhì)控制方程的推導(dǎo)

李龍，魏培君

（北京科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院應(yīng)用力學(xué)系，北京100083）

非Fourier熱傳導(dǎo)的Lord-Shulman廣義熱彈性理論中包含了雙曲型熱傳導(dǎo)方程，并且在廣義熱彈性介質(zhì)中考慮了其微結(jié)構(gòu)特性，引入了偶應(yīng)力張量，偶應(yīng)力研究可反映出材料的微尺度力學(xué)效應(yīng)。文章基于Lord-Shulman廣義熱彈性理論，從能量守恒定律出發(fā)，分析了偶應(yīng)力熱彈性介質(zhì)中的運(yùn)動(dòng)平衡方程、本構(gòu)方程、能量方程以及邊界條件的推導(dǎo)過(guò)程，并由此獲得偶應(yīng)力熱彈性介質(zhì)的運(yùn)動(dòng)控制方程和溫度控制方程具體形式。結(jié)果表明：與經(jīng)典熱彈性理論的控制方程相比，基于Lord-Shulman理論的偶應(yīng)力熱彈性介質(zhì)控制方程中的機(jī)械場(chǎng)與溫度場(chǎng)相互耦合，而且在溫度控制方程中存在含有弛豫時(shí)間的項(xiàng)，可使熱信號(hào)以波動(dòng)的形式和有限速度傳播；而且當(dāng)偶應(yīng)力材料參數(shù)和弛豫時(shí)間取為零時(shí)，控制方程退化為經(jīng)典理論的形式。

偶應(yīng)力彈性理論；Lord-Shulman理論；廣義熱彈性；非Fourier熱傳導(dǎo)

0　引言

對(duì)于常規(guī)條件下的非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問(wèn)題，通常采用Fourier熱傳導(dǎo)定律來(lái)描述熱流密度與溫度梯度之間的關(guān)系，而且其精確度可以接受［1］。但是在一些極端條件下，例如在溫度急劇變化時(shí)，由于熱平衡過(guò)程的建立需要一定的時(shí)間，這類(lèi)超常規(guī)的熱傳導(dǎo)現(xiàn)象中物理過(guò)程的時(shí)間間隔比達(dá)到局部熱平衡的更短，F(xiàn)ourier定律中的準(zhǔn)平衡假設(shè)將出現(xiàn)問(wèn)題。因此，基于Fourier定律的熱傳導(dǎo)模型就不能準(zhǔn)確描述這類(lèi)現(xiàn)象，需要建立考慮熱傳播速度有限的非Fourier熱傳導(dǎo)模型。而廣義熱彈性理論考慮了非Fourier熱傳導(dǎo)模型，消除了傳統(tǒng)熱彈性理論中熱信號(hào)傳播速度無(wú)限大的物理學(xué)悖論。其中，Lord-Shulman理論［2］、Green-Lindsay理論［3］和Green-Naghdi理論［4］是主要的廣義熱彈性理論。Lord理論將一個(gè)通量率項(xiàng)合并到熱傳導(dǎo)Fourier定律中，并帶有1個(gè)弛豫時(shí)間，包含了存在熱流率項(xiàng)的由Fourier熱傳導(dǎo)方程推導(dǎo)出的雙曲型熱傳導(dǎo)方程，建立了熱信號(hào)傳播速度有限的廣義理論［2］。Green-Lindsay理論被稱(chēng)作是與溫度變化率相關(guān)的熱彈性理論，在本構(gòu)方程中引入了溫度率項(xiàng)，當(dāng)所研究的物體有一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心時(shí)，并不違反經(jīng)典的熱傳導(dǎo)Fourier定律［3］。Green-Naghdi理論中引入了熵平衡思想和熱位移的概念，提出了克服熱波無(wú)限速度傳播缺陷的不等式［4］。不同于經(jīng)典理論，廣義熱彈性理論包含了雙曲型方程，使熱信號(hào)以波動(dòng)的形式傳播，成為了該領(lǐng)域中的研究熱點(diǎn)。Chandrasekharaiah對(duì)熱彈性第二聲理論和雙曲型廣義熱彈性理論進(jìn)行了綜述［5-6］。田曉耕等總結(jié)了包括不同類(lèi)型廣義熱彈耦合問(wèn)題的研究、發(fā)展和求解方法等廣義熱彈性問(wèn)題在最近10年的研究進(jìn)展［7］。任康樂(lè)等基于Lord-Shulman廣義熱彈性理論選取溫度和位移及其一階導(dǎo)數(shù)作為狀態(tài)變量，結(jié)合Laplace積分變換并采用狀態(tài)空間法，建立了功能梯度材料的一維廣義熱彈性響應(yīng)的層合模型［8］。郭攀等基于Lord-Shulman廣義熱彈性理論模型提出了采用修正的時(shí)域間斷迦遼金有限元求解方法［9］。王穎澤等基于Lord-Shulman廣義熱彈性理論構(gòu)建了熱沖擊下有限厚度圓柱殼的廣義熱彈性模型，并借助Laplace變換和Bessel函數(shù)的漸進(jìn)特性研究了有界邊界軸對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)受熱沖擊的廣義熱彈性問(wèn)題［10］。

