李 鍇，許世蒙，劉福勝，錢 潛，滕尚儒

(1.裝甲兵工程學院 技術保障工程系，北京 100072； 2.裝甲兵工程學院 基礎部，北京 100072)

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基于內(nèi)罰函數(shù)的裝備系統(tǒng)可靠性分配研究

李 鍇1，許世蒙2，劉福勝1，錢 潛1，滕尚儒1

(1.裝甲兵工程學院 技術保障工程系，北京 100072； 2.裝甲兵工程學院 基礎部，北京 100072)

裝備系統(tǒng)可靠性分配的本質(zhì)之一是有約束條件的非線性規(guī)劃問題，從內(nèi)罰函數(shù)角度出發(fā)，通過構(gòu)造懲罰函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為無約束的優(yōu)化問題；構(gòu)造出基于裝備系統(tǒng)復雜度和平均故障間隔時間的費用函數(shù)，將系統(tǒng)可靠度與費用關聯(lián)起來，給出了在費用約束條件下的可靠性分配數(shù)學模型；在實例計算分析中，利用Matlab中的ode15s功能函數(shù)對分配模型進行計算，得到了不同懲罰因子下可靠性分配的最優(yōu)解，計算結(jié)果具有較好的收斂性和穩(wěn)定性，說明本分配方法具有良好的可行性。

可靠性分配；內(nèi)罰函數(shù)；最優(yōu)化 ；非線性規(guī)劃

0 引言

為了落實裝備系統(tǒng)的可靠性指標，在裝備系統(tǒng)方案的論證階段，就必須要求設計者逐級將產(chǎn)品的可靠性指標分解到各個不同層次的產(chǎn)品中，要求各級設計者明確其所研制產(chǎn)品的可靠性指標要求。在可靠性設計中，可靠性分配是指由上到下，從整體到局部，采用逐步分解的方式，將產(chǎn)品總可靠性指標分配到各系統(tǒng)、分系統(tǒng)及設備的過程[1-2]。

董聰[3]對系統(tǒng)可靠性分配的主要方法進行相關研究，主要包括等分配法、再分配法和比例分配法，并在此基礎上提出了綜合評分分配法，從本質(zhì)上來說，此類分配方法均為無約束系統(tǒng)可靠性分配方法。宋保維等[4]從模糊數(shù)學理論角度出發(fā)，利用權重系數(shù)集合和確定隸屬函數(shù)矩陣，將影響可靠性分配的多種因素綜合考慮，給出了串聯(lián)系統(tǒng)下可靠性的模糊分配方法，并進行算例驗證，該方法簡單、實用，具有一定的工程應用價值。張新貴等[5]通過設計自適應粒子群算法，在迭代過程中調(diào)整慣性權重系數(shù)ω，對航天測控系統(tǒng)進行任務可靠性分配，算例仿真的結(jié)果說明該方法具有分配結(jié)果優(yōu)、收斂速度快等優(yōu)點。

通常情況下，在進行系統(tǒng)可靠性分配的過程中，經(jīng)常受到各種條件(如產(chǎn)品的費用、體積、研制周期等)的約束，要求系統(tǒng)在滿足約束條件的情況下，使系統(tǒng)的可靠性指標盡可能高的分配。系統(tǒng)可靠性分配的方法隨約束條件的側(cè)重點不同而異，但是最終目的都是希望以最小的代價來滿足系統(tǒng)可靠性指標。從本質(zhì)上來講，可靠性分配是一個綜合權衡的反復迭代過程，在這種情況下，需要設計者考慮產(chǎn)品可靠性分配優(yōu)化的問題。在滿足應有約束條件的情況下，通過實現(xiàn)可靠性分配的最優(yōu)化，達到甚至可能超過產(chǎn)品的可靠性指標。在可靠性分配計算過程中，可靠性分配優(yōu)化問題可視為含有約束條件的非線性規(guī)劃問題，由于約束條件通常具備多樣性和非線性，故往往采用大多數(shù)傳統(tǒng)經(jīng)典的優(yōu)化算法來求解該問題的最優(yōu)解相對較困難[6]。

