劉柏年皇群博張衛(wèi)民曹小群趙 軍趙延來

（1 國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)海洋科學(xué)與工程研究院，長沙 410073；2 國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，長沙 410073）

集合四維變分資料同化研究進(jìn)展

劉柏年1，2皇群博1，2張衛(wèi)民1曹小群1趙 軍1趙延來1

（1 國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)海洋科學(xué)與工程研究院，長沙 410073；2 國防科學(xué)技術(shù)大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，長沙 410073）

背景誤差協(xié)方差矩陣的精確定義是構(gòu)建高水平資料同化系統(tǒng)的先決條件。傳統(tǒng)四維變分資料同化（4D-Var）方法將觀測資料處理轉(zhuǎn)化成以動(dòng)力模式為約束的泛函極小化問題，通過調(diào)整控制變量，使指定時(shí)間窗口內(nèi)由控制變量得到的模式預(yù)報(bào)結(jié)果與實(shí)際觀測資料之間的偏差達(dá)到最小。該方法在同化窗口內(nèi)可以利用模式的切線性和伴隨隱式地改變背景誤差協(xié)方差，能夠在某種程度上滿足快速發(fā)展的天氣過程。但是大部分業(yè)務(wù)中心的四維變分資料同化系統(tǒng)仍采用靜態(tài)化的背景誤差協(xié)方差矩陣模型來緩解背景誤差協(xié)方差矩陣的維度問題，即矩陣維數(shù)遠(yuǎn)大于可用信息量。隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)的迅猛發(fā)展，維度問題可以進(jìn)一步通過集合的方法緩解。集合四維變分資料同化就是基于這一目標(biāo)通過構(gòu)造多個(gè)能反映出背景誤差協(xié)方差分布特征的樣本集合來彌補(bǔ)可用信息量的不足。該方法目前已在ECMWF、Mete-France等業(yè)務(wù)中心實(shí)現(xiàn)業(yè)務(wù)化，為確定性四維變分資料同化系統(tǒng)提供流依賴背景誤差協(xié)方差估計(jì)。簡要介紹了集合四維變分資料同化方法的基本原理；其次以ECMWF為例，概述了四維變分資料同化系統(tǒng)的業(yè)務(wù)現(xiàn)狀，重點(diǎn)闡述了系統(tǒng)在開發(fā)過程中需要解決的擾動(dòng)、濾波、校正等一些關(guān)鍵技術(shù)；最后探討集合四維變分資料同化系統(tǒng)目前存在的問題和未來可能的研究方向。

背景誤差協(xié)方差矩陣，集合四維變分資料同化，擾動(dòng)，流依賴

0 引言

大氣作為一種典型的混沌系統(tǒng)，其發(fā)展和變化對(duì)初值非常敏感。Bjerknes等［1］曾把數(shù)值天氣預(yù)報(bào)歸結(jié)為一個(gè)典型的偏微分方程“初/邊值問題”，指出要得到一個(gè)準(zhǔn)確的天氣預(yù)報(bào)必須要滿足兩個(gè)條件：一是數(shù)值預(yù)報(bào)模式能足夠準(zhǔn)確地模擬天氣系統(tǒng)的演變過程，即對(duì)控制大氣運(yùn)動(dòng)的物理規(guī)律有較好地描述；二是模式初值能足夠精確地反映初始時(shí)刻的大氣狀態(tài)。所以好的初始場越來越被認(rèn)為是整個(gè)數(shù)值預(yù)報(bào)領(lǐng)域的一個(gè)重要方面，初始場的精確性直接影響著數(shù)值天氣預(yù)報(bào)的成敗。資料同化方法應(yīng)運(yùn)而生成為估計(jì)大氣狀態(tài)的主要工具，它定義為利用一切可用的信息估計(jì)出盡可能精確的大氣或海洋流體狀態(tài)的過程［2］，這里的一切可用信息除了各種儀器設(shè)備觀測到的氣象觀測數(shù)據(jù)以外，還包括模式對(duì)當(dāng)前大氣狀態(tài)的短時(shí)預(yù)報(bào)（背景場）以及各自的誤差信息［3］。1949年，Panofsky［4］第一次提出多項(xiàng)式插值的資料同化方法，即用一個(gè)低階的多項(xiàng)式擬合分析區(qū)域內(nèi)一小范圍觀測值，并嘗試引入動(dòng)力約束來協(xié)調(diào)風(fēng)場和質(zhì)量場，但由于區(qū)域多項(xiàng)式擬合不穩(wěn)定，導(dǎo)致了分析場在擬合區(qū)域之間存在不連續(xù)。隨后，資料同化方法經(jīng)歷了逐步訂正［5］、最優(yōu)插值［6-7］、三/四維變分［8-14］、卡爾曼濾波和集合卡爾曼濾波［15-16］等發(fā)展階段。與其他資料同化方法相比，四維變分資料同化具有以下幾個(gè)優(yōu)勢(shì)：1）在同化周期內(nèi)可以同化不同時(shí)刻、不同地區(qū)、不同性質(zhì)的各種氣象資料而不需要對(duì)時(shí)間做近似［17］，通過設(shè)計(jì)非線性觀測算子同化日益豐富的非常規(guī)資料［18-19］；2）將動(dòng)力約束和資料約束納入同一方程，由動(dòng)力模式同化觀測資料，反過來觀測資料又優(yōu)化動(dòng)力模式的要素場和某些參數(shù)，這樣在動(dòng)力模式和觀測資料之間建立起一種可信又可觀的聯(lián)系，不但同化效果好，而且同化的結(jié)果滿足動(dòng)力約束可直接輸入模式進(jìn)行預(yù)報(bào)［20］，可以在同化框架中比較自然地引入重力波控制和觀測資料質(zhì)量控制等技術(shù)；3）通過預(yù)報(bào)模式協(xié)方差矩陣、背景誤差協(xié)方差矩陣、觀測誤差協(xié)方差矩陣有效控制各種誤差，利用切線性和伴隨模式隱式演變同化窗口內(nèi)的預(yù)報(bào)誤差協(xié)方差，這對(duì)于快速發(fā)展天氣過程使用觀測資料十分重要。基于以上因素，目前國際上大部分先進(jìn)業(yè)務(wù)中心仍采用四維變分資料同化方法［21］。

