曹毅, 陳海, 秦友蕾, 曹浩峰, 周輝

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解耦三轉(zhuǎn)動兩平移并聯(lián)機器人機構(gòu)型綜合

曹毅1,2,3, 陳海1,3, 秦友蕾1,3, 曹浩峰1,3, 周輝1,3

(1.江南大學(xué) 機械工程學(xué)院，江蘇 無錫 214122；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機器人技術(shù)與系統(tǒng)國家重點實驗室，黑龍江 哈爾濱 150080；3.江蘇省食品先進制造裝備技術(shù)重點實驗室，江蘇 無錫 214122)

為了研究并聯(lián)機構(gòu)的運動耦合問題，基于螺旋理論和支鏈獨立驅(qū)動原則提出了三轉(zhuǎn)動兩平移(3R2T)類解耦并聯(lián)機構(gòu)構(gòu)型綜合方法。首先根據(jù)期望3R2T解耦并聯(lián)機構(gòu)的運動特征(繞X、Y、Z軸方向的轉(zhuǎn)動和沿X、Y軸方向的移動)和解耦并聯(lián)機構(gòu)的正逆雅可比矩陣必為對角陣的要求，利用螺旋理論來構(gòu)造滿足期望形式的正逆雅可比矩陣；其次根據(jù)正逆雅可比矩陣所要滿足的條件，確定支鏈驅(qū)動副作用于動平臺上的使動螺旋，再得到該使動螺旋對應(yīng)支鏈上的表示驅(qū)動副的驅(qū)動螺旋和除驅(qū)動螺旋之外的其他運動螺旋系，據(jù)此可完成支鏈結(jié)構(gòu)螺旋系的配置；最后根據(jù)并聯(lián)機構(gòu)構(gòu)型原理依次取出五條支鏈連接動平臺和定平臺得到并聯(lián)機構(gòu)。綜合的并聯(lián)機構(gòu)具有解耦特性，避免了運動耦合問題，具有一定的應(yīng)用前景。

型綜合；并聯(lián)機構(gòu)；支鏈驅(qū)動；螺旋理論

作為一類新型機構(gòu)，并聯(lián)機構(gòu)相對于傳統(tǒng)的串聯(lián)機構(gòu)而言具備一些獨特的優(yōu)勢[1-2]，如精度高、累積誤差小等。伴隨著Delta機器人[3]在各條生產(chǎn)線上的廣泛應(yīng)用，并聯(lián)機構(gòu)逐漸走向快速發(fā)展的時期。而作為機構(gòu)學(xué)的研究熱點，國內(nèi)外學(xué)者對并聯(lián)機構(gòu)的型綜合已經(jīng)做了大量的研究工作，其中主要包括三類，分別為：1) 由Hervé提出的基于位移群論的構(gòu)型方法[4]；2) HUANG引用螺旋理論提出了機構(gòu)構(gòu)型方法[5]；3) 楊廷力結(jié)合機器人的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)提出了機器人構(gòu)型方法[6]。

在并聯(lián)機構(gòu)的研究和應(yīng)用中，機構(gòu)輸入和輸出之間的耦合卻成為了阻礙并聯(lián)機構(gòu)應(yīng)用的一個難題。雖然耦合性使機構(gòu)提高了剛度和承載能力，但耦合性給并聯(lián)機構(gòu)的應(yīng)用也帶來了局限性，所以解耦的并聯(lián)機構(gòu)，又逐步演變?yōu)樾碌难芯繜狳c[7-8]。由于解耦并聯(lián)機構(gòu)避免了機構(gòu)輸入與輸出之間的耦合性，故其在精密儀器儀表、航空航天、高端制造裝配等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用前景。國內(nèi)外眾多學(xué)者已經(jīng)開展了相關(guān)的研究，如Carricato[9]、Gogu[10]、Kong、Gosselin[11]、侯雨雷[12]、高峰[13]、黃真[14]、曾達幸[15-16]、張帆[17]、張彥斌[18]等，但大部分學(xué)者的研究對象均為具有三自由度移動及轉(zhuǎn)動特征的并聯(lián)機構(gòu)，關(guān)于三轉(zhuǎn)兩移(3R2T)解耦并聯(lián)機構(gòu)的構(gòu)型綜合卻缺乏研究。