可靠性分配目前主要的方法主要有等分配方法、故障樹分析方法、代數(shù)分配方法、動態(tài)規(guī)劃法和直接搜尋法等等。隨著可靠性數(shù)學模型越來越復雜，人們逐漸將多種人工智能方法運用到可靠性分配中，如：神經(jīng)網(wǎng)絡、遺傳算法、模擬退火算法、人工免疫算法等，并且取得了部分成果，但已有的這些方法具有收斂速度較慢的缺點[7]。為了簡化計算并實現(xiàn)優(yōu)化目標，可以采用以下方法：1)將約束問題簡化為無約束問題；2)將非線性規(guī)劃問題簡化為線性規(guī)劃問題。采用罰函數(shù)(penalty function)方法，可以將有約束條件的非線性規(guī)劃問題，轉(zhuǎn)化為無約束的極值問題進行求解。該方法的主要求解思路為：將規(guī)劃問題中的約束方程作為適當?shù)膽土P函數(shù)，利用懲罰函數(shù)構(gòu)造出含有參數(shù)的增廣目標函數(shù)，此時問題轉(zhuǎn)化為無約束的非線性規(guī)劃問題，求解得到增廣目標函數(shù)的極值即為可靠性分配的最優(yōu)解。罰函數(shù)方法主要包含兩種形式，外懲罰函數(shù)方法和內(nèi)懲罰函數(shù)方法。外懲罰函數(shù)方法是從非可行域中的非可行解出發(fā)，然后到達可行域中可行解的過程，內(nèi)懲罰函數(shù)方法是從可行解出發(fā)，在可行域中不斷尋找最優(yōu)解的過程。本文僅考慮費用這一項約束條件，構(gòu)造出可靠度與費用的函數(shù)關系，該函數(shù)將系統(tǒng)復雜度和平均故障間隔時間(mean time between failures，MTBF)納入考慮范圍中，然后給出可靠性分配的數(shù)學模型，并利用內(nèi)罰函數(shù)方法求解該非線性規(guī)劃問題，得到的可靠性分配結(jié)果穩(wěn)定收斂，為系統(tǒng)可靠性分配提供一種簡單可行的方法。

1 可靠性分配數(shù)學模型

1.1 問題描述

可靠性分配是一個從上到下、由整體到局部不斷進行分解的過程，主要是把裝備系統(tǒng)的可靠性指標分配給系統(tǒng)、分系統(tǒng)直至元器件?？煽啃苑峙涞哪康氖亲屟b備的各級設計人員明確裝備的可靠性設計要求，通過可靠性設計與分析工作，將裝備的可靠性要求設計到裝備中去。研究裝備系統(tǒng)可靠性分配問題是裝備綜合保障工程中重要的方面之一，使裝備的研制與裝備保障同步進行，摒棄過去采用的序貫式的研制方法，要求裝備的設計與保障系統(tǒng)設計同步進行、協(xié)調(diào)發(fā)展。采用這種方式，可以較大程度地提高裝備的完好性和可用性，并減少相關保障費用，盡快形成戰(zhàn)斗力和保障力。可靠性分配結(jié)果是裝備進行可靠性實驗驗證和裝備系統(tǒng)評估的重要依據(jù)之一，對于裝備設計研制具有重要意義。