背景誤差協(xié)方差矩陣的精確定義是構(gòu)建高水平資料同化系統(tǒng)的先決條件［22］。在四維變分資料同化框架中，背景誤差協(xié)方差矩陣［23-25］的精度很大程度上決定了分析場的準(zhǔn)確度，也就決定了數(shù)值預(yù)報(bào)的整體水平。一方面，背景誤差協(xié)方差決定了背景信息在分析場中所占的權(quán)重，ECMWF評(píng)估各種信息在分析場中所占的貢獻(xiàn)，同化系統(tǒng)得到的分析場信息大約只有15%來自同化窗口內(nèi)的觀測資料，其余85%是來自背景場［26］；另一方面，背景誤差協(xié)方差對(duì)信息傳播、信息光滑、平衡關(guān)系和流型結(jié)構(gòu)建立等具有十分重要的作用，它決定了觀測信息如何在模式空間上傳遞，并通過平衡關(guān)系將觀測信息從一個(gè)變量傳遞給其他變量［23-24］。由于背景誤差協(xié)方差矩陣對(duì)分析場的質(zhì)量和預(yù)報(bào)技巧起關(guān)鍵作用，世界上各數(shù)值天氣預(yù)報(bào)中心在建立變分同化系統(tǒng)的過程中都十分注重背景誤差協(xié)方差模型的設(shè)計(jì)與統(tǒng)計(jì)參數(shù)的估計(jì)［11-13，27-30］。但背景誤差協(xié)方差估計(jì)同時(shí)也是一項(xiàng)十分困難的工作。首先是背景誤差協(xié)方差矩陣的維數(shù)特別巨大，如分辨率為25km的全球分析預(yù)報(bào)系統(tǒng)所需的背景誤差協(xié)方差矩陣元素個(gè)數(shù)達(dá)到了1016以上；其次是我們無法獲取大氣環(huán)境的真實(shí)狀態(tài)，也就是不可能直接得到完整的背景誤差。在當(dāng)前大多數(shù)的業(yè)務(wù)變分同化系統(tǒng)，尤其是全球變分同化系統(tǒng)中為了避免直接表示，通常是從物理、統(tǒng)計(jì)和計(jì)算效率等方面考慮構(gòu)造簡化和近似的背景誤差協(xié)方差模型，如假定誤差相關(guān)函數(shù)滿足均勻性、各向同性和靜態(tài)假設(shè)［23-24］。然后，在此基礎(chǔ)上利用NMC、更新向量法、集合方法等統(tǒng)計(jì)出平衡關(guān)系的回歸系數(shù)和誤差相關(guān)函數(shù)［31-35］。但是這種處理忽略了背景誤差協(xié)方差中的非均勻、各向異性和時(shí)變等特性，在處理鋒面、臺(tái)風(fēng)等快速發(fā)展系統(tǒng)時(shí)尤為明顯。

