吳懌昊 羅志才,2

1 武漢大學(xué)測繪學(xué)院，武漢市珞喻路129號， 430079 2 地球空間環(huán)境與大地測量教育部重點實驗室，武漢市珞喻路129號，430079

?

地形橫向密度擾動對于區(qū)域大地水準面建模的影響

吳懌昊1羅志才1,2

1 武漢大學(xué)測繪學(xué)院，武漢市珞喻路129號， 430079 2 地球空間環(huán)境與大地測量教育部重點實驗室，武漢市珞喻路129號，430079

分別利用Helmert和KTH法模擬試算了不同地形起伏區(qū)域內(nèi)橫向密度擾動對于大地水準面的影響。結(jié)果表明，在地形起伏較小的平原或丘陵地帶，橫向密度擾動的影響一般不會超過cm級，在精度允許的范圍內(nèi)可以忽略其影響；在地形起伏較大的山區(qū)，橫向密度擾動的影響可達cm甚至dm級，對于cm級大地水準面精化而言，需要考慮其影響。此外，基于Helmert與KTH法解算的結(jié)果在地形起伏劇烈的山區(qū)差異較大，由于Helmert法計算地形效應(yīng)時忽略了外區(qū)地形質(zhì)量的影響，其解算結(jié)果可能存在偏差?？傮w而言，在地形起伏劇烈的山區(qū)建模時，需利用多種計算方法基于實測數(shù)據(jù)分別進行試算，通過計算的變密度大地水準面與實測的GPS水準數(shù)據(jù)進行比較分析，得到適合該區(qū)域的大地水準面建模方法。

地形橫向密度擾動；大地水準面；赫爾默特凝聚法；KTH法

確定高精度、高分辨率的大地水準面是物理大地測量的主要任務(wù)之一。利用Stokes理論解算大地水準面的前提是大地水準面外部不存在剩余質(zhì)量，即需對地形質(zhì)量進行相應(yīng)的處理，并對實測重力進行歸算[1]。對地形質(zhì)量處理時往往將地殼密度作為常數(shù)而不考慮其變化，這一假設(shè)不僅在理論上存在不嚴密性，在實際大地水準面的解算中也可能會引入較大的誤差。特別是在地形復(fù)雜、起伏大的山區(qū)，地殼密度可能偏離平均值10%～20%，橫向密度擾動可能會引起較大的誤差[2]。

國內(nèi)外學(xué)者對橫向密度擾動對大地水準面的影響作了相關(guān)研究。文獻[2]從理論上證明，即使是一個很小的密度擾動在山區(qū)也可能會引起dm級的誤差；文獻[3]利用赫爾默特凝聚法計算加拿大山區(qū)橫向密度擾動對大地水準面的影響，表明在該區(qū)域橫向密度擾動的影響達7.0 cm；文獻[4]的研究表明，橫向密度擾動對大地水準面的影響在最深湖(貝加爾湖)和最高山脈(喜馬拉雅山)分別達到了1.5 cm和1.78 m；文獻[5]計算了伊朗山區(qū)地殼密度擾動對大地水準面的影響，表明其影響可達dm級或以上。國外學(xué)者的研究結(jié)果表明，在地形起伏較大的區(qū)域及多山地區(qū)，橫向密度擾動對大地水準面的影響較大，需要謹慎考慮其影響。由于不同的計算方法對于地形質(zhì)量的處理方式不同，基于不同方法計算的橫向密度擾動對于大地水準面的影響也會存在差異。本文利用赫爾默特凝聚法和KTH法，以國內(nèi)不同區(qū)域的大地水準面建模為實例，對比分析地形橫向密度擾動對大地水準面的影響，并分析不同建模方法的優(yōu)劣，以期為后續(xù)的山區(qū)大地水準面精化提供參考。

1 橫向密度擾動影響的計算方法

1.1 赫爾默特凝聚法

赫爾默特凝聚法(Helmert)并不是移除地形質(zhì)量的影響，而是把地形質(zhì)量的影響壓縮到大地水準面以下，并利用與高程呈簡單線性關(guān)系的重力梯度將地面重力異常向下延拓到大地水準面上。赫爾默特重力異常ΔgHelmert可表示為[6]：

(1)

式中，Δgfa表示空間重力異常。計算點p的局部地形改正tc可表示為[1]：

(2)