在研究某裝甲裝備的工作中，需要考慮武器裝備可靠性與費用之間的關系。該裝甲裝備主要結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示，裝備主系統(tǒng)主要包含5個分系統(tǒng)，分別為軍械分系統(tǒng)、底盤分系統(tǒng)、電氣分系統(tǒng)、三防分系統(tǒng)和指揮控制分系統(tǒng)，同時，不同的分系統(tǒng)又由不同的裝置來構(gòu)成，相對而言，底盤分系統(tǒng)的構(gòu)造相對復雜，其次是軍械系統(tǒng)和指揮控制系統(tǒng)。為簡化計算，假設主裝備為串聯(lián)系統(tǒng)，各分系統(tǒng)相對獨立，互不影響。g(x)代表裝備分系統(tǒng)的可靠性與費用的函數(shù)關系，稱為費用函數(shù)，x=(x1,x2…xj)為分系統(tǒng)的可靠度矢量，j為分系統(tǒng)的數(shù)目。在裝備的實際設計研制過程當中，建立統(tǒng)一的費用函數(shù)g(x)要兼顧很多復雜因素與影響。事實上，統(tǒng)一的費用函數(shù)g(xj)是很難建立的，因為各分系統(tǒng)在結(jié)構(gòu)、材料和加工工藝方面都各不相同，可靠性與費用不是嚴格的一一對應關系，并且關聯(lián)數(shù)據(jù)的獲取及處理均是復雜的理論與實際問題。

圖1 某裝甲裝備系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖

隨著作戰(zhàn)需求的牽引和科學技術進步，武器裝備得到飛速發(fā)展，一大批技術先進、成系列、結(jié)構(gòu)復雜的武器裝備被研制出來，其復雜程度和作戰(zhàn)使用要求不斷提高。為滿足裝備系統(tǒng)戰(zhàn)備完好性要求，綜合考慮裝備的保障問題，在進行可靠性設計和分析工作時，需要設計者針對裝備系統(tǒng)的復雜程度進行考慮。從裝備系統(tǒng)設計的角度來講，裝備系統(tǒng)的可靠性可以分為基本可靠性和任務可靠性?；究煽啃允侵秆b備系統(tǒng)在規(guī)定的條件下，無故障工作的時間或者概率[2]。系統(tǒng)平均故障間隔時間(MTBF)為用于系統(tǒng)設計和質(zhì)量監(jiān)控的常用基本可靠性合同要求，屬于定量可靠性要求。對于可修復產(chǎn)品而言，MTBF的度量方式為：在規(guī)定的時間內(nèi)和規(guī)定的條件下，產(chǎn)品的壽命單位總數(shù)與故障總次數(shù)之比[1-3]。將MTBF納入到考慮范圍當中，可以較好地衡量裝備系統(tǒng)在對保障系統(tǒng)無需求情況下的工作能力，對于裝備系統(tǒng)的設計研制具有指導意義。

根據(jù)同類相似裝備的歷史費用數(shù)據(jù)，采用類似比對的方式，可知費用函數(shù)g(xj)應當滿足以下條件：

1)在主裝備中，對于低可靠度(xj較小)的分系統(tǒng)而言，費用函數(shù)g(xj)較低；對于高可靠度(xj較大)的分系統(tǒng)而言，費用函數(shù)g(xj)較高，這是由于可靠度較高的分系統(tǒng)，其研發(fā)費用相對較高，故障率較低，在裝備后續(xù)使用階段，需要進一步支付的維修保障費用相對較低，因此其造價成本相對較高，即購置費較高。

2)g(xj)和g′(xj)均為單調(diào)遞增函數(shù)，其中0≤xj≤1,j=1,2…m，這是因為隨著裝備分系統(tǒng)的可靠性要求不斷提高，費用也不斷增加；同時隨著分系統(tǒng)的可靠度增加，尤其是可靠度增加到一定水平時，費用的增加速度越來越快，即g′(xj)也為單調(diào)遞增函數(shù)。

根據(jù)以上分析經(jīng)驗，費用函數(shù)g(xj)可做如下近似處理[1,7-10]：

(1)

式中,aj和bj為經(jīng)驗參數(shù)，aj,bj>0，其中aj為g(xj)的變化速率參數(shù)，當可靠度xj較小時，費用函數(shù)g(xj)較小，同時g(xj)增加十分緩慢；隨著可靠度xj增加，費用函數(shù)g(xj)逐漸增大，并且增加速度越來越快，即g′(x)為單調(diào)遞增函數(shù)；bj為可靠度xj無限趨近于0時的費用，表示在可靠性設計中設計方案的費用；T為系統(tǒng)平均故障間隔時間。依據(jù)本文分析后給出的費用函數(shù)g(xj)，可以將分系統(tǒng)的復雜度和MTBF納入考慮范圍當中，與實際情況更加符合，對裝備的可靠性分配以及分配結(jié)果的合理性具有一定的意義。