在廣義熱彈性理論的研究中，少有人考慮材料的微結(jié)構(gòu)特性。實(shí)際上，微結(jié)構(gòu)存在于任何材料當(dāng)中，盡管經(jīng)典彈性理論得到了普遍接受和廣泛應(yīng)用，但由于經(jīng)典理論的運(yùn)動(dòng)學(xué)描述只有應(yīng)變張量表達(dá)的平動(dòng)變形，不能反映材料微尺度力學(xué)效應(yīng)等問(wèn)題。而引入了旋轉(zhuǎn)變形為發(fā)展彈性理論和彈性動(dòng)力學(xué)注入了新的活力。經(jīng)典的彈性理論認(rèn)為應(yīng)力只與應(yīng)變或其應(yīng)變歷史有關(guān)，表現(xiàn)為一階簡(jiǎn)單材料。而研究表明在某些情況應(yīng)力還與其應(yīng)變梯度有關(guān)，表現(xiàn)為二階或高階材料［11-13］。Voigt首先提出，在連續(xù)介質(zhì)理論中微元體表面除了存在應(yīng)力矢量外，還有存在應(yīng)力偶矢量的可能性［11］。其后，Cosserat等擴(kuò)展了此理論并推導(dǎo)了場(chǎng)方程［12］。Truesdell等在彈性理論前提下給出了準(zhǔn)確的理論推導(dǎo)［13］。不同于經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)理論，一些廣義的連續(xù)介質(zhì)理論考慮了微結(jié)構(gòu)效應(yīng)，可以更加有效地描述一些力學(xué)現(xiàn)象。偶應(yīng)力彈性介質(zhì)中引入了旋轉(zhuǎn)變形，除了外部的平動(dòng)變形應(yīng)變張量還考慮了經(jīng)典彈性介質(zhì)所沒(méi)有涉及到的偶應(yīng)力張量，反映了材料的微尺度力的影響。不同于微極彈性理論，偶應(yīng)力彈性理論對(duì)每個(gè)質(zhì)量點(diǎn)只考慮其旋轉(zhuǎn)自由度，且偶應(yīng)力場(chǎng)合應(yīng)力場(chǎng)相互解耦而不考慮額外的微轉(zhuǎn)動(dòng)矢量。其中，Toupin和Mindlin等建立并發(fā)展了偶應(yīng)力理論，其中Toupin建立了完全彈性固體有限變形的本構(gòu)關(guān)系［14］，而Mindlin擴(kuò)展研究了均勻各向同性的中心對(duì)稱(chēng)彈性固體，建立了修正的邊界條件［15］。Aero等推導(dǎo)了對(duì)應(yīng)線(xiàn)性理論的應(yīng)力平衡方程和本構(gòu)關(guān)系［16］。對(duì)于線(xiàn)彈性偶應(yīng)力介質(zhì)，存在一個(gè)額外的材料參數(shù)稱(chēng)為轉(zhuǎn)動(dòng)參量。它與剪切模量比的平方根有長(zhǎng)度的量綱，是重要的材料參數(shù)，體現(xiàn)了偶應(yīng)力彈性介質(zhì)和經(jīng)典彈性介質(zhì)的本質(zhì)區(qū)別。此材料參數(shù)的量級(jí)通常小于材料尺度，然而其影響可能與材料尺度的影響相當(dāng)。張敦福等采用偶應(yīng)力理論和有限單元法，對(duì)含充填層狀巖體結(jié)構(gòu)面邊界層效應(yīng)進(jìn)行了研究［17］。吳延峰等基于該理論建立平面應(yīng)變問(wèn)題的有限元計(jì)算模型，研究拉力型錨桿錨固段界面上的剪應(yīng)力分布、界面附近的邊界層效應(yīng)和偶應(yīng)力的尺度效應(yīng)［18］。蘇文政等基于偶應(yīng)力理論對(duì)一類(lèi)周期性多孔固體類(lèi)梁結(jié)構(gòu)給出了分析其橫向自由振動(dòng)的等效連續(xù)介質(zhì)鐵木辛柯梁模型，推導(dǎo)了等效鐵木辛柯梁的動(dòng)力學(xué)微分方程［19］。賀丹等基于修正偶應(yīng)力理論建立了含有1個(gè)尺度參數(shù)的復(fù)合材料斜交鋪設(shè)層合Kirchhoff板模型，給出了四邊簡(jiǎn)支反對(duì)稱(chēng)角鋪設(shè)微尺度層合Kirchhoff板的解析解［20］。