(3)

式中，hp表示點p的地形高，R表示地球的平均半徑。

恢復(fù)移去地形質(zhì)量的間接影響，可得到最終的大地水準面。間接影響Nind可表示為[6]：

(4)

式中，γ表示平均正常重力，hp和h表示計算點和流動點的地形高。

聯(lián)合式(2)及式(3)，橫向密度擾動Δρ對Helmert重力異常ΔgHelmert的總影響可表示為：

(5)

橫向密度擾動對間接影響的影響ΔNind可表示為：

(6)

結(jié)合式(5)及式(6)，橫向密度擾動對大地水準面的總影響ΔNtotal可表示為：

(7)

式中，S(ψ)表示Stokes函數(shù)。

1.2 KTH法

KTH法利用隨機性改化形式的Stokes公式計算大地水準面。與傳統(tǒng)方法相比，KTH法無需進行重力歸算，而直接采用地面重力異常計算得到近似的大地水準面高，在此基礎(chǔ)上加上大地水準面高的附加改正項得到最終的大地水準面[7-10]。區(qū)別于傳統(tǒng)方法計算地形質(zhì)量影響時需要分別計算直接影響和間接影響，該方法直接計算地形質(zhì)量對大地水準面的總影響，即組合地形影響，可表示為[7,11]：

(8)

(9)

式(9)中等式右邊第二項的影響較小，通?？蓪⑵浜雎圆挥?，此時可表示為：

(10)

我國采用正常高系統(tǒng)，計算的大地水準面往往要轉(zhuǎn)換為似大地水準面，橫向密度擾動同樣也會影響上述轉(zhuǎn)換結(jié)果。大地水準面和似大地水準面差距可表示為：

(11)

(12)

簡單布格重力異常ΔgB受到橫向密度擾動的影響，造成大地水準面和似大地水準面的差距也會受到地殼密度擾動的影響。經(jīng)過簡單的推導(dǎo)可得，橫向密度擾動對大地水準面和似大地水準面差距的影響Δζρ可表示為：

(13)

對比式(10)和式(13)可知，利用KTH法計算橫向密度擾動對大地水準面的影響與計算橫向密度擾動對大地水準面和似大地水準面差距的影響公式一致，因此在后續(xù)的試算中可以利用KTH法計算橫向密度擾動對大地水準面的影響，即計算出了橫向密度擾動對大地水準面和似大地水準面差距的影響。

2 數(shù)值分析

國外學(xué)者往往通過地質(zhì)勘察部門所發(fā)布的地質(zhì)圖、地理信息數(shù)據(jù)及相關(guān)信息獲取特定區(qū)域的真實地殼密度資料[3]。由于在進行相關(guān)研究中缺乏相應(yīng)的地殼密度資料，本文通過模擬研究計算不同區(qū)域、不同密度擾動對該區(qū)域大地水準面精化的影響，以此說明在這些地區(qū)是否要考慮橫向密度擾動的影響。本文主要采用普拉特-海福特均衡補償系統(tǒng)計算的地殼均衡密度擾動[12]和模擬的特定橫向密度擾動。普拉特-海福特均衡模型假設(shè)大地水準面下方某一深度處存在一個補償面，該補償面下方的密度是均勻的，上方的質(zhì)量在該補償面上產(chǎn)生的壓強處處相等。通過均衡補償理論就可以得到每個柱體的密度ρ，在不影響精度的情況下通過適當(dāng)?shù)钠矫娼痞芽杀硎緸閇12]：

(14)

式中，D表示大地水準面到補償面的距離，即補償深度；H為地面到大地水準面的距離，即海拔高程；ρ0=2.67g/cm3為平均地殼密度。

通過式(14)可得到近似的地殼密度擾動Δρ：

(15)

為了對比分析不同密度擾動對局部大地水準面精化的影響，本文在試算區(qū)域內(nèi)定義了3種常密度擾動Δρ1、Δρ2及Δρ3，分別偏離平均地殼密度的5%、10%及15%，表示如下：

(16)