Fisher［22］和Fisher等［10］在全球四維變分資料同化系統(tǒng)中引入非正交小波基，有效解決了背景誤差協(xié)方差的非均勻、各項(xiàng)異性表征問題。Zhang等［35］也在YH4DVAR系統(tǒng)中構(gòu)建了基于小波的背景誤差協(xié)方差模型，使該模型具備了各項(xiàng)異性、垂直相關(guān)和水平相關(guān)不可分，背景誤差相關(guān)具有空間變化等特征。但是模型中的基于歷史樣本統(tǒng)計(jì)的方差項(xiàng)和水平相關(guān)函數(shù)仍然是一個(gè)時(shí)間常量，無法反映快速發(fā)展的天氣系統(tǒng)。針對(duì)這一問題，F(xiàn)isher［22］基于集合卡曼濾波的思想提出了集合同化概念，即同時(shí)運(yùn)行多個(gè)相互獨(dú)立的同化循環(huán)，每個(gè)循環(huán)的背景場、觀測資料及SST輸入是在控制的基礎(chǔ)上疊加了服從各自誤差分布的擾動(dòng)，利用集合同化的樣本就可以實(shí)時(shí)估計(jì)出背景誤差方差，這即為集合四維變分資料同化方法（En4DVar）的雛形。En4DVar集合資料同化能夠精確估計(jì)流依賴背景誤差協(xié)方差，被認(rèn)為是解決變分資料同化主要問題的有效方法，目前已經(jīng)在國際上少數(shù)業(yè)務(wù)中心（如ECMWF［22，36-37］和法國氣象局（Mete-France）［38-39］）實(shí)現(xiàn)了業(yè)務(wù)化，其業(yè)務(wù)實(shí)現(xiàn)對(duì)確定性四維變分系統(tǒng)的水平提升起到了至關(guān)重要的作用［36-37］。

本文簡要介紹了En4DVar的基本原理及其在ECMWF和Mete-France的業(yè)務(wù)應(yīng)用情況，歸納了En4DVar的業(yè)務(wù)化實(shí)現(xiàn)過程中面臨的主要問題及相應(yīng)的解決方法，旨在為其他業(yè)務(wù)中En4DVar的實(shí)現(xiàn)提供理論參考。隨著研究的深入，En4DVar在不斷被完善，應(yīng)用也在不斷被拓展，En4DVar后續(xù)的發(fā)展將在文章最后一部分討論。

1 En4DVar的基本原理

En4DVar的目的是統(tǒng)計(jì)具有流型特征的背景誤差協(xié)方差，即從前一時(shí)刻起報(bào)到分析時(shí)刻的短時(shí)預(yù)報(bào)與大氣真值之間的誤差協(xié)方差。背景誤差的主要來源包括大氣觀測誤差和積分模式誤差。En4Dvar的思想源自擾動(dòng)觀測的集合卡曼濾波，在觀測資料、海表溫度（SST）和預(yù)報(bào)模式上疊加服從各自誤差分布的擾動(dòng)，構(gòu)造多個(gè)能反映背景誤差分布特性的分析—預(yù)報(bào)樣本集合。利用數(shù)據(jù)同化集合（EDA）成員之間的差別可以統(tǒng)計(jì)所需的背景誤差協(xié)方差。圖1為En4DVar的擾動(dòng)分析—預(yù)報(bào)系統(tǒng)示意圖，相對(duì)于控制系統(tǒng)，擾動(dòng)系統(tǒng)采用相同的資料同化模塊，但是通過擾動(dòng)預(yù)報(bào)模式的隨機(jī)物理過程來隱式地?cái)_動(dòng)背景場，而對(duì)觀測資料和側(cè)邊界的擾動(dòng)則是直接進(jìn)行。事實(shí)上，背景場也可以采用直接擾動(dòng)的方式，后面2.2節(jié)將會(huì)詳細(xì)討論。

圖1 En4DVar的擾動(dòng)分析—預(yù)報(bào)系統(tǒng)示意圖Fig. 1 Schematic illustration showing the analysis-forecast employed in En4DVar

短時(shí)的分析—預(yù)報(bào)可以被看成是一個(gè)弱非線性系統(tǒng)，對(duì)圖1中的控制系統(tǒng)可以用下式表示：

其中，K表示增益矩陣，k代表分析—預(yù)報(bào)循環(huán)步序號(hào)，yk是觀測矢量，表示第k時(shí)間步的分析場，是背景場，觀測算子Hk將模式空間的變量轉(zhuǎn)換到觀測空間。M是預(yù)報(bào)模式，第k步的分析誤差協(xié)方差矩陣和背景誤差協(xié)方差矩陣滿足下式：

式中，Rk和Qk分別表示觀測、模式誤差協(xié)方差矩陣，I是單位矩陣。

擾動(dòng)系統(tǒng)在控制的基礎(chǔ)上考慮了觀測和模式的不完美性，并采用擾動(dòng)的方式來構(gòu)造一個(gè)可能輸入狀態(tài)。對(duì)于擾動(dòng)系統(tǒng)，數(shù)學(xué)表達(dá)形式為：