現(xiàn)有文獻(xiàn)中對(duì)考慮Lord-Shulman廣義熱彈性理論的偶應(yīng)力熱彈性介質(zhì)控制方程的推導(dǎo)過(guò)程鮮有提及。文章將基于Lord-Shulman廣義熱彈性理論，在熱彈性介質(zhì)中考慮偶應(yīng)力張量的存在，從熱力學(xué)定律出發(fā)系統(tǒng)地推導(dǎo)偶應(yīng)力熱彈性介質(zhì)的基本方程和邊界條件，并討論Lord-Shulman理論對(duì)于偶應(yīng)力熱彈性介質(zhì)控制方程的影響。

1　偶應(yīng)力熱彈性介質(zhì)控制方程的推導(dǎo)過(guò)程

1.1偶應(yīng)力介質(zhì)的運(yùn)動(dòng)平衡方程和邊界條件

均勻各向同性的偶應(yīng)力彈性介質(zhì)，不僅存在六面體單元三個(gè)面上的三個(gè)方向的應(yīng)力σij，還存在六面體三個(gè)面上的三個(gè)方向的偶應(yīng)力μij。在任意表面下，法線(xiàn)方向nj的應(yīng)力可以寫(xiě)成ti=σjinj，力偶可以寫(xiě)成mi=μjinj。采用國(guó)際單位制，并且令字符上方的點(diǎn)表示對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，字符下標(biāo)的逗號(hào)表示對(duì)坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)。則動(dòng)量平衡方程和動(dòng)量矩平衡方程分別由式（1）、（2）表示為

式中：σji，j為應(yīng)力張量的散度，N/m3；Xi為外體力矢量，N/m3；ρ為質(zhì)量密度，kg/m3；u¨i為位移矢量對(duì)時(shí)間的二次導(dǎo)數(shù)，m/s2；μji，j為偶應(yīng)力張量的散度，N/ m2；eijk為笛卡爾坐標(biāo)系下的Eddington張量；Yi為體力偶矢量，N/m2。