式中，ρ1、ρ2及ρ3表示3種相應(yīng)的地殼密度。

由于密度擾動對大地水準面的影響與密度擾動大小和計算區(qū)域的地形起伏相關(guān)，為了進一步說明地形起伏的影響，本文選取兩個地勢高低、地形起伏各異的試算區(qū)域：1)我國東南某丘陵區(qū)域ΩA，其緯度范圍為26°～28°，經(jīng)度范圍為116°～118°，見圖1(a)；2)我國四川省西部某山區(qū)區(qū)域ΩB，其緯度范圍為31°～33°，經(jīng)度范圍為101°～103°，見圖1(b)。DEM模型采用SRTM模型，其分辨率為3″×3″，即90 m×90 m，其相應(yīng)的統(tǒng)計信息見表 1。由圖1、圖2可知，區(qū)域ΩA地形總體上起伏較小，屬于較為平坦的區(qū)域。結(jié)合表 1和表 2，其高程平均值約為430 m，平均均衡密度擾動為0.028 g/cm3，約為平均地殼密度的1%。區(qū)域ΩB屬于海拔高程較高的山區(qū)，地形總體上起伏較大，該區(qū)域高程平均值約為3 885 m，均衡密度擾動的平均值0.236 g/cm3，偏離平均地殼密度約為8.8%，地殼密度擾動較大。

圖1 不同區(qū)域的數(shù)字地形模型Fig.1 The DEM over various computational regions

max/mmin/mmean/mstd/mrms/mΩA215524430.45270.32508.29ΩB613219523885.58467.633913.62

采用均衡密度擾動及特定的3種密度擾動，計算橫向密度擾動對大地水準面的影響。利用不同方法計算區(qū)域ΩA內(nèi)橫向密度擾動影響的結(jié)果如圖3和圖4所示。由圖可見，密度擾動對大地水準面的影響與地形起伏和密度擾動本身的大小有關(guān)。由于試算區(qū)域總體上較為平坦，真實的地殼密度與平均地殼密度相差不大，橫向密度擾動對大地水準面的影響較小。若將均衡密度擾動作為真實的密度擾動信息，從表 3統(tǒng)計信息可知，由不同方法計算的均衡密度擾動引起的大地水準面誤差不超過cm級，其標(biāo)準差在mm量級，在精度允許的范圍內(nèi)可以忽略其影響。由于該計算區(qū)域地勢較為平緩，地形影響較小，上述兩種方法計算的橫向密度擾動影響的差異并不顯著。

圖2 不同區(qū)域的地殼均衡密度擾動Fig.2 The variation of isostatic crust density over various regions

max/g·cm-3min/g·cm-3mean/g·cm-3std/g·cm-3rms/g·cm-3ΩA0.1300.0020.0280.0180.033ΩB0.3140.1250.2360.0260.237

區(qū)域ΩB內(nèi)基于不同方法計算的橫向密度擾動影響的結(jié)果如圖5、圖6和表 4所示?？梢钥闯觯囁銋^(qū)域地形起伏較大，真實的地殼密度與平均地殼密度相差較大，橫向密度擾動對大地水準面的影響較大?；贖elmert法計算的均衡密度擾動對其影響的最大值可達9.4 cm，標(biāo)準差達到2.7 cm(圖5)。若真實地殼密度與平均地殼密度相差更大，會引入更大的誤差。KTH法的計算結(jié)果與地形起伏的相關(guān)程度更為明顯，基于均衡密度擾動計算的影響的最大值達到dm級，標(biāo)準差為5.1 cm(圖6)，其結(jié)果對大地水準面有較大影響。Helmert法與KTH法在該區(qū)域的解算結(jié)果有較大差異(表 4)，其主要原因是Helmert法計算密度擾動的直接影響和間接影響時(見式(5)、式(6))，由于積分區(qū)域的限制而忽略了外區(qū)地形質(zhì)量的影響(即地形效應(yīng)的中長波影響)，使得基于該方法計算的結(jié)果產(chǎn)生偏差，地形起伏越劇烈，可能產(chǎn)生的偏差越大。這一結(jié)論與文獻[1]的研究結(jié)果一致。相比而言，KTH法基于全球高程球諧展開式求解的理論能夠較好地顧及地形影響的中長波效應(yīng)，在實際計算中能更為精確地逼近相應(yīng)的地形效應(yīng)。由于本文研究過程中缺乏實測的重力和GPS水準數(shù)據(jù)，現(xiàn)階段難以定量給出基于經(jīng)典Hermert法計算地形效應(yīng)引入的偏差對于大地水準面的影響，未來基于某山區(qū)大地水準面建模的實例分析有望進一步討論兩種方法的差異及建模的優(yōu)劣性?？傮w而言，在地形起伏較大的山區(qū)，由于橫向密度擾動引入的地形效應(yīng)對高精度的局部重力場建模的影響較大，實際計算中可能需要利用多種計算方法(包括KTH、RTM及Molodensky等方法)基于實測數(shù)據(jù)分別進行試算，通過計算的變密度大地水準面與實測的GPS水準數(shù)據(jù)進行比較分析，得到適合該區(qū)域的大地水準面建模方法。

