范麗晶,陳樹強,燕宇杰,馬 磊

(電子科技大學物理電子學院,四川成都 610054)

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微擾法在衍射光柵分析中的應用

范麗晶,陳樹強,燕宇杰,馬 磊

(電子科技大學物理電子學院,四川成都 610054)

在微電子結(jié)構(gòu)中常見的二維衍射光柵的分析中,嚴格耦合波分析法(Rigorous Coupled Wave Analysis,RCWA)方法計算耗時,占用內(nèi)存比較大.本文將微擾法與RCWA相結(jié)合的算法應用于二維衍射光柵分析中,以提高其計算效率.求解非矩形光柵問題時,需將光柵做階梯近似.通過RCWA求解參考層的本征值,其余層的本征值可通過微擾法得到.實驗表明,微擾法滿足計算精度要求,且計算效率也能得到提高.對于本文中的例子,當光柵的截斷階數(shù)選為12時,計算時間可以節(jié)省45%.

光柵;微擾法;衍射;RCWA

1 引言

在半導體測量技術(shù)中,散射度量術(shù)是比較常用的方法之一.散射度量術(shù)的誕生可以追溯到1978年,Kleinknecht和Meier提出可以通過測量夫瑯禾費衍射來測量線寬[1].散射度量術(shù)是光學關(guān)鍵尺寸(Optical Critical Dimension,OCD)測量技術(shù)中一個很重要的應用.而嚴格耦合波分析法(Rigorous Coupled Wave Analysis,RCWA)是散射度量術(shù)中最常用的方法之一.RCWA是20世紀80年代最先提出來,并在1995年被M.G.Moharam和Gaylord等進一步推廣為較穩(wěn)定的算法[2].最先用于分析一維矩形光柵結(jié)構(gòu),后來M.G.Moharam又通過增強透射矩陣的使用[3],將RCWA用于分析多層衍射光柵結(jié)構(gòu).后又被廣泛應用于分析二維光柵結(jié)構(gòu).但是RCWA也存在一定問題,尤其是在二維光柵的分析中,占用的內(nèi)存比較大,且計算效率很低.

Kofi Edee等人于2010年提出可將微擾算法與RCWA相結(jié)合來提高一維光柵的計算效率[4].2011年Kofi又將微擾法和S矩陣法[5]相結(jié)合得到了更加精確的微擾矩陣表示方法.本文首次將這種改進的RCWA方法應用于二維光柵的分析中.在二維光柵的分析中,由于需要計算的矩陣維數(shù)巨大.尤其是在二維非矩形光柵的計算中,需要將光柵分成若干小層來計算,這就需要耗費更多的時間和內(nèi)存.本文將微擾法應用于二維光柵分析中,使得算法在達到計算精度要求的前提下,起到節(jié)省時間的目的.這在二維光柵的分析中是非常有意義的.本文主要將微擾法應用于OCD的模擬計算中,但是該方法不應僅局限于OCD技術(shù)的應用.還可應用于其他周期性結(jié)構(gòu)的分析中,尤其是對于實時性要求較高的應用,該方法是很有應用價值的.

2 二維RCWA簡介

2.1 入射波

如圖1所示,圖形為二維矩形光柵的基本結(jié)構(gòu),坐標軸方向的選取如圖1所示.假設MM和NN分別代表x方向和y方向的截斷階數(shù),令M=2*MM+1,N=2*NN+1.

當φ=0°時,電場矢量為:

(1)

其中,ψ=0°和ψ=90°分別對應TM偏振和TE偏振.區(qū)域Ⅰ,Ⅱ的歸一化電場可表示為:

(2)

(3)

在光柵區(qū),電場和磁場的x和y分量可以被寫為:

(4)

(5)

2.2 矩陣方程

在光柵區(qū),光柵的相對介電常數(shù)函數(shù)和相對反介電常數(shù)函數(shù)可以寫為:

(6)

(7)

將麥克斯韋方程展開后,消去z分量.又根據(jù)式(4),式(5),最后可將方程寫為矩陣形式:

(8)

其中,z’=z/k0,Kx和Ky為對角矩陣,為提高收斂速度,可將式(8)寫為:

(9)

其中,

本征值方程可以寫為:

B1B2·W=W·Q

(10)

2.3 衍射效率

將z=0和z=d處的邊界條件寫為矩陣形式可得:

其中X矩陣為對角元素為exp(-k0qkd)的2MN*2MN階的對角矩陣,又令:

XyII,XII和YII均為對角矩陣,矩陣維數(shù)為2MN*2MN階.最終得到光柵衍射效率為:

(11)

(12)

由以上的理論分析可知,二維光柵的研究方法與一維類似,但是矩陣的維數(shù)卻增加到2MN*2MN[6,7].在運用RCWA來求解二維非矩形光柵的衍射效率時,需要將光柵簡化為階梯近似進行求解,會更加耗時.本文提到的方法可避免多次求解特征值和特征向量,從而提高計算效率.

3 微擾法簡介

3.1 本征問題簡化

對于一維梯形結(jié)構(gòu)的光柵結(jié)構(gòu),光柵表面可簡化為階梯近似.考慮光柵結(jié)構(gòu)中的任意一層,代表電磁場的函數(shù)F(x,y)滿足二階微分方程:

(13)

(14a)

(14b)

運用分離變量法,將F(x,y)表示為:

F(x,y)=ψ(x)e±ikry

(15)

(16)

F(x,y)可用本征矢量ψ(x)表示成有限項的和[4]:

(17)

3.2 微擾

假設式(16)中的本征值和本征函數(shù)已得到精確求解,上標(0)表示精確求解得到的參考層的值.則

(18)

(19)

(20)

為求出微擾修正項,將式(20)代入式(16)中,可得:

由等式兩邊ζ同次冪的系數(shù)相等,可得:

(21a)

(21b)

(22a)

(22b)

3.3 微擾法在二維光柵中的應用

假設二維光柵是由如圖2所示的光柵單元組成.其并不是嚴格的長方體單元.光柵單元的厚度為h,假設光柵側(cè)面是梯形,且梯形的高度均為d,則h=d*sinα.(圖2中的分層不代表實際的分層數(shù))

4 數(shù)值結(jié)果

用Matlab對于微擾法和RCWA法得到的結(jié)果進行仿真.Matlab程序的具體結(jié)構(gòu)圖及說明如圖3所示.

