陳永鵬/廣西科技大學鹿山學院

線性方程組的案例教學

陳永鵬/廣西科技大學鹿山學院

在目前的線性代數(shù)教學中，過于強調(diào)數(shù)學的嚴謹性和系統(tǒng)性，缺少線性代數(shù)與實際相結合的教學．在國家大力倡導應用型人才培養(yǎng)的大背景下，這種狀況需要改變。本文考察了在線性方程組的教學中，案例教學的應用。對線性代數(shù)的實際應用進行嘗試性教學。

線性方程組；案例教學

線性代數(shù)課程在大學數(shù)學中占有重要地位，這使得廣大數(shù)學教育工作者對其教學內(nèi)容，教書手法進行了大量的研究．就目前的大部分教學內(nèi)容來看，過于強調(diào)數(shù)學的嚴謹性和系統(tǒng)性，缺少線性代數(shù)與實際相結合的教學．使學生對這門課程只是學會了一些理論，而不知道線性代數(shù)的實際應用。在國家大力倡導應用型人才培養(yǎng)的大背景下，這種情況是需要改變的。也就是在線性代數(shù)教學中，要適合地融入案例教學，以提高學生的實際運用水平和學習興趣。本文作者就線性方程組的案例教學進行了這方面的嘗試。

在32學時的線性代數(shù)教學中，線性方程組是核心內(nèi)容，利用初等行變化求解線性方程組也是學生必須掌握的手法。但是講完這章以后，作者發(fā)現(xiàn)學生只是會了求解線性方程組，往往對其實際應用很模糊，就慢慢地在教學中融入案例教學。讓學生感到學有所用的同時,強化了學生的應用意識,培養(yǎng)學生應用能力, 進而增強了學生對知識的掌握和理解。

本文將給出幾個典型的線性方程組應用實例。

1.人力資源分配問題

例1. 某晝夜服務的公交線路每天各時間段內(nèi)所需司機和乘務人員人數(shù)表所示。

班次時間所需人數(shù)班次時間所需人數(shù)16∶00～10∶0060418∶00～22∶0050 210∶00～14∶0070522∶00～2∶0020 314∶00～18∶006062∶00～6∶0030

設司機和乘務人員分別在各時間段開始時上班，并連續(xù)工作8小時，問該公交線路應怎樣安排司機和乘務人員，既能滿足工作需要，又使配備司機和乘務人員的人數(shù)最少？

解：設xi表示第i班次時開始上班的司機和乘務人員數(shù),

這樣我們建立如下的數(shù)學模型。

這本來是運籌學中的線性規(guī)劃模型，在線性代數(shù)中，我們只考察約束條件，這和線性方程組非常相似，但是不一樣。為了轉化成方程組，首先引進6個變量讓六個約束左邊分別減去這六個變量，則得到如下線性方程組：。

2.套裁下料問題

例2. 某鋼管零售商從鋼管廠進貨，將鋼管按照顧客的需求切割后售出. 從鋼管廠進貨時得到原料鋼管都是19m長. 現(xiàn)有一客戶需要50根4m長，20根6m長和15根8m長的鋼管，應如何下料最節(jié)省？

解：首先考察所有的下料方案，見[1]。通過下料方案可以引進7個變量。用表示按照第i種模式切割的原料鋼管的根數(shù)。這樣我們建立如下的數(shù)學模型。

3.生產(chǎn)計劃問題

生產(chǎn)計劃問題

例3．某公司面臨一個是外包協(xié)作還是自行生產(chǎn)的問題。該公司生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品，都需要經(jīng)過鑄造、機加工和裝配三個車間。甲、乙兩種產(chǎn)品的鑄件可以外包協(xié)作，亦可以自行生產(chǎn)，但產(chǎn)品丙必須本廠鑄造才能保證質(zhì)量。數(shù)據(jù)如表。問：公司為了獲得最大利潤，甲、乙、丙三種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少件？甲、乙兩種產(chǎn)品的鑄造中，由本公司鑄造和由外包協(xié)作各應多少件？

甲乙丙資源限制鑄造工時（小時/件）51078000機加工工時（小時/件）64812000裝配工時（小時/件）32210000自產(chǎn)鑄件成本（元/件）354外協(xié)鑄件成本（元/件）56--機加工成本（元/件）213裝配成本（元/件）322產(chǎn)品售價（元/件）231816

產(chǎn)品甲全部自制的利潤=23-(3+2+3)=15

產(chǎn)品甲鑄造外協(xié)，其余自制的利潤=23-(5+2+3)=13

產(chǎn)品乙全部自制的利潤=18-(5+1+2)=10

產(chǎn)品乙鑄造外協(xié)，其余自制的利潤=18-(6+1+2)=9

產(chǎn)品丙的利潤=16-(4+3+2)=7

通過以上兩個案例，就把線性方程組與實際問題聯(lián)系起來了。使學生了解了線性方程組是如何應用于實際的，進而對這門課程的理論有了新的認識，提高了學習興趣，從而增強了學生的應用意識。另外為了求解這些方程組，可以在教學中融入數(shù)學軟件Matlab、Mathematic，從而使學生更加覺著線性代數(shù)不僅有用，而且好學。

[1] 謝金星，薛毅. 優(yōu)化建模與lindo/lingo軟件[M]. 北京：清華大學出版社，2005.

[2] 黃玉梅. 應用型人才培養(yǎng)的《線性代數(shù)》課程教學改革探索[J]. 西南師范大學學報(自然科學版), 2013, 38(11),157-161.

基于高校轉型發(fā)展的大學數(shù)學課程模塊化教學改革研究與實踐（項目編號：2015JGA425）.