式（3）與式（1）相減可得出添加的擾動(dòng)滿足：

對(duì)比控制和擾動(dòng)系統(tǒng)的協(xié)方差矩陣演化式可以看出，如果在分析—預(yù)報(bào)循環(huán)步m時(shí)滿足，則對(duì)于所有k≥m步都滿足

上述理論表明，如果在控制系統(tǒng)的基礎(chǔ)上疊加的觀測和模式擾動(dòng)分別是從真實(shí)的觀測誤差、模式協(xié)方差中獨(dú)立取樣得到，則基于擾動(dòng)構(gòu)造的分析—預(yù)報(bào)集合，利用成員間的差別可以統(tǒng)計(jì)出流依賴的背景誤差協(xié)方差。事實(shí)上，在系統(tǒng)啟動(dòng)時(shí)刻，式（3）中的背景場還沒加入擾動(dòng)信息，即但是這并不影響收斂于的結(jié)論?？梢詫蓚€(gè)不同的經(jīng)擾動(dòng)系統(tǒng)演化后的差值定義為δ，兩個(gè)不同的經(jīng)控制系統(tǒng)演化后的差值定義為Δ，很容易證明δ與Δ是等價(jià)的，即收斂性不受初值狀態(tài)和的影響。文獻(xiàn)［40］研究了集合資料同化系統(tǒng)冷啟動(dòng)的收斂性，結(jié)果表明，對(duì)于500hPa的位勢(shì)高度，全球集合離散度能在一周左右達(dá)到漸進(jìn)值。

綜上分析，如果觀測、模式及其他輸入量的擾動(dòng)服從各自誤差協(xié)方差的真實(shí)分布，則一周后的集合離散度能正確表征出分析、背景誤差方差。這即為集合四維變分資料同化的基本理論依據(jù)。業(yè)務(wù)中為了使集合離散度處于收斂狀態(tài)，En4DVar往往與業(yè)務(wù)高分辨率4D-Var系統(tǒng)同時(shí)不間斷地往前循環(huán)推進(jìn)。

2 En4DVar的發(fā)展及業(yè)務(wù)現(xiàn)狀

目前，ECMWF、Mete-France等中心已成功實(shí)現(xiàn)了En4DVar的業(yè)務(wù)化運(yùn)營。Fisher［22］首次提出了集合資料同化的思想，擾動(dòng)短期預(yù)報(bào)場在生成過程中的各個(gè)環(huán)節(jié)，來表征短期預(yù)報(bào)場的主要誤差來源，短期預(yù)報(bào)場之間的差別就具有背景誤差的統(tǒng)計(jì)特征。ECMWF在文獻(xiàn)［37，40］試驗(yàn)和研究基礎(chǔ)上，于2010年6月在c36r2版本集成預(yù)報(bào)系統(tǒng)中正式引進(jìn)En4DVar，一方面為業(yè)務(wù)高分辨率4D-Var系統(tǒng)提供流依賴的背景誤差協(xié)方差的估計(jì)值，另一方面結(jié)合奇異向量技術(shù)為集合預(yù)報(bào)系統(tǒng)提供高質(zhì)量的擾動(dòng)初值。業(yè)務(wù)運(yùn)營的En4DVar包含了10個(gè)擾動(dòng)的成員和1個(gè)控制成員，為了避免引入垂直方向的插值誤差，分辨率設(shè)為T399L91，在T399/ T95/T159的三重嵌套的最小化循環(huán)迭代的框架設(shè)計(jì)下，總計(jì)算量與T1279分辨率的業(yè)務(wù)確定性四維變分資料同化系統(tǒng)持平。En4DVar每天運(yùn)行兩次，選用相同的時(shí)間滑窗與觀測資料集，模式的不確定性表征采用了集合預(yù)報(bào)系統(tǒng)中隨機(jī)擾動(dòng)參數(shù)化傾向方案。

整個(gè)業(yè)務(wù)流程如圖2所示，En4DVar分析使用與高分辨率4D-Var相同的觀測資料。控制成員不需要擾動(dòng)觀測資料，而其他En4DVar成員則需要對(duì)觀測資料疊加一個(gè)隨機(jī)方法抽樣得到的滿足均值為零、標(biāo)準(zhǔn)偏差等于觀測誤差的高斯分布擾動(dòng)。由于大氣運(yùn)動(dòng)矢量觀測［41］和海表溫度場［42］等具有高相關(guān)性的觀測資料，在擾動(dòng)中則需要考慮其相同性。在背景場擾動(dòng)方面，ECMWF采用了SPPT模式擾動(dòng)方案以提高En4DVar的離散度。統(tǒng)計(jì)得到的背景誤差在應(yīng)用到4D-Var之前需要經(jīng)過濾波和校正處理來消除估計(jì)值中存在的隨機(jī)誤差和系統(tǒng)偏差。