假設光柵區(qū)和基底材料均為SiO2.基本參數(shù)設定為:側(cè)面梯形高度為100nm,二面角為85°,x方向和y方向的占空比都為0.5,光柵周期為200nm.選取x方向和y方向的截斷階數(shù)為3,入射角為75°.仿真得到的零級衍射效率全譜圖如圖4(a)所示.其中在波長小于300nm時,將其放大如圖4(b)所示.

從圖4可以看出,在二維情況下,用微擾法得到的零級衍射效率圖譜和用RCWA精確求解的圖譜很接近.在工程實際中,很多情況下一定程度上的誤差是可以接受的.

如前所述,和一維衍射光柵相比,二維衍射光柵在維度上增加了一維.但計算的矩陣維數(shù)增加到了2MN*2MN.因此隨著截斷階數(shù)的增加,其矩陣維數(shù)會成倍增加.在求解衍射效率時,會非常耗時.將微擾方法運用于二維光柵中就是希望能夠節(jié)省時間.定義函數(shù):

其中,tPM代表的是微擾方法的計算時間,tRCWA代表RCWA的計算時間,則tη表示的是微擾方法相比嚴格耦合波分析法的省時效率.

假設入射波長為240nm,介質(zhì)的折射率為1.5,梯形高度為200nm,將光柵分為200層,假設二面角角度和側(cè)面梯形角度都為88°.省時效率隨著截斷階數(shù)的增加呈現(xiàn)出的結(jié)果如表1所示.

從表1中可以看出,隨著截斷階數(shù)的增加,運用微擾法求解衍射效率的省時效率也越來越高.這一點對于節(jié)省RCWA的計算時間有著非常重要的意義.因為單純的運用RCWA方法來計算二維光柵的時候,其計算過程非常耗時.而運用微擾法和RCWA方法相結(jié)合的方法,因其不涉及更多的矩陣運算且公式也相對簡單,因此能有效縮短計算時間.這點當截斷階數(shù)比較大的時候體現(xiàn)的更加明顯.

表1 省時效率和截斷階數(shù)

5 結(jié)論

在二維光柵的分析中,因為計算的矩陣階數(shù)較大,會非常耗時.本文通過微擾法和RCWA相結(jié)合的方法,精確度能普遍達到.運用微擾法可以盡量避免求解更多層的本征值和本征矢量,因此可以起到節(jié)省計算時間的目的.對于文中所提到的例子,省時效率隨著截斷階數(shù)的增大而越來越高.當選取的截斷階數(shù)為12時,微擾法的計算時間可以節(jié)省45%.隨著截斷階數(shù)的增加,省時效率還會進一步增加.

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[3]M G Moharam,et al.Stable implementation of the rigorous coupled-wave analysis for surface-relief gratings:enhanced transmittance matrix approach[J].Journal of Optical Society of America,1995,12(5):1077-1086.

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[7]Lalanne P.Improved formulation of the coupled-wave method for two-dimensional gratings[J].Journal of Optical Society of America.1997,14(7):1592-1598.

范麗晶 女,1988年2月出生于山西省平遙縣.電子科技大學碩士研究生.主要研究方向為光通信及光信息傳輸與處理.

E-mail:flj1224@163.com

陳樹強 男,1960年2月出生于福建省福州市.1992年底在電子科技大學獲博士學位;1993年初到1995年初北京郵電大學博士后;1995年初到2000年底在北京郵電大學分別任光纖通信中心副教授、副主任、教授、主任.2000年底應邀赴美國,先后在位于加州SpectraSwitch公司和加州硅谷的N&K技術(shù)公司任唯一的高級研究科學家,并于2008年秋引進回電子科技大學任教授、博士生導師.研究方向為微電子結(jié)構(gòu)光學測量技術(shù)及光纖通信技術(shù).在國內(nèi)外學術(shù)刊物及會議發(fā)表50多篇論文,7項美國發(fā)明專利.

E-mail:chensq@uestc.edu.cn

Application of Perturbation Method in the Analysis of Diffraction Gratings

FAN Li-jing,CHEN Shu-qiang,YAN Yu-jie,MA Lei

(SchoolofPhysicalElectronics,UniversityofElectronicScienceandTechnologyofChina,Chengdu,Sichuan610054,China)

In the analysis of two-dimension diffraction gratings,rigorous coupled wave analysis (RCWA) takes a long time and a large computer memory.The perturbation method (PM) is combined with RCWA to enhance its computational speed for the analysis of two-dimension structures.In the analysis of the non-rectangular gratings,the grating is approximated by a stack of lamellar gratings.We obtain the eigenvalues of the reference layers by RCWA firstly,and then get the eigenvalues of the rest layers by PM.It shows that PM can shorten the calculation efficiency at the basis of achieving the calculation accuracy.For the simulation example,when the truncation order is 12,the calculation time saves 45%.

gratings;perturbation method;diffraction;RCWA

2015-03-20;

2015-09-14；責任編輯：覃懷銀

O438.2

A

0372-2112 (2016)09-2046-05

??學報URL:http://www.ejournal.org.cn

10.3969/j.issn.0372-2112.2016.09.003