通過分析解耦并聯(lián)機構(gòu)的輸入輸出特點，基于支鏈獨立驅(qū)動原理和螺旋理論提出了3R2T解耦并聯(lián)機構(gòu)構(gòu)型綜合方法。給定期望3R2T解耦并聯(lián)機構(gòu)的運動特征，根據(jù)解耦并聯(lián)機構(gòu)的正逆雅可比矩陣必為對角陣的結(jié)構(gòu)特性。首先利用螺旋理論來構(gòu)造出符合解耦并聯(lián)機構(gòu)特點的正逆雅可比矩陣；其次根據(jù)所構(gòu)造的正雅可比矩陣，即可得到驅(qū)動副作用于動平臺上的使動螺旋；再求得該使動螺旋對應(yīng)支鏈上的表示驅(qū)動副的驅(qū)動螺旋和除驅(qū)動螺旋之外的其他運動螺旋系；最后根據(jù)解耦并聯(lián)機構(gòu)的運動條件依次將五條支鏈連接到動定平臺上，即可得到3R2T解耦并聯(lián)機構(gòu)。由于該并聯(lián)機構(gòu)的輸出運動完全由支鏈上獨立輸入的驅(qū)動所提供，故屬于解耦并聯(lián)機構(gòu)。

1 螺旋理論基礎(chǔ)

文獻[19]研究表明：螺旋(screw)也稱旋量。在空間機構(gòu)分析中，其可以表示為運動關(guān)節(jié)所受力或者關(guān)節(jié)軸線的方向?？梢杂靡唤M對偶矢量表示：

(1)

式中：S和S0均為矢量，r表示螺旋的位置矢量，h為螺旋的節(jié)距。螺旋也可用Plücker坐標(biāo)表示為

(2)

(3)

式中：螺旋$1和螺旋$2互為反螺旋。

使動螺旋表示機構(gòu)動平臺所受到的力的螺旋，當(dāng)機構(gòu)中的驅(qū)動副驅(qū)動時，機構(gòu)的動平臺會受到力或力偶的作用，用螺旋將該力/力偶表示出來，就稱為使動螺旋[20]。

2 3R2T解耦并聯(lián)機構(gòu)輸入輸出分析

(4)

(5)

(6)

由于分支約束螺旋系限制，使v中平行于Z軸方向的任何分量都恒為0。此時對應(yīng)的使動螺旋為$ai(i=1, 2, 3, 4, 5)，改變式(6)中使動螺旋的形式可得

(7)

式中：

(8)

(9)

(10)

若Jinv為可逆矩陣，則：

(11)

(12)

其中J表示機構(gòu)的雅可比矩陣。

若能確保機構(gòu)的正、逆雅可比矩陣均為對角陣，則該機構(gòu)必定為解耦的并聯(lián)機構(gòu)。

3 3R2T解耦并聯(lián)機構(gòu)型綜合原理

結(jié)合上述結(jié)論提出了一種基于螺旋理論的3R2T解耦并聯(lián)機構(gòu)構(gòu)型綜合方法。通過確定使動螺旋、驅(qū)動螺旋的形式，來獲得對角的正逆雅可比矩陣，進而可以得到滿足條件的支鏈結(jié)構(gòu)形式。具體流程圖如圖1所示。

圖1 解耦并聯(lián)機器人構(gòu)型綜合流程圖Fig.1 Flow chart of type synthesis of decoupled parallel robotic manipulators

由文獻[16]可知，并聯(lián)移動解耦機構(gòu)的驅(qū)動副既可是移動副也可是轉(zhuǎn)動副。因此當(dāng)驅(qū)動副為轉(zhuǎn)動副時，該分支需具有一個轉(zhuǎn)動副與驅(qū)動副構(gòu)成2R平行子鏈(下文中簡稱2R平行子鏈轉(zhuǎn)動副)。但為了不破壞機構(gòu)的解耦特性，需要注意的是：由2R平行子鏈作為驅(qū)動副，會帶來另一方向的驅(qū)動作用(稱為消極驅(qū)動，即機構(gòu)中在某一方向不希望出現(xiàn)的驅(qū)動)，所以要求在該分支結(jié)構(gòu)中需有一個移動副與該分支中存在的消極驅(qū)動方向共線，以便消除消極驅(qū)動對機構(gòu)解耦特性的不利影響。基于以上分析，可依據(jù)獨立驅(qū)動原則，利用螺旋理論完成3R2T解耦并聯(lián)機構(gòu)的構(gòu)型。