圖2 En4DVar流依賴背景場誤差協(xié)方差的模擬流程Fig. 2 Process in generation of flow-dependent background error covariance

2012年，為了得到流依賴背景誤差協(xié)方差，EDA的成員增至25個(gè)，并改進(jìn)和引入了許多新的技術(shù)，如能量后向散射（SKEB）的模式擾動(dòng)方法，方差估計(jì)值的小樣本隨機(jī)噪聲濾波方法，方差估計(jì)值的系統(tǒng)偏差校正技術(shù)，以及流依賴背景相關(guān)函數(shù)的估計(jì)方法等等。

Mete-France業(yè)務(wù)實(shí)現(xiàn)的En4DVar系統(tǒng)與ECMWF相似，早期考慮到現(xiàn)有的計(jì)算條件，集合中只包含了6個(gè)成員，因此Mete-France在隨機(jī)誤差處理方面進(jìn)行了大量研究。隨著計(jì)算條件的改善，目前已經(jīng)將集合成員數(shù)擴(kuò)展到了10個(gè)。

2.1 觀測資料和SSSTT擾動(dòng)

根據(jù)觀測之間相關(guān)性的強(qiáng)弱，將觀測資料劃分為強(qiáng)相關(guān)觀測資料、弱相關(guān)觀測資料。對(duì)于大部分不相關(guān)或相關(guān)性較小的觀測資料，疊加的擾動(dòng)服從均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為觀測誤差協(xié)方差的高斯分布。但是，擾動(dòng)云導(dǎo)風(fēng)資料時(shí)需要考慮資料之間的相關(guān)特性。由于SST是在原始觀測基礎(chǔ)上經(jīng)過最優(yōu)插值和二維變分等處理過程得到的二維格點(diǎn)場，在擾動(dòng)時(shí)，除了原始觀測誤差外，還需要考慮處理過程中的誤差特性，且擾動(dòng)也需要遵循SST的遙相關(guān)特性。

受高度指定、相似云結(jié)構(gòu)追蹤、質(zhì)量控制過程［43］等因素影響，同步衛(wèi)星的云導(dǎo)風(fēng)觀測具有很強(qiáng)的時(shí)間、空間相關(guān)性［44-45］，目前大部分風(fēng)產(chǎn)品的分辨率在160km或更高，因此只能診斷該分辨率以下的相關(guān)性，而很難表征出更細(xì)的相關(guān)特征。Bormann等［41］基于一年的云導(dǎo)風(fēng)（AMVs）-無線電探空數(shù)據(jù)集，在假定探空儀觀測誤差不相關(guān)的條件下，利用密集的探空觀測網(wǎng)絡(luò)研究了AMVs隨機(jī)誤差的空間相關(guān)性。其結(jié)果表明，云導(dǎo)風(fēng)的顯著相關(guān)距離約為800km，且相關(guān)距離對(duì)于不同衛(wèi)星、不同通道和垂直層相關(guān)距離變化不大。其中熱帶地區(qū)的相關(guān)性大于其他地區(qū)，相關(guān)性具有各向異性。北半球高空的風(fēng)分量誤差年平均約為2.7～3.5m/s，冬季的誤差最大。Bormann等［41］分別采用各向同性（利用站點(diǎn)距離分組）或各向異性（利用N-S和E-W分離進(jìn)行分組）相關(guān)函數(shù)將相關(guān)的數(shù)據(jù)以一種統(tǒng)計(jì)的方式外插到0來估計(jì)空間相關(guān)的AMV誤差大小，外插的相關(guān)函數(shù)在0點(diǎn)位置將探空資料方差劃分為空間相關(guān)和空間不相關(guān)部分。相關(guān)部分對(duì)應(yīng)AMV的觀測誤差，而空間不相關(guān)部分則由不相關(guān)的AMV誤差、探空觀測誤差、探空（單點(diǎn)測值）與AMVs（區(qū)域平均）之間的失配誤差構(gòu)成。其中各向同性的相關(guān)函數(shù)可采用以下形式：