圖2 費用函數(shù)g(x)的變化曲線

圖2給出了費用函數(shù)g(xj)變化曲線，其中b=0。從圖中可以看出：當經(jīng)驗參數(shù)a取某固定值時，參數(shù)T取值越大，費用函數(shù)g(x)越大，這是由于對于可修復的分系統(tǒng)而言，MTBF越大，在規(guī)定的時間和規(guī)定的條件下，該分系統(tǒng)的使用可用度相對較高，故障總次數(shù)相對較少，因此費用函數(shù)g(xj)相對較大；當參數(shù)T取某固定值時，經(jīng)驗參數(shù)a取值越大，則費用函數(shù)g(xj)越大，并且g(xj)的增速會越快，即g′(xj)越大。一般情況下，對于復雜程度相對較高的分系統(tǒng)，可以令其經(jīng)驗參數(shù)a取較大值，這是由于對于構(gòu)造相對復雜的分系統(tǒng)而言，其組成裝置相對較多，因而費用相對較高。從圖2中還可以看出，在x=0.9附近左右，g(xj)增速非?？?，這說明當可靠度增加到較高程度時，若要繼續(xù)提高可靠度，費用會迅速增加。圖2中的所有曲線說明，費用函數(shù)g(xj)隨著分系統(tǒng)可靠度x具有相同的增長趨勢，主要體現(xiàn)在g(xj)和g′(x)均為單調(diào)遞增函數(shù)。為簡化計算，本文在后面的討論中，參數(shù)T取為固定常數(shù)T=500(小時)。

1.2 分配模型

在實際裝備系統(tǒng)設計過程中，通常面臨許多約束條件，例如在費用、體積、功率、研制周期等方面，均需要對裝備系統(tǒng)提出相關約束條件。實質(zhì)上，該問題可以歸結(jié)為多目標多約束的優(yōu)化問題，在多項約束條件下，我們要求設計的裝備系統(tǒng)的可靠度最高；或者給出裝備可靠性指標要求，在可靠性指標為約束條件的情況下，要求裝備的其他參數(shù)達到最優(yōu)化。在約束條件下進行可靠性分配時，為進行定量計算，將系統(tǒng)的可靠性指標和約束條件進行量化和相互聯(lián)系，然后再進行可靠性分配及優(yōu)化。通常情況下，裝備系統(tǒng)可靠性分配的數(shù)學模型為[8-11]：

(2)

式中，Rs(x)為裝備系統(tǒng)的可靠度；目標函數(shù)表示系統(tǒng)的不可靠度f(x)取最小值，約束條件中gi(x)為第i種資源的消耗總量，Ci為第i種資源的約束指標，i=1,2…n表示為多項約束條件。

對于圖1所示的裝備系統(tǒng)，根據(jù)假設各分系統(tǒng)相對獨立，不會相互影響，裝備系統(tǒng)為串聯(lián)系統(tǒng)，在僅考慮費用的約束情況下，采用式(1)所示的費用函數(shù)g(xj)，裝備系統(tǒng)可靠性分配的目標函數(shù)和約束條件為：

(3)

式中，xj為各分系統(tǒng)的可靠度，其中j=1,2…5。

實際上，依據(jù)本文的分析方法，也可以處理結(jié)構(gòu)稍復雜一些的混聯(lián)系統(tǒng)和具有一定相關性的復雜系統(tǒng)，只是在模型和計算實現(xiàn)方面要復雜一些。