圖3 利用Helmert法計算的不同橫向密度擾動對大地水準面的影響(ΩA)Fig.3 The effect on geoid modeling by using Helmert method based on various crust density variation(ΩA)

圖4 利用KTH法計算的不同橫向密度擾動對大地水準面的影響(ΩA)Fig.4 The effect on geoid modeling by using KTH method based on various crust density variation(ΩA)

方法密度擾動max/mmin/mmean/mstd/mrms/mHelmert法均衡密度擾動0.0086-0.0002 0.00050.00110.0012地殼密度偏離正常值的5%0.0216 0.0062 0.00140.00150.0021地殼密度偏離正常值的10%0.0432 0.0123 0.00290.00300.0042地殼密度偏離正常值的15%0.0649 0.0185 0.00430.00440.0062KTH法均衡密度擾動0.0000-0.0235-0.00060.00120.0014地殼密度偏離正常值的5%0.0000-0.0240-0.00150.00190.0024地殼密度偏離正常值的10%0.0000-0.0481-0.00290.00390.0049地殼密度偏離正常值的15%0.0000-0.0721-0.00440.00580.0073

圖5 利用Helmert法計算的不同橫向密度擾動對大地水準面的影響(ΩB)Fig.5 The effect on geoid modeling by using Helmert method based on various crust density variation(ΩB)

圖6 利用KTH法計算的不同橫向密度擾動對大地水準面的影響(ΩB)Fig.6 The effect on geoid modeling by using KTH method based on various crust density variation(ΩB)

方法密度擾動max/mmin/mmean/mstd/mrms/mHelmert法均衡密度擾動 0.0943-0.0694 0.00670.02780.0286地殼密度偏離正常值的5% 0.0496-0.0312 0.00590.01430.0154地殼密度偏離正常值的10% 0.0992-0.0624 0.01170.02850.0308地殼密度偏離正常值的15% 0.1488-0.0936 0.01760.04280.0462KTH法均衡密度擾動-0.0207-0.3837-0.15840.05120.1665地殼密度偏離正常值的5%-0.0221-0.1629-0.08740.02000.0897地殼密度偏離正常值的10%-0.0442-0.3258-0.17480.04010.1794地殼密度偏離正常值的15%-0.0663-0.4887-0.26230.06010.2691

3 結(jié) 語

本文利用Helmert和KTH法模擬試算了不同地形起伏區(qū)域橫向密度擾動對大地水準面的影響。結(jié)果表明，在地形起伏較小、地勢較低的平原地區(qū)或丘陵地帶，橫向密度擾動的影響一般不會超過cm級，在精度允許的范圍內(nèi)可以忽略；在地形起伏較大、地勢較高的山區(qū)，即使橫向密度擾動偏離平均地殼密度的5%，對大地水準面的影響也將達到cm級甚至dm級，對于cm級大地水準面的精化而言，需要考慮其影響。此外，Helmert與KTH法解算結(jié)果在地形起伏劇烈的山區(qū)差異較大，是因為Helmert法計算地形效應(yīng)時忽略了外區(qū)地形質(zhì)量的影響，其解算結(jié)果可能存在偏差，地形起伏越劇烈，可能產(chǎn)生的偏差越大。因此，在地形起伏較大的區(qū)域，基于更為嚴密的KTH法建模的精度更高。由于不同方法對于地形質(zhì)量的處理方式不同，在地形起伏劇烈的區(qū)域建模時可能需要利用多種計算方法基于實測數(shù)據(jù)分別進行試算，通過計算的變密度大地水準面與實測的GPS水準數(shù)據(jù)進行比較分析，得到適合該區(qū)域的大地水準面建模方法。