式中，L表示R的長度尺度，r表示兩點(diǎn)之間的大圓距離，R0表示r=0時(shí)的R的大小。

海洋具有多種天氣氣候意義的特性，它在地-氣系統(tǒng)熱量平衡及水分平衡中具有重要作用。其中，SST不僅是海洋表面物理狀態(tài)的重要參數(shù)，還是影響大氣環(huán)流及長期天氣變化的重要因素。在4D-Var中，SST作為側(cè)邊界輸入信息，其精度或者誤差分布對(duì)同化效果影響較大，同時(shí)SST又具有遙相關(guān)特性［46］，因此對(duì)SST擾動(dòng)的過程也必須考慮其相關(guān)性。目前，ECMWF業(yè)務(wù)中采用的是集合預(yù)報(bào)中SST擾動(dòng)方案［42］，該擾動(dòng)方案通過構(gòu)造兩組擾動(dòng)量來表征SST的不同誤差來源：第一組擾動(dòng)量的構(gòu)造方法是，根據(jù)Reynolds等［46］的最優(yōu)插值方法得到的SST分析場周平均和二維變分SST分析場的周平均差在1985—1999年的統(tǒng)計(jì)量來構(gòu)造表征SST產(chǎn)品中的典型誤差分布的擾動(dòng)量；第二組SST擾動(dòng)構(gòu)造則是利用Reynolds等［46］二維變分SST分析場與其一周均值的差來構(gòu)造擾動(dòng)。第一組擾動(dòng)代表了SST分析場中的不確定性，而第二種擾動(dòng)則主要考慮到了NCEP的SST是周平均產(chǎn)品。這兩組擾動(dòng)采用隨機(jī)選取的方法疊加到SST分析場上。擾動(dòng)系數(shù)由海表的1線性衰減到40m海深處的0。

2.2 預(yù)報(bào)模式擾動(dòng)

En4DVar采用的預(yù)報(bào)模式并不是真正的“完美模式”，而是用到了很多次網(wǎng)格參數(shù)化過程和隨機(jī)方法，因此也需要開展模式擾動(dòng)方案來表征模式中的誤差特征。模式誤差來源之一是參數(shù)化方案中缺少對(duì)次網(wǎng)格物理過程變率的描述。對(duì)于數(shù)值模式中各物理過程的參數(shù)化方案，它的整體作用表現(xiàn)為在控制方程中采用某一傾向項(xiàng)描述次網(wǎng)格物理過程的貢獻(xiàn)，該描述是一確定性的結(jié)果并且依賴于網(wǎng)格尺度的物理量，因此忽略了物理量通量具有統(tǒng)計(jì)意義振蕩的特性以及網(wǎng)格尺度運(yùn)動(dòng)與次網(wǎng)格尺度運(yùn)動(dòng)之間的相互作用。

模式誤差的另一個(gè)來源則是參數(shù)化方案及模式積分方案本身的原理導(dǎo)致了系統(tǒng)性的動(dòng)能缺失，從而使得模式大氣的動(dòng)能譜與實(shí)際大氣不符。例如，模式積分中為保證計(jì)算穩(wěn)定性而采用半拉格朗日平流方案并引入水平耗散項(xiàng)，這往往導(dǎo)致過強(qiáng)的能量耗散；在深對(duì)流參數(shù)化方案中，沒有合理描述出對(duì)流產(chǎn)生的動(dòng)能向平衡流場傳輸并激發(fā)重力波生成這一物理過程。所以，這一模式誤差來源的主要影響在于沒有描述大氣動(dòng)能的升尺度傳播特性，導(dǎo)致系統(tǒng)性的動(dòng)能譜偏差。ECMWF的En4DVar業(yè)務(wù)系統(tǒng)中根據(jù)如上的模式誤差來源，同時(shí)引用了集合預(yù)報(bào)系統(tǒng)中的兩套擾動(dòng)方案：參數(shù)化傾向隨機(jī)擾動(dòng)法（SPPT）表征已有參數(shù)化方案中存在的不確定性；隨機(jī)后向散射法（SKEB）表征模式中未被參數(shù)化方案描述而缺失的物理過程。

BMP方法［47］是SPPT的原始版本，最早應(yīng)用在ECMWF的集合預(yù)報(bào)系統(tǒng)中，用來表征數(shù)值模式已有物理過程參數(shù)化方案中存在的不確定性。對(duì)于模式中的任一預(yù)報(bào)量，其預(yù)報(bào)方程如下：

式中，A表示模式網(wǎng)格尺度運(yùn)動(dòng)（非參數(shù)化部分）對(duì)預(yù)報(bào)量傾向的貢獻(xiàn)。P表示次網(wǎng)格物理過程參數(shù)化對(duì)預(yù)報(bào)量傾向的貢獻(xiàn)，為描述這一傾向分量的不確定性，在等式右邊疊加與P有關(guān)的隨機(jī)強(qiáng)迫項(xiàng)，故上式可改寫成：

SPPT的原理與BMP方法一致，區(qū)別在于對(duì)隨機(jī)數(shù)r的處理，即對(duì)所用變量采用相同的r，且在近地表和平流層引入調(diào)整因子來調(diào)整擾動(dòng)的幅度。另外，為了解決BMP方法出現(xiàn)的不連續(xù)現(xiàn)象，SPPT方法在譜空間中利用譜系數(shù)構(gòu)造隨機(jī)擾動(dòng)，使得擾動(dòng)隨時(shí)間和空間的變化都非常平滑。SPPT實(shí)現(xiàn)后改進(jìn)了集合預(yù)報(bào)中降水分布的預(yù)報(bào)效果［48］。