4 機構(gòu)支鏈型綜合過程

本文綜合的3R2T解耦并聯(lián)機構(gòu)是基于獨立驅(qū)動原則，即一條支鏈只含有一個驅(qū)動副，且控制動平臺的一個對應(yīng)的輸出自由度。所以在下文的構(gòu)型綜合過程中，將假設(shè)前兩條分支分別提供沿X與Y軸方向的移動驅(qū)動，第三、四、五條分支提供繞X、Y及Z軸方向的轉(zhuǎn)動驅(qū)動。由于并聯(lián)機構(gòu)分支必具有動平臺的運動特征，所以綜合的每條支鏈的連接度至少為5。下文將根據(jù)上述構(gòu)型原理，詳細(xì)給出五條支鏈的構(gòu)型過程。

4.1 第一條支鏈的型綜合

設(shè)該分支僅對動平臺沿X軸方向的移動提供輸入驅(qū)動，其正雅可比矩陣中第一排僅一個非零元素[Jdir]11。由于期望使動螺旋只對動平臺沿X軸方向有驅(qū)動力，所以使動螺旋的形式只考慮為

(13)

即使動螺旋與定平臺坐標(biāo)系X軸重合。根據(jù)第三節(jié)分析可知，當(dāng)使動螺旋為力線矢類螺旋時，驅(qū)動副可以是移動副或者是2R平行子鏈轉(zhuǎn)動副，所以驅(qū)動螺旋有三種類型，其螺旋表達式為

(14)

式(14)表示三種情況下，支鏈中的驅(qū)動副分別為沿X軸方向的移動副、繞Y軸方向和Z軸方向的2R平行轉(zhuǎn)動副。將式(14)代入式(10)可得

(15)

由于d12和d13是與坐標(biāo)系原點選擇相關(guān)的變量，故只需調(diào)整驅(qū)動副的位置使d12和d13不為零，即可使式(15)中三種情況下[Jv]11均不為零。根據(jù)反螺旋定理[19]可知支鏈中可能存在的螺旋系包括以下三種：

1) 與X軸平行的線矢量螺旋系，空間內(nèi)平行的線矢量螺旋系維數(shù)最多為3，故其數(shù)量最多為3。

2) 與X軸垂直的偶量螺旋，由于共面的偶量螺旋最大線性無關(guān)數(shù)為2，所以其數(shù)量最多為2，且軸線方向不共線。

3) 與使動螺旋交于一點的線矢量螺旋系，支鏈中此類螺旋數(shù)目至少為2個，一個軸線平行于Z軸方向，另一個軸線平行于Y軸方向，且其軸線相交于一點。

下文分三種情況對主動螺旋的三種類型進行詳細(xì)討論。

4.1.1 沿X軸方向的移動副驅(qū)動

當(dāng)驅(qū)動副為移動副，且移動副軸線平行于X軸方向時，有

(16)

根據(jù)文獻[17]可知，并聯(lián)機構(gòu)的運動特征是各支鏈運動特征的交集，所以并聯(lián)機構(gòu)支鏈必含動平臺的運動特征，即該支鏈連接度至少為3R2T類型，所以支鏈的連接度有5和6兩種，根據(jù)支鏈連接度的不同可依次推導(dǎo)出支鏈的機構(gòu)類型，詳細(xì)的支鏈一結(jié)構(gòu)如表1第一類所示。為簡化結(jié)構(gòu)和直觀分析，設(shè)定相鄰運動副軸線方向均垂直或平行，其中所出現(xiàn)的4R1T類型的并聯(lián)機構(gòu)是以3R2T類型經(jīng)過線性組合變換所得，變換過程中需注意的是一個轉(zhuǎn)動副和一個移動副的線性組合成一個2R平行子鏈需具有一定條件：即原支鏈中存在垂直于該轉(zhuǎn)動副軸線方向的兩個移動自由度。具體的螺旋線性變換方法參考文獻[19]，下文中其他類型變換同理。