[1] 羅志才, 陳永奇, 寧津生. 地形對確定高精度局部大地水準面的影響[J]. 武漢大學(xué)學(xué)報：信息科學(xué)版, 2003, 28(3)：340-344(Luo Zhicai, Chen Yongqi, Ning Jinsheng. Effect of Terrain on the Determination of High Precise Local Gravimetric Geoid[J]. Geomatics and Information Science of Wuhan University, 2003, 28(3)：340-344)

[2] Martinec Z, Vaní?ek P, Mainville A,et al. The Effect of Lake Water on Geoidal Height[J].Manuscripta Geodaetica,1995,20:193-203

[3] Huang J, Vaní?ek P, Pagiatakis S,et al. Effect of Topographical Density on Geoid in the Canadian Rocky Mountains[J].Journal of Geodesy,2001,74:805-815

[4] Sj?berg L E. The Effect on the Geoid of Lateral Topographic Density Variations[J]. Journal of Geodesy, 2004, 78:34-39[5] Kiamehr R. The Impact of Lateral Density Variation Model in the Determination of Precise Gravimetric Geoid in Mountainous Area: A Case Study of Iran[J]. Geophysical Journal International,2006,167:521-527

[6] Omang O C, Forsberg R. How to Handle Topography in Practical Geoid Determination: Three Examples[J]. Journal of Geodesy, 2000, 74:458-466

[7] Ramin K. Precise Gravimetric Geoid Model for Iran Based on GRACE and SRTM Data and the Least-Squares Modification of Stokes’ Formula with Some Geodynamic Interpretations[D].Stockholm:Royal Institute of Technology, 2006[8] Sj?berg L E. A Computational Scheme to Model Geoid by the Modified Stokes formual without Gravity Reduction[J].Journal of Geodesy,2003,74:255-268

[9] Sj?berg L E. A General Model of Modifying Stokes’ Formula and Its Least Squares Solution[J].Journal of Geodesy,2003,77:459-464

[10]Sj?berg L E. A Solution to the Downward Continuation Effect on the Geoid Determined by Stokes’ Formula[J].Journal of Geodesy,2001,77:94-100

[11]Sj?berg L E. The Effect of Downward Continuation of Gravity Anomaly to the Sea-Level in Stokes’ Formula[J].Journal of Geodesy,2001,74:796-804

[12]Kuhn M. Geoid Determination with Density Hypotheses from Isostatic Models and Geological Information[J].Journal of Geodesy,2003,77:50-65

The Effect on Geoid Modeling Caused by Lateral Topographical Density Variation

WUYihao1LUOZhicai1,2

1 School of Geodesy and Geomatics, Wuhan University, 129 Luoyu Road, Wuhan 430079, China 2 Key Laboratory of Geospace Environment and Geodesy, Ministry of Education, Wuhan University,129 Luoyu Road, Wuhan 430079, China

Based on the Helmert condensation and the KTH methods, this paper studies the effect on regional geoid modeling caused by the lateral density perturbation. The simulated research shows that the effect on geoid modelling caused by lateral density variation generally does not exceed one centimeter in plains and less undulating areas; these variations can be ignored within the precision limitation. However, for mountainous areas, this effect reaches to the centimeter or even decimeter level, which should be considered carefully in centimeter-accuracy geoid modelling. These effects show significant variation in mountainous areas; the errors are supposed to exist in the results derived from the Helmert condensation method due to neglecting the outer-zone topographical effects. In total, for regional geoid modeling in mountainous areas, various geoids based on variable crust density should be computed by different approaches, and GPS/leveling data can be used to choose the optimal methodology for geoid modeling in these regions.

lateral topographical density variation; geoid; Helmert condensation approach; KTH approach

National Natural Science Foundation of China, No. 41374023.

LUO Zhicai, professor, PhD supervisor, majors in satellite gravity and physical geodesy, E-mail: zhcluo@sgg.whu.edu.cn.

2015-10-14

項目來源：國家自然科學(xué)基金(41374023)。

吳懌昊，博士生，主要從事物理大地測量學(xué)研究,E-mail: whuwyh@126.com。

羅志才，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事衛(wèi)星重力和物理大地測量學(xué)研究，E-mail: zhcluo@sgg.whu.edu.cn。

10.14075/j.jgg.2016.11.013

1671-5942(2016)010-1003-05

P223

A

About the first author:WU Yihao, PhD candidate, majors in physical geodesy, E-mail: whuwyh@126.com.