SKEB［47，49］方法認(rèn)為與隨機(jī)中小尺度系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)聯(lián)系的物理過程包含了局地深對(duì)流產(chǎn)生的動(dòng)能向平衡流場傳輸并激發(fā)重力波、水平耗散等過程，它將影響尺度位于模式截?cái)嗖〝?shù)附近的動(dòng)能傳輸，最終使得網(wǎng)格尺度運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能譜發(fā)生改變，故最終的影響效果為風(fēng)場分量的傾向。因此，隨機(jī)物理過程擾動(dòng)作為一強(qiáng)迫項(xiàng)作用于速度場，引入有效流函數(shù)強(qiáng)迫項(xiàng)：

SPPT和SKEB都是通過擾動(dòng)模式來隱式表征背景場的不確定性，另一種顯式表征方法是直接將擾動(dòng)疊加到背景場上，這種方法稱為XB方法［51］。擾動(dòng)定義為，其中，擾動(dòng)幅度調(diào)整因子是一個(gè)與緯度模式層l和模式變量x有關(guān)的函數(shù)，則是從高維高斯分布（0，B）中取樣得到的隨機(jī)擾動(dòng)，B表示背景誤差協(xié)方差矩陣。的大小為高分辨率業(yè)務(wù)信息向量方差和集合方差（這里的集合僅擾動(dòng)觀測）的差值的三周統(tǒng)計(jì)平均。ECMWF對(duì)離散度診斷后得出XB方法能得到比物理過程參數(shù)化方法更大的離散度，因此不再需要進(jìn)行集合離散度的校正處理，這一改進(jìn)在中高緯地區(qū)更為明顯。此外，應(yīng)用XB方法的En4DVar來為ECMWF的集合預(yù)報(bào)系統(tǒng)提供擾動(dòng)初值，能夠得到最大的離散度，使得中期集合預(yù)報(bào)系統(tǒng)更為穩(wěn)定。相對(duì)于原有的集合預(yù)報(bào)系統(tǒng)3和7d的預(yù)報(bào)技巧有了小幅度的提升。

2.3 方差系統(tǒng)偏差校正

En4DVar通過使用擾動(dòng)觀測，SST和背景場分別表征輸入到分析—預(yù)報(bào)系統(tǒng)的初值、邊界值、背景場等主要誤差來源。但是在觀測誤差統(tǒng)計(jì)，SST擾動(dòng)和模式誤差參數(shù)化中的任何缺陷或近似，以及其他未知的不確定項(xiàng)（如陸表過程）都會(huì)引起En4Dvar取樣方差為分析和背景場預(yù)報(bào)的次最優(yōu)估計(jì)值。這種類型的估計(jì)誤差無法通過增加集合成員個(gè)數(shù)方法來消減，且轉(zhuǎn)化為En4DVar取樣方差和真實(shí)分析/預(yù)報(bào)誤差的系統(tǒng)差別。

一種簡單的處理方式是將En4DVar平均離散度值乘以一個(gè)定值縮放因子來減少這種系統(tǒng)偏差。但是En4DVar方差的系統(tǒng)誤差具有復(fù)雜的空間和時(shí)間結(jié)構(gòu)，并不能簡單地通過乘以一個(gè)全局的縮放因子來表征。ECMWF采用Leutbecher［49］的方法，即利用集合離散度-誤差關(guān)系定量診斷系統(tǒng)偏差。對(duì)于一個(gè)理想的En4Dvar系統(tǒng)，離散度-誤差曲線應(yīng)當(dāng)位于對(duì)角線位置，即：

其中，N是集合成員個(gè)數(shù)，y是真實(shí)值，實(shí)際中以高分辨率業(yè)務(wù)分析場代替。等式左邊表示集合方差，右邊為集合誤差方差（RMSE）。而實(shí)際的En4Dvar系統(tǒng)并不滿足上式，即離散度—誤差曲線斜率并不為1，其大小反映了集合離散度的條件偏移程度。處理方法按照離散度—誤差差別的帶狀分布特征，較為精細(xì)的將全球劃分為N（30°—90°N），S（30°—90°E），T（30°E—30°N）三個(gè)區(qū)域，對(duì)每個(gè)區(qū)域應(yīng)用不同的膨脹系數(shù)?？紤]到離散度散度-誤差診斷系數(shù)的日變化和周變化不大，但有一明顯的季節(jié)性漂移，大小可利用最近5d的集合樣本通過離散度-誤差曲線以在線的形式來確定。