4.1.2 繞Y軸方向的轉(zhuǎn)動副驅(qū)動

當(dāng)驅(qū)動副為轉(zhuǎn)動副，且其軸線平行于Y軸方向時，有

(17)

當(dāng)輸入副為轉(zhuǎn)動副時，等效于用一個2R平行轉(zhuǎn)動副替代沿X軸的移動驅(qū)動，所以此類分支的運動連接度至少可達到5個。其具體支鏈配置類型如下表1第二類別所示。

4.1.3 繞Z軸方向的轉(zhuǎn)動副驅(qū)動

當(dāng)驅(qū)動副為轉(zhuǎn)動副，且其軸線平行于Z軸方向時，有

(18)

當(dāng)輸入副為轉(zhuǎn)動副時，相當(dāng)于用一個2R平行子鏈替代沿X軸的移動驅(qū)動，但由于支鏈中平行于Z軸的線矢量螺旋至少存在一個，所以可知此類分支的運動連接度最少可以為5個。其具體支鏈配置類型如下表1中第三類所示。

表1為支鏈一的可能結(jié)構(gòu)類型。需要說明的是，由于本文綜合的并聯(lián)機構(gòu)的運動特征為三轉(zhuǎn)兩移，所以支鏈的連接度至少為5，又由于機構(gòu)采用獨立支鏈驅(qū)動，所以會有5條支鏈，為簡化機構(gòu)結(jié)構(gòu)，所以本文中構(gòu)造的支鏈均不考慮存在冗余運動副的情況；且限于篇幅，一類支鏈只給出一種排列情形，對于改變支鏈中運動副的排列順序的情況較為簡單，不予一一列出。

表1 第一條支鏈結(jié)構(gòu)

4.2 第二條支鏈的型綜合

第二條支鏈對動平臺提供沿Y軸方向的移動輸入。由于第二條支鏈的型綜合原理類似于第一條支鏈的型綜合過程，同理可得第二條支鏈上的使動螺旋和主動螺旋分別為

(19)

依據(jù)上節(jié)的分析方法，其主動螺旋有三類：

(20)

根據(jù)上節(jié)綜合原理可得第二條支鏈具體結(jié)構(gòu)類型見表2。

4.3 第三條支鏈的型綜合

第三條分支僅對X軸方向的轉(zhuǎn)動提供輸入驅(qū)動，其使動螺旋$a3的形式為

(21)

若第二條支鏈上表示驅(qū)動副的驅(qū)動螺旋為$q3=[a3b3c3; d3e3f3]。由于綜合的每條分支都具有三移兩轉(zhuǎn)運動特征，所以當(dāng)驅(qū)動螺旋具有Y與Z方向轉(zhuǎn)動分量時，可能會引起動平臺具備Y、Z方向的轉(zhuǎn)動自由度，破壞了機構(gòu)的轉(zhuǎn)動解耦特性，驅(qū)動螺旋只能為

(22)

將式(21)和式(22)代入式(10)可得

(23)

由式(23)可知，[Jv]33滿足非零條件，所以有

(24)

根據(jù)上述分析，可得到第三條支鏈的具體結(jié)構(gòu)如下表3所示。

表3 第三條支鏈結(jié)構(gòu)

4.4 第四條支鏈的型綜合

第四條支鏈僅對Y軸方向的轉(zhuǎn)動提供輸入驅(qū)動。第四條支鏈的型綜合過程類似于第三條支鏈的型綜合過程，同理可得第四條支鏈上的使動螺旋和主動螺旋分別為

(25)

根據(jù)以上方法給出其支鏈具體結(jié)構(gòu)類型見表4。

表4 第四條支鏈結(jié)構(gòu)

4.5 第五條支鏈的型綜合

第五條支鏈僅對Z軸方向的轉(zhuǎn)動提供驅(qū)動輸入，第五條支鏈的綜合過程類似于第三、四條支鏈，以下只做簡述，具體原理過程請參看上節(jié)。同理可知，第五條支鏈的使動螺旋和驅(qū)動螺旋分別為

