周賢才

立體幾何是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，其解題思路多變，解法靈活，且很多時(shí)候需要學(xué)生繪制對(duì)應(yīng)的輔助線才能順利求解.從長(zhǎng)期的實(shí)踐教學(xué)來(lái)看，學(xué)生在輔助線的繪制上往往不得要領(lǐng)，多數(shù)憑借感覺(jué)，盲目繪制，致使解題效率低下.本文將從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，對(duì)立體幾何求解中輔助線的作用進(jìn)行討論.

一、空間問(wèn)題平面化

例1在三棱錐O-ABC中，三條棱OA、OB、OC兩兩互相垂直，且OA=OB=OC，M是AB邊的中點(diǎn)，則OM與平面ABC所成角的大小是多少？

解析欲求直線與平面的夾角，學(xué)生們常會(huì)聯(lián)想到向量的解法.但從本題的題型來(lái)看，在三棱錐圖形中不宜繪制坐標(biāo)系求解.若是能夠?qū)⒕€面夾角轉(zhuǎn)換成線線夾角，必然更容易求解.聯(lián)系三棱錐的性質(zhì)，添加平面ABC的垂線OD，促使空間角轉(zhuǎn)換成了平面角.由垂線OD可得Rt△ODM、Rt△ODC，同時(shí)，也構(gòu)造出了直線OM與平面ABC的夾角.此時(shí)，只需對(duì)Rt△ODM進(jìn)行分析計(jì)算即可.

若設(shè)OA=OB=OC=a，則AB=AC=BC=2a.

利用三棱錐的體積計(jì)算公式，可以得到VO-ABC=16a3，

則OD=VO-ABC13S△ABC=33a.

在直角三角形OMD中，DM=13MC=36a.

由正切定義可知，直線OM與平面ABC所成角θ的大小滿足tanθ=ODDM=2，故二面角的大小是arctan2.

點(diǎn)評(píng)在立體幾何的求解中，切勿濫用空間向量解題.如在線面角、二面角、線面垂直、面面垂直時(shí)，不妨繪制垂線進(jìn)行輔助，實(shí)現(xiàn)解題的簡(jiǎn)化作用.

二、等效原則，化繁為簡(jiǎn)

例2已知四邊形ABCD為平行四邊形，BC⊥平面ABE，F(xiàn)為CE的中點(diǎn).求證：AE∥平面BDF.

解析欲證線面平行，可以由線線平行、面面平行證得.在本題中，學(xué)生需要將已知條件向線線與線面關(guān)系靠攏，尋求證明途徑.如圖2所示，過(guò)點(diǎn)E作直線BF的平行線.且在平面BCE內(nèi)，延長(zhǎng)CB到G，使BG=BC，最后連接GE、GA.因?yàn)锽、F分別是CG、CE的中點(diǎn)，由中位線定理可知BF∥EB.且BF平面BDF，GE平面BDF，所以GE∥平面BDF.又因?yàn)槠叫兴倪呅蜛BCD，得到AD∥BC，所以有AD∥CG.又因?yàn)锽為CG中點(diǎn)，可知BG=AD，所以四邊形AGBD為平行四邊形，得到GA∥BD.又因?yàn)锽D平面BDF，GA平面BDF，所以GA∥平面BDF.又因?yàn)镚A平面AEG，GE∩GA=G，所以有平面AEG∥平面BDF.最后，因?yàn)锳E平面AEG，所以AE∥平面BDF，即得證.當(dāng)然，輔助線的作法五花八門，只要能夠順利、簡(jiǎn)捷的得到欲證結(jié)論即可.對(duì)于本題，過(guò)E點(diǎn)作直線DF的平行線，繼續(xù)利用面面平行的關(guān)系，依然可以得證.

點(diǎn)評(píng)立體幾何線面關(guān)系類型的證明題，往往不會(huì)直接給出證明條件，需要學(xué)生利用等價(jià)代換原則，對(duì)線線關(guān)系、線面關(guān)系及面面關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)換.有時(shí)，利用常規(guī)方法或許也能實(shí)現(xiàn)證明求解，但可能會(huì)帶來(lái)較為復(fù)雜的解題步驟.對(duì)此，利用輔助線進(jìn)行轉(zhuǎn)換證明，會(huì)給解題帶來(lái)簡(jiǎn)化.

三、關(guān)聯(lián)因果，補(bǔ)充題設(shè)

例3在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分別是AB、AD、C1D1的中點(diǎn)，求證：平面D1EF∥平面BDG.

解析欲證面面平行，首先必須繪制出對(duì)應(yīng)的結(jié)論平面，即連接EF、BD、D1F、BG、DG.通常證明面面平行往往采用線面平行的方法，由E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，得到EF∥BD，進(jìn)一步可得EF∥平面BDG.上述的線和面均在欲證結(jié)論之中，此時(shí)，需要繼續(xù)在平面D1EF上尋找另一條直線，并證明其與平面BDG平行.在四邊形D1GBE中，有D1G平行且等于BE，故可知四邊形D1GBE是平行四邊形.因此，便可以順利得到結(jié)論BG∥D1E.同時(shí)，EF、D1E為同一平面內(nèi)的兩條相交直線，且都平行于平面BDG.故由該線面平行，可以證得平面D1EF平行于平面BDG.在本問(wèn)題的求解中，首先連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)，聯(lián)系因果關(guān)系，利用輔助線來(lái)補(bǔ)充題設(shè).從圖3中不難看出，在輔助線繪制后，相關(guān)圖形之間的關(guān)系變得清晰明了，對(duì)學(xué)生求解作用顯著.

點(diǎn)評(píng)在求解或證明空間幾何問(wèn)題時(shí)，輔助線最主要的作用就是聯(lián)系因果，補(bǔ)充題設(shè).在輔助線繪制上，必須聯(lián)系題設(shè)，從已知與問(wèn)題入手，辨析查找突破口.見(jiàn)到中點(diǎn)，往往會(huì)聯(lián)想到中位線定理；見(jiàn)到三棱錐，往往會(huì)聯(lián)想到垂線定理.在輔助線的實(shí)際繪制過(guò)程中，還需要結(jié)合問(wèn)題實(shí)際，進(jìn)行靈活使用.

在實(shí)際解題過(guò)程中，這些方法往往不是單獨(dú)出現(xiàn)的，需要學(xué)生進(jìn)行綜合性的分析使用.立體幾何問(wèn)題的輔助線繪制是千變?nèi)f化的，不存在什么模板，不會(huì)一蹴而就，必須要進(jìn)行足量練習(xí)，在長(zhǎng)期的訓(xùn)練過(guò)程中進(jìn)行積累和升華.