應(yīng)力張量σij可以表示成對(duì)稱(chēng)部分和反對(duì)稱(chēng)部分的和，由式（3）表示為

偶應(yīng)力張量μij可以表示成球量張量和偏量張量的和，由式（4）表示為式中：δij為單位張量；mij為偶應(yīng)力偏量張量，N/m，且mii=0。

式（2）兩端同乘Eddington張量eimn，可以得到應(yīng)力張量的反對(duì)稱(chēng)部分，由式（5）表示為

式中：rmn應(yīng)力張量的反對(duì)稱(chēng)部分，N/m2；mji，j為偶應(yīng)力偏量張量的散度，N/m2。

將式（3）～（5）代入式（1）中，可以得到式（6）為

式（6）即為偶應(yīng)力熱彈性介質(zhì)的運(yùn)動(dòng)平衡方程。

考慮能量守恒定律。對(duì)于介質(zhì)的邊界為A的任意體積V，忽略熱源項(xiàng)，物體的動(dòng)能和內(nèi)能的增長(zhǎng)率等于體力功率、面力功率和熱量傳入速率之和，由式（7）表示為

式中：U為內(nèi)能，J/m3；ωi=eiklul，k/2為轉(zhuǎn)動(dòng)矢量；qi為熱流矢量，J/（m2s）。

對(duì)于式（7）等號(hào)右邊的第二項(xiàng)，分別由式（8）、（9）表示為式中：為轉(zhuǎn)動(dòng)矢量的時(shí)間導(dǎo)數(shù)，1/s；ni為方向矢量。

若物體表面光滑，則由式（10）表示為

因此在不考慮體力項(xiàng)和熱流項(xiàng)時(shí)，式（7）可以由式（11）表示為

為了直觀(guān)地描述邊界條件的表達(dá)形式，設(shè)偶應(yīng)力條件下修正應(yīng)力和偶應(yīng)力的切向分量分別由式（12）、（13）表示為

式中：pi為修正應(yīng)力，N/m2；gi為偶應(yīng)力的切向分量，N/m。

從式（12）、（13）可以看出，修正應(yīng)力pi中既有應(yīng)力張量部分，又包含了偶應(yīng)力的法向分量。偶應(yīng)力彈性介質(zhì)的邊界條件表達(dá)形式是與經(jīng)典彈性介質(zhì)所區(qū)別的地方之一。因此，式（11）可以寫(xiě)為式（14）

1.2偶應(yīng)力熱彈性介質(zhì)的本構(gòu)方程

對(duì)于能量守恒定律式（7），積分連續(xù)且對(duì)任意的體積V都成立，由散度定理可以得到式（15）為

式中：qi，i為熱流的散度，J/（m3·s）。

考慮運(yùn)動(dòng)平衡方程式（1）、式（2）和邊界條件式（12）、（13），可以得到式（16）為

引入應(yīng)變張量和扭轉(zhuǎn)曲率張量，分別由式（17）、（18）表示為

式中：εij為應(yīng)變張量；χij為扭轉(zhuǎn)曲率張量，1/m。因此，式（16）可以得到式（19）為

根據(jù)熵平衡定理，熵增率等于通過(guò)表面輸送熵的流入率和通過(guò)熱傳導(dǎo)熵產(chǎn)率之和，由式（20）表示為

式中：S為熵密度，J/（m3·K）；Θ為熵流量，J/（m3·Ks）。

對(duì)式（20）利用散度定理，而且對(duì)任意的體積V都成立，由式（21）表示為

高速GPS和強(qiáng)震臺(tái)網(wǎng)的另一個(gè)重要用途是提供近場(chǎng)地震波形數(shù)據(jù)，而這種數(shù)據(jù)對(duì)約束運(yùn)動(dòng)學(xué)震源過(guò)程有用。實(shí)際上，低頻帶的波形信息對(duì)反演震源時(shí)間函數(shù)特別有用。因此，我們需要通過(guò)強(qiáng)震記錄得到速度或位移地震圖，這對(duì)經(jīng)驗(yàn)基線(xiàn)校正方法也是必要的。不進(jìn)行基線(xiàn)校正，就需要對(duì)強(qiáng)震記錄進(jìn)行高通或者帶通濾波，從而導(dǎo)致低頻和靜態(tài)地面形變信息的丟失，而這些信息對(duì)估計(jì)矩震級(jí)非常重要。