(26)

根據(jù)式(6)，即可得到除驅(qū)動螺旋之外的其他運動螺旋所組成的螺旋系，在此直接在表5中給出具體的支鏈結(jié)構(gòu)類型。

表5 第五條支鏈結(jié)構(gòu)

5 解耦3R2T并聯(lián)機構(gòu)型綜合

本文采用基于運動特征的綜合方法[21]，通過構(gòu)造五條支鏈再組合五條分支得到并聯(lián)機構(gòu)。

由于本文綜合的并聯(lián)機構(gòu)具有三維轉(zhuǎn)動特征，所以根據(jù)并聯(lián)機構(gòu)轉(zhuǎn)動條件：任意兩分支需能提供垂直于轉(zhuǎn)動方向的二維移動自由度。所以在選擇組合五條支鏈時，需注意以下準(zhǔn)則：

1) 五條支鏈中只能有1條支鏈的連接度為5，其余四條支鏈均需為連接度為6的支鏈。圖2為根據(jù)以上方法得到的一種解耦3T2R并聯(lián)機構(gòu)。

2) 對于機構(gòu)中出現(xiàn)的連接度為5的支鏈，由于轉(zhuǎn)動特征會改變移動特征的方向，所以在支鏈中移動副需放在轉(zhuǎn)動副之前，這樣支鏈的約束螺旋系將不會發(fā)生改變，也就避免了機構(gòu)自由度的瞬時性。

圖2 3R2T解耦并聯(lián)機構(gòu)Fig.2 A 3R2T decoupled parallel mechanism

圖2中所示并聯(lián)機構(gòu)的支鏈結(jié)構(gòu)分別為TXTYRXRYRZ、RX1RX2TZRY1RY2RZ、RXTZTYRZRY1RY2、RY1RY2TZRX1RX2RZ、RZ1RZ2TYRX1RX2RY，其中固定基座及動平臺如圖2中所示，五條支鏈分別為動平臺提供沿x、y軸方向的移動自由度和繞x、y、z軸方向的轉(zhuǎn)動自由度。

如圖2所示，選取五條支鏈的第一個運動副為輸入副，且直接與固定基座相連。定義符號如下：l1為支鏈一上沿x軸方向表示驅(qū)動輸入的移動距離；θ1為支鏈二上沿x軸方向的2R平行子鏈驅(qū)動副的輸入；θ2為支鏈三繞x軸線方向旋轉(zhuǎn)輸入的角度；θ3為支鏈四繞y軸方向旋轉(zhuǎn)輸入的角度；θ4為支鏈五繞z軸方向旋轉(zhuǎn)輸入的角度。

坐標(biāo)系如圖2中所示，假設(shè)支鏈二中與驅(qū)動副相連的連桿長為L，初始角度為γ。用沿x軸方向的2R子鏈替代沿y軸的移動輸入，分析如下圖3所示。

圖3 機構(gòu)沿y軸方向輸入分析Fig.3 The analysis of mechanism input along the y-axis direction

由圖3知，驅(qū)動副沿y軸方向的移動輸入距離y為

(27)

根據(jù)以上分析，可知機構(gòu)輸入分別為(l1、θ1、θ2、θ3、θ4)，設(shè)動平臺的對應(yīng)輸出量分別為(x、y、α、β、φ)，其中α、β、φ為繞固定軸的RPY角，則根據(jù)上述解耦并聯(lián)機構(gòu)組成特點，可以得到

(28)

對式(28)兩邊對時間t求導(dǎo)可得

(29)

式(29)也可以寫作：

(30)

可以得到機構(gòu)的雅可比矩陣為

(31)

由式(31)可以看到，在該并聯(lián)機構(gòu)的工作空間內(nèi)，機構(gòu)的雅可比矩陣為非零對角陣。當(dāng)cos(γ+θ1)=0時，機構(gòu)會出現(xiàn)奇異，這是由于采用2R平行轉(zhuǎn)動副作為驅(qū)動導(dǎo)致的，當(dāng)轉(zhuǎn)動角速度方向與移動方向垂直時，會出現(xiàn)奇異位置，這種情況并不是機構(gòu)不具有解耦性，僅是由轉(zhuǎn)動驅(qū)動造成，如果用移動副直接驅(qū)動，則不會出現(xiàn)奇異。