式(3)為基于費用函數(shù)g(xj)的可靠性分配優(yōu)化模型，該分配模型可歸結(jié)為有約束的非線性規(guī)劃問題，但采用通常的優(yōu)化算法來求解x=(x1,x2…xj)相對困難。為簡化計算并實現(xiàn)可靠性分配優(yōu)化的目標，我們采用內(nèi)罰函數(shù)的方法,可以將該含約束的非線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)換為無約束的極值問題，然后再進行求解，得到裝備系統(tǒng)可靠性分配的結(jié)果x。

1.3 內(nèi)罰函數(shù)[12-15]

針對式(3)所示的非線性規(guī)劃問題，利用內(nèi)罰函數(shù)方法求解可靠性分配問題時，將約束條件作為懲罰函數(shù)，將原目標函數(shù)與懲罰函數(shù)組合，構(gòu)造出增廣目標函數(shù)E(x,k)，稱為能量函數(shù)。

定義如下函數(shù)：

(4)

(5)

式中，k為懲罰因子，k>0。

(6)

由于在式(6)的懲罰項中包含不可微函數(shù)max[0,φi(x)]，可采用近似處理辦法，令：

(7)

(8)

式中，μj為懲罰速率，μj>0。

1.4 分配求解

對于圖1所示的裝備系統(tǒng)，僅考慮費用的約束條件下，采用式(1)所示的費用函數(shù)g(xj)，定義如下函數(shù)：

(9)

式中,C為裝備系統(tǒng)的總費用。

(10)

(11)

式(11)為僅考慮費用約束的情況下，基于費用函數(shù)g(xj)得到的裝備系統(tǒng)可靠性最優(yōu)分配的數(shù)學模型，該模型為常微分方程組，求解該常微分方程組，便可以得到主裝備的可靠性分配結(jié)果x。

2 實例分析

2.1 實例參數(shù)

在式(11)的求解過程中，按照之前的分析，令T=500 (小時)。由于懲罰速率μ的取值僅影響分配過程的計算速率，并不影響最終的裝備系統(tǒng)可靠性分配結(jié)果，為簡化計算，令μ=(1,1,1,1,1)。對于懲罰因子k而言，若k過小，則能量函數(shù)E(x,k)的極小值點會遠離穩(wěn)定狀態(tài)，分配結(jié)果的準確性較低，達不到可靠性分配最優(yōu)的目標；若k過大，則會增加求解E(x,k)極小值的計算量，浪費計算時間，通常我們選取一組遞增的序列{kω}來進行計算，然后會得到{xω}的結(jié)果。由于內(nèi)罰函數(shù)方法具有穩(wěn)定收斂的特點，因此{xω}最終的收斂結(jié)果x*就是可靠性分配的最優(yōu)結(jié)果。

費用函數(shù)g(xj)中的經(jīng)驗參數(shù)aj和bj的取值如表1所示，對于復雜度較高的分系統(tǒng)，參數(shù)aj和bj的取值相對較大。

系統(tǒng)產(chǎn)品的總費用C=2 000(萬元)，由于采用內(nèi)罰函數(shù)的計算方法，該方法的特點是在可行域中不斷搜尋，最終找到問題的最優(yōu)解，因此我們首先需要給定一組可行域中的初值x0=(0.1,0.2,0.3,0.25,0.35)，由初值x0出發(fā)，然后分別計算懲罰因子序列{kω}=(0.001,0.005,0.01,0.05,0.1,1,10,1 000)下的可靠性分配最優(yōu)結(jié)果。

表1 經(jīng)驗參數(shù)aj和bj的取值

2.2 結(jié)果分析

在實際計算求解過程中，罰函數(shù)方法在Matlab中可以直接采用fminunc功能函數(shù)進行求解，但該方法存在不足之處，不能得到全局最優(yōu)解，只能得到局部最優(yōu)解，并且每次運行的結(jié)果均不相同[6,18]。由于所涉及的常微分方程組式(11)的初值問題為“剛性”問題，因此我們采用Matlab中的求解剛性常微分方程的ode15s功能函數(shù)進行求解，該算法計算結(jié)果準確度高，并且能得到全局最優(yōu)解[18-21]。