式中：T，i為溫度梯度，K/m。

對(duì)每一個(gè)物質(zhì)點(diǎn)都成立，而且與不可逆過(guò)程的熱力學(xué)假設(shè)Θ≥0相一致。聯(lián)立式（16）和式（19）可以得到式（22）為

引入Helmholtz自由能函數(shù)，由式（23）表示為

式中：Φ為Helmholtz自由能函數(shù)，J/m3。

將式（23）代入式（21）可以得到Helmholtz自由能函數(shù)的時(shí)間導(dǎo)數(shù)，由式（24）表示為

Helmholtz自由能函數(shù)是狀態(tài)函數(shù)，可選取εij、 χij、T和T，i為獨(dú)立變量，即可以得到式（25）為

若式（26）對(duì)任意的獨(dú)立變量都成立，由式（27）表示為

由式（27）可知，Helmholtz自由能函數(shù)與溫度梯度T，i無(wú)關(guān)，其獨(dú)立變量只有εij、χij和T，即Φ=。

將式（28）代入式（27），可以得到式（29）～（31）為

式（27）即為偶應(yīng)力熱彈性介質(zhì)的本構(gòu)方程，式（29）和（30）是有關(guān)機(jī)械量的本構(gòu)方程，其中含有溫度場(chǎng)的項(xiàng)；式（31）是有關(guān)熱學(xué)量的本構(gòu)方程，其中也含有機(jī)械場(chǎng)的項(xiàng)?？梢钥闯觯诳紤]熱彈性的影響時(shí)，偶應(yīng)力介質(zhì)中機(jī)械場(chǎng)與溫度場(chǎng)相互耦合。

1.3基于Lord-Shulman理論的能量方程

當(dāng)熱力學(xué)假設(shè)Θ≥0成立時(shí)，式（27）滿(mǎn)足熱力學(xué)第二定律，由式（32）表示為

在均勻各向同性介質(zhì)中，此不等式滿(mǎn)足Fourier熱傳導(dǎo)定律，由式（33）表示為

式中：κ為熱導(dǎo)率，J/（m·K·s）。式（33）是對(duì)熱傳導(dǎo)過(guò)程的一種簡(jiǎn)化表述，即Fourier熱傳導(dǎo)定律，忽略了熱流的加速過(guò)程?？紤]到熱流加速而產(chǎn)生的弛豫時(shí)間，非Fourier熱傳導(dǎo)理論修正了熱傳導(dǎo)方程，考慮了熱流率項(xiàng)，確保了熱信號(hào)在介質(zhì)中以有限的速度傳播的特性，假設(shè)了一種熱流qi和溫度梯度θ，i更加廣泛的關(guān)系式，由式（34）表示為

將式（34）左邊一階泰勒展開(kāi)，可以得到式（35）為

式中：τ為熱流出現(xiàn)到溫度梯度產(chǎn)生所需的弛豫時(shí)間，s。

由式（21）和（27），可以得到式（36）為將式（27）代入式（36），可以得到式（37）為

聯(lián)立式（34）和（37），可以得到自由能形式的能量方程，由式（38）表示為

考慮線(xiàn)性理論假設(shè)，忽略式（38）等號(hào)右邊的第二項(xiàng)，可以得到式（39）為

將式（28）代入式（39），可以得到式（40）為

通常假設(shè)|θ/T0|?1，能量方程可以化簡(jiǎn)為式（41）為

式（37）即為偶應(yīng)力熱彈性介質(zhì)的能量方程。從中可以看出，方程中包含弛豫時(shí)間τ，是雙曲型方程，這意味著熱信號(hào)的傳播是以波動(dòng)的形式而不是擴(kuò)散的形式，這是與經(jīng)典熱彈性理論下的偶應(yīng)力介質(zhì)能量方程所區(qū)別的地方。當(dāng)τ超近于0時(shí)，能量方程退化拋物型方程，熱信號(hào)的傳播改為擴(kuò)散的形式。