6 結(jié)論

1) 基于螺旋理論，提出了解耦并聯(lián)機構(gòu)型綜合的一種系統(tǒng)方法，通過分析解耦并聯(lián)機構(gòu)雅可比矩陣所要滿足的條件，給出了構(gòu)型原理的具體步驟。

2) 運用該型綜合方法，完成了3R2T并聯(lián)機構(gòu)的構(gòu)型綜合問題，首先綜合3R2T五自由度解耦并聯(lián)機構(gòu)各條支鏈，再根據(jù)支鏈組合原理連接動定平臺得到3R2T解耦并聯(lián)機構(gòu)。

3) 基于螺旋理論分析了綜合得到的一種機構(gòu)的運動特征，同時求得機構(gòu)的雅克比矩陣，驗證了并聯(lián)機構(gòu)的解耦也證明了構(gòu)型理論正確性。

4) 綜合的并聯(lián)機構(gòu)具有解耦特點，具有一定的應(yīng)用前景。

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Type synthesis of decoupled three-rotational and two-translational parallel robotic manipulators

CAO Yi1,2,3, CHEN Hai1,3, QIN Youlei1,3, CAO Haofeng1,3, ZHOU Hui1,3

(1. School of Mechanical Engineering, Jiangnan University, Wuxi 214122, China; 2. State Key Laboratory of Robotics and System, Harbin Institute of Technology, Harbin 150080, China; 3. Jiangsu Key Laboratory of Advanced Food Manufacturing Equipment and Technology, Wuxi 214122, China)

In order to research the problem of coupling motion of parallel mechanisms, a method of type synthesis of decoupled three-rotational and two-translational (3R2T) parallel mechanisms was proposed based on the screw theory and the principle of one leg driving by an independent motor. Firstly, according to the prescribed motion characteristics of 3R2T decoupled parallel mechanisms, including the rotations around theX,Y, andZaxes, and the translations along theXandYaxes respectively, as well as the requirement that the direct Jacobian matrix of the decoupled parallel mechanism must be a diagonal matrix, a methodology was proposed that makes use of the screw theory to synthesize desired forms for both the direct and the inverse Jacobian matrices. Secondly, according to the features of both direct and inverse Jacobian matrices, the actuation screws of branched chain drive pairs actuated on the moving platform were confirmed. Then, the actuated screws representing the drive pairs on the corresponding chain as well as the mobile un-actuated screws of every limb were derived based on the reciprocal screw theory. Thereby, the screws with a branched chain structure were allocated. Finally, the moving platform and base platform connected by five branch chains were derived in turn according to the type theory of parallel mechanisms. This enabled the acquisition of the parallel mechanisms. The synthesized parallel mechanisms have decoupled characteristics, which prevent the problem of coupling motion, and this provides an application prospect to a certain extent.

type synthesis; parallel mechanisms; driven-chain; screw theory

2015-09-02.

日期：2016-08-29.

國家自然科學(xué)基金項目(50905075)；機器人技術(shù)與系統(tǒng)國家重點實驗室開放基金項目(SKLRS-2016-KF-06)；機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室開放課題(MSV201407)；上海交通大學(xué)系統(tǒng)控制與信息處理教育部重點實驗室開放基金(SCIP201506).

曹毅(1974-)，男，教授.

曹毅，E-mail: caoyi@jiangnan.edu.cn.

10.11990/jheu.201509009

網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20160829.1422.072.html

TH112

A

1006-7043(2016)10-1408-08

曹毅, 陳海, 秦友蕾，等. 解耦三轉(zhuǎn)動兩平移并聯(lián)機器人機構(gòu)型綜合[J]. 哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報， 2016, 37(10): 1408-1415.

CAO Yi, CHEN Hai, QIN Youlei， et al. Type synthesis of decoupled three-rotational and two-translational parallel robotic manipulators[J]. Journal of Harbin Engineering University, 2016, 37(10): 1408-1415.