表2為利用ode15s功能函數(shù)計算懲罰因子序列{kω}下的可靠性分配結(jié)果。

表2 懲罰因子序列{kω}下的可靠性分配結(jié)果

從表2的可靠性分配結(jié)果可以看出：

2)在k=0.01時已經(jīng)達到最優(yōu)分配結(jié)果，隨著懲罰因子k繼續(xù)增加，即使在k=1 000時，分配結(jié)果仍然穩(wěn)定一致，沒有出現(xiàn)波動，說明該分配方法穩(wěn)定性較高。

圖3 裝備系統(tǒng)的可靠性分配結(jié)果

圖3為當k=0.1時的裝備系統(tǒng)可靠性分配結(jié)果。

從圖3可以看出：1)隨著計算步長t的增加，各分系統(tǒng)xi及裝備系統(tǒng)的可靠度Rs曲線呈現(xiàn)迅速增加的趨勢，說明計算速度很快；2)對于懲罰因子k=0.1，可靠度曲線在t=25附近達到最大值，隨著t繼續(xù)增長，各曲線的最大值保持不變，未出現(xiàn)曲線震蕩現(xiàn)象，較為充分地說明了該可靠性分配結(jié)果是穩(wěn)定收斂的。

3 結(jié)論

1)在僅考慮費用約束條件情況下，采用內(nèi)罰函數(shù)方法，構(gòu)造出含有參數(shù)的能量函數(shù)E(x,k)，利用Matlab中的ode15s功能函數(shù)求解可靠性分配的常微分方程組，實例驗證說明該方法計算速度較快，分配結(jié)果穩(wěn)定收斂。

2)在產(chǎn)品設計過程中，對于復雜度相對較高的分系統(tǒng)和設備，在進行可靠性分配時，通常分配較低的可靠性指標。這是因為分系統(tǒng)越復雜，其部件越多，要達到高可靠性指標相對困難并且費用較高，因此分配的可靠性指標相對較低一些，本文的實例驗證結(jié)果也充分證明了這一點。

3)在構(gòu)造費用函數(shù)g(xj)的過程中，將系統(tǒng)平均故障間隔時間(MTBF)納入考慮范圍當中，同時結(jié)合各分系統(tǒng)的復雜程度，得到了串聯(lián)系統(tǒng)下考慮費用約束的可靠性分配數(shù)學模型。

可靠性分配可以作為一個演繹分解的過程，在實際的產(chǎn)品可靠性設計中，面臨許多約束條件，如產(chǎn)品的重量、體積及功率等，依照本文的分析方法，采用內(nèi)罰函數(shù)方法，可以綜合多種約束條件同時進行可靠性分配工作；其中費用函數(shù)g(xj)中可以從多個角度同時進行構(gòu)造，將故障率等可靠性參數(shù)納入其中，同時考慮裝備系統(tǒng)的重要度、裝備工作環(huán)境的惡劣程度和采用的技術成熟程度，從而獲得更準確的可靠性分配結(jié)果。從本質(zhì)上來講，可靠性分配可以看成一個綜合權衡的優(yōu)化設計的過程，對結(jié)構(gòu)復雜的系統(tǒng)進行分配時，通?？梢允紫葘⑾到y(tǒng)按照結(jié)構(gòu)簡單的串聯(lián)模型進行分析，當可靠性指標未能滿足設計要求時，我們可以采用冗余的辦法，對冗余部分再進行可靠性分配，最終達到系統(tǒng)的可靠性指標要求。

[1] 茆詩松，湯銀才，王玲玲.可靠性統(tǒng)計[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2] 曾生奎.可靠性設計與分析[M].北京：國防工業(yè)出版社，2013.

[3] 董 聰. 系統(tǒng)可靠性分配方法[J].系統(tǒng)工程與電子技術，1996,18(7):36-40.

[4] 宋保維，徐德民. 系統(tǒng)可靠性分配的模糊數(shù)學方法[J]. 西北工業(yè)大學學報,1998,16(2):271-275.