2　偶應(yīng)力熱彈性介質(zhì)控制方程的導(dǎo)出

將本構(gòu)方程式（29）～（31）代入運(yùn)動(dòng)平衡方程式（6）和能量方程式（41）中，可以得到偶應(yīng)力熱彈性介質(zhì)的控制方程，分別由式（42）、（43）表示為

式（42）和（43）分別為偶應(yīng)力熱彈性介質(zhì)的運(yùn)動(dòng)控制方程和溫度控制方程。

以x方向?yàn)槔?，將控制方程以分量形式，分別由式（44）、（45）表示為

可以看出，與經(jīng)典熱彈性理論的控制方程相比，基于Lord-Shulman廣義熱彈性理論的偶應(yīng)力熱彈性介質(zhì)的運(yùn)動(dòng)控制方程中含有偶應(yīng)力特征參數(shù)l，溫度控制方程中含有弛豫時(shí)間τ，分別體現(xiàn)了偶應(yīng)力和非Fourier熱傳導(dǎo)對(duì)于熱彈性介質(zhì)的控制方程的影響。當(dāng)運(yùn)動(dòng)控制方程中的參數(shù)l=0時(shí)，偶應(yīng)力特征參數(shù)的影響消失，運(yùn)動(dòng)控制方程退化為經(jīng)典熱彈性理論的形式；溫度控制方程中含有弛豫時(shí)間τ，是一個(gè)雙曲型方程。由雙曲型方程的性質(zhì)，可以得到熱信號(hào)的傳播速度，由式（46）表示為

式中：Vt為熱信號(hào)的傳播速度，m/s。由于式（46）中熱導(dǎo)率、質(zhì)量密度和常應(yīng)變下的比熱均不為零，因此只有當(dāng)弛豫時(shí)間τ=0時(shí)，熱信號(hào)的傳播速度才為無(wú)限大。這時(shí)溫度控制方程由雙曲型方程變?yōu)閽佄镄头匠蹋嘶癁榱私?jīng)典熱彈性理論形式，熱信號(hào)也變成了擴(kuò)散的形式，不再以波動(dòng)的形式傳播。

3　結(jié)論

通過(guò)上述研究可知：

（1）與經(jīng)典熱彈性理論控制方程相比，基于Lord-Shulman理論推導(dǎo)出的控制方程中機(jī)械場(chǎng)與溫度場(chǎng)相互耦合，而且溫度控制方程中含有弛豫時(shí)間項(xiàng)，使熱信號(hào)以波動(dòng)的形式和有限速度傳播，體現(xiàn)了偶應(yīng)力和非Fourier熱傳導(dǎo)的對(duì)于熱彈性介質(zhì)的控制方程的影響。

（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)控制方程中的參數(shù)l=0時(shí)，偶應(yīng)力的效應(yīng)消失，運(yùn)動(dòng)控制方程退化為經(jīng)典熱彈性理論的形式；當(dāng)溫度控制方程中的弛豫時(shí)間τ=0時(shí)，溫度控制方程變?yōu)閽佄镄头匠?，退化為?jīng)典熱彈性理論的形式，而且熱信號(hào)的傳播也變成了擴(kuò)散的形式。

［1］ 王洪鋼.熱彈性力學(xué)概論［M］.北京：清華大學(xué)出版社，1989.

［2］ Lord H.W.，Shulman Y..A generalized dynamical theory of thermoelasticity［J］.Journal of Mechanics Physical Solids，1967，15（5）：299-309.

［3］ Green A.E.Lindsay K.A..Thermoelasticity［J］.Journal of Elasticity，1972，2（1）：1-7.

［4］ Green A.E.，Naghdi P.M..A Re-Examination of the basic postulates of thermomechanics［J］.Proceedings of the Royal Society A Mathematical Physical&Engineering Sciences，1991，432（432）：171-194.

［5］ Chandrasekharaiah D.S..Thermoelasticity with second sound：a review［J］.Applied Mechanics Reviews，1986，39（3）：355-376.

［6］ Chandrasekharaiah D.S..Hyperbolic thermoelasticity：a review of recent literature［J］.Applied Mechanics Reviews，1998，51（12）：705-729.

［7］ 田曉耕，沈亞鵬.廣義熱彈性問(wèn)題研究進(jìn)展［J］.力學(xué)進(jìn)展，2012，42（1）：18-28.

［8］ 任康樂(lè)，周鳳璽，魯慶華，等.功能梯度材料廣義熱彈性響應(yīng)［J］.蘭州理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2012，38（2）：168-172.

［9］ 郭攀，武文華，吳志剛.非傅里葉熱彈性的時(shí)域間斷迦遼金有限元方法［J］.力學(xué)學(xué)報(bào)，2013，45（3）：447-450.

［10］王穎澤，王謙，劉棟，等.有限厚度圓柱殼熱沖擊問(wèn)題的廣義熱彈性解［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，2016，37（6）：644-654.

［11］Voigt W..Theoretische Studien über Die Elasticit?tsverh?ltnisse DerKrystalle［M］.G?ttingen：K?niglicheGesellschaftder Wissenschaften zu，1887.

［12］Cosserat E.，Cosserat F..Théorie des corps déformables［J］. Nature，1909，81（2072）：242-246.

［13］Truesdell C.，Toupin R..The Classical Field Theories［M］. Berlin：Springer Berlin Heidelberg，1960.

［14］Toupin R.A..Elastic materials with couple-stresses［J］.Archive for Rational Mechanics and Analysis，1962，11（1）：385-414.

［15］Mindlin R.D.，Tiersten H.F..Effects of couple-stresses in linear elasticity［J］.Archive for Rational Mechanics and Analysis，1962， 11（1）：415-448.

［16］Aero E.L.，Kuvshinskii E.V..Fundamental equations of the theory of elastic media with rotationally interacting particles［J］. Soviet Physics-Solid State，1961，2（7）：1272-1281.

［17］張敦福，王相玉，李術(shù)才.偶應(yīng)力對(duì)含充填層狀巖體邊界層效應(yīng)的影響［J］.巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2011（S1）：3288-3294.

［18］吳延峰，張敦福，張波，等.拉力型錨桿錨固界面剪應(yīng)力分布偶應(yīng)力理論分析［J］.巖土力學(xué)，2013，34（z1）：187-191，227.

［19］蘇文政，劉書(shū)田.一類(lèi)多孔固體的等效偶應(yīng)力動(dòng)力學(xué)梁模型［J］.力學(xué)學(xué)報(bào)，2016，48（1）：111-126.

［20］賀丹，楊萬(wàn)里.基于新修正偶應(yīng)力理論的斜交鋪設(shè)層合Kirchhoff板模型與尺度效應(yīng)［J］.復(fù)合材料學(xué)報(bào)，2016，33（6）：1311-1317.

Derivation of governing equations of couple-stress thermoelastic medium

Li Long，Wei Peijun

（Department of Applied Mechanics，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China）

With the consideration of non-fourier heat conduction，the Lord-Shulman generalized thermoelastic theory contains a hyperbolic heat conduction equation，and the couple-stress is introduced to reflect the effect of microscale and the microstructural characteristics of materials.Based on the Lord-Shulman generalized thermoelastic theory，the article analyzes the derivation of the motion equations，the constitutive equations，the energy equations and the boundary conditions in the couplestress thermoelastic medium，obtaining the forms of motion governing equation and temperature governing equation.The results show that，compared with the governing equations of the classical theory，the ones based on Lord-Shulman theory in which the equations of the thermal field and the mechanical field are coupling with each other and the governing equations of temperature field contain the relaxation times item.So the propagation of thermal signal is in the form of fluctuation，and the velocity of it is finite，and the equations can also degenerate into the classical ones when letting the couple-stress constant and the relaxation time be zero.

couple-stress elasticity；Lord-Shulman theory；generalized thermoelasticity；non-fourier thermal conduction

O343.7

A

1673-7644（2016）04-0378-07

2016-08-01

李龍（1991-），男，碩士，助理工程師，主要從事彈性波理論等方面的的研究.E-mail：linkenzoo@163.com