[5] 張新貴，武小悅. 基于自適應粒子群算法的航天測控系統(tǒng)任務可靠性分配[J].航空動力學報，2012,27(9):2147-2154.

[6] 鄧乃揚,田英杰.數(shù)據(jù)挖掘中的新方法：支持向量機[M].北京：科學出版社，2004.

[7] Kuo W, Wan R. Recent advances in optimal reliability allocation [J]. IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics - Part A: Systems and Humans, 2007,37(2):143-156.

[8] 曹晉華，程 侃.可靠性數(shù)學引論[M].北京：高等教育出版社，2012.

[9] Kuo W, Prasad V R. An annotated overview of systems reliability optimization [J].IEEE Transactions on Reliability, 2000, 49(2):176-187.

[10] Nakagawa Y, Nakashima K. A heuristic method for determining reliability allocation[J].IEEE Transactions on Reliability, 1977, 26(3):31-38.

[11] Charles A O, Chu C B, Adiallah K H et al. Reliability Allocation Through Cost Minimization [J]. IEEE Transactions on Reliability, 2003, 52(1):106-111.

[12] 李海濱，段志信. 約束非線性規(guī)劃問題的L1精確罰函數(shù)神經(jīng)網(wǎng)絡方法[J]. 電子學報,2009,37(1):229-234.

[13] Effati S, Baymani M. A new nonlinear neural network for solving convex nonlinear programming problems[J]. Applied Mathematics and Computation, 2005,168(2):1370-1379.

[14] Effati S, Jafarzadeh M. A new nonlinear neural network for solving a class of constrained parametric optimization problems[J]. Applied Mathematics and Computation, 2007,186(1):814-819.

[15] 連淑君. 近似逼近l1精確罰函數(shù)的罰函數(shù)[J]. 應用數(shù)學,2010,23(2):363-369.

[16] 陳海波,呂咸青,喬彥松. 梯度下降法在沉淀積物粒度分布擬合中的應用[J]. 數(shù)學的實踐與認識,2011,41(13)：78-87.

[17] 高雪鵬,叢 爽. BP網(wǎng)絡改進算法的性能對比研究[J]. 控制與決策,2001,16(2):167-171.

[18] 卓金武,李必文,魏永生,等. MATLAB在數(shù)學建模中的應用[M].北京：北京航天航空大學出版社，2011.

[19] Temesgen G, Lacy S. Modeling the influence of ethanol on the adsorption and desorption of selected BTEX compounds on bentonite and kaolin[J]. Journal of Environmental Sciences,2011,23(11):1865-1872.

[20] Holly M. MATLAB for Engineers Second Edition [M]. Pearson Education, 2012:348-383.

[21] 喬田田,李維國. 計算周期解時出現(xiàn)剛性問題的一種處理方法[J].計算物理,2007,24(3):367-372.

Application of Internal Penalty Function Method to Equipment System Reliability Allocation

Li Kai1, Xu Shimeng2, Liu Fusheng1, Qian Qian1, Teng Shangru1

(1.Department of Technical Engineering, Academy of Armored Force Engineering, Beijing 100072, China；2.Department of Fundamental Courses, Academy of Armored Force Engineering, Beijing 100072, China)

The problem of equipment system reliability allocation is nonlinear constrained optimization. Through the penalty function method, the problem of the cost restriction is transformed to non-restraint optimization problem. The fitting function is presented by the complex index and MTBF (mean time between failures) of the equipment, the mathematical model of system reliability allocation is established based on the fitting function between the reliability and the cost of the unit. The numerical solution was given with the ode15s function which fits the stiff function by the MATLAB software, the results show right convergence and stability when the penal factor was changing. This paper indicates that the internal penalty function method to system reliability allocation is feasibility.

reliability allocation; internal penalty function; optimization; nonlinear constrained optimization

2015-10-13；

2015-11-11。

李 鍇(1990-)，男，山東淄博人，博士研究生，主要從事裝備可靠性方向的研究。

1671-4598(2016)03-0118-04

10.16526/j.cnki.11-4762/tp.2016.03.032

TP3

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