2.4 方差隨機(jī)誤差濾波

受計(jì)算資源的限制，集合成員個(gè)數(shù)限制在o（10）～o（102），由這種小集合統(tǒng)計(jì)得到的B矩陣，包含了樣本噪聲，對(duì)B矩陣的統(tǒng)計(jì)精度有很大的影響，因此在使用前需要引入濾波工具消除樣本噪聲。文獻(xiàn)［32， 39， 51-52］研究了長距離的假非零值。Raynaud等［53］對(duì)相關(guān)性進(jìn)行了試驗(yàn)研究，結(jié)果表明，最優(yōu)局域空間平均濾波能提高B的計(jì)算精度但效果并不明顯，且低通濾波器的截?cái)嗖〝?shù)與變量場、垂直層、背景誤差特征尺度有關(guān)，需要花費(fèi)大量的工作進(jìn)行最優(yōu)化設(shè)置。Raynaud等［54］在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，通過計(jì)算信號(hào)、噪聲的特征尺度長度，能自動(dòng)計(jì)算最佳截?cái)嗖〝?shù)。由此發(fā)展成的客觀濾波器被應(yīng)用到ECMWF的集合資料同化系統(tǒng)中。

形式上可將EDA的計(jì)算誤差分為隨機(jī)項(xiàng)和系統(tǒng)項(xiàng)：

對(duì)于一組相互獨(dú)立、服從高斯分布的N成員擾

可以推導(dǎo)出樣本噪聲協(xié)方差矩陣的矩陣形式為：

式中，n是總譜波數(shù)，Ntrunc是濾波器的截?cái)嗖〝?shù)。在譜空間應(yīng)用此低通濾波，相當(dāng)于在格點(diǎn)空間的誤差方差添加了一個(gè)加權(quán)平均，使得較大尺度信號(hào)通過，而較小尺度樣本噪聲被過濾。但該方法也存有以下局限：1）它是基于樣本估計(jì)的誤差協(xié)方差矩陣，而真實(shí)的誤差協(xié)方差矩陣是未知的；2）所采用的參數(shù)不能適用于所有變量/模式層；3）不適用于處理EDA方差能量譜的小變化。為了克服以上方法的局限性，Montmerle等［34］對(duì)以上方法進(jìn)行了修正，利用同一個(gè)EDA系統(tǒng)的兩個(gè)不同集合來計(jì)算EDA背景場標(biāo)準(zhǔn)偏差噪聲能量譜：

譜形式的噪聲濾波可以簡單的拓展到小波形式。小波轉(zhuǎn)化的主要特征是，信號(hào)與一組徑向基函數(shù)的卷積、徑向基函數(shù)的選擇受譜帶限制，對(duì)于一些連續(xù)的截?cái)嗖〝?shù)N1，…，NK，Legendre 轉(zhuǎn)化滿足：

從一組10成員EDA事件，可以計(jì)算小波空間中相關(guān)系數(shù)樣本，如對(duì)于每個(gè)小波分解的波帶計(jì)算空間相關(guān)系數(shù)場。小波濾波標(biāo)準(zhǔn)偏差就能通過原標(biāo)準(zhǔn)偏差和取樣相關(guān)系數(shù)在小波空間中的卷積導(dǎo)出：

不同尺度上的截?cái)嗖〝?shù)可以采用Donoho方法來自動(dòng)最優(yōu)確定［55］，圖3對(duì)應(yīng)2013年8月2日09：00 UTC第91模式層上渦度場背景誤差的集合估計(jì)值、應(yīng)用Donoho方法經(jīng)小波濾波和譜濾波方法得到結(jié)果。其中心最大值對(duì)應(yīng)于第九號(hào)臺(tái)風(fēng)飛燕的中心位置，大小分別為8.31×10-5、8.21×10-5和6.59×10-5。對(duì)比可以看出，應(yīng)用小波方法能夠改善譜濾波在空間平滑過程導(dǎo)致部分關(guān)鍵信息被抹平的局限性，且由于Donoho方法無需應(yīng)用式15統(tǒng)計(jì)噪聲能量譜，因此可以極大提高濾波效率。

2.5 流依賴相關(guān)函數(shù)統(tǒng)計(jì)

圖3 2013年8月2日09:00 UTC第91模式層上渦度場背景誤差（單位：10-5s-1）（a）、（b）、（c）分別為10個(gè)樣本得到的集合統(tǒng)計(jì)值、小波和譜方法濾波結(jié)果Fig. 3 Standard deviations of voracity at model level 91, for 0900 UTC on 2 August 2013 (unit: 10-5s-1). (a) Corresponding to raw estimates from 10 member ensemble; (b) to the filtered results with wavelet and (c) with spectral method

相關(guān)函數(shù)C對(duì)應(yīng)的是背景誤差協(xié)方差矩陣B中的非對(duì)角元素，表示變量內(nèi)部和變量之間在不同位置、不同高度的相關(guān)性。由于C的個(gè)數(shù)是方差元素個(gè)數(shù)的二次方倍，因此對(duì)C的精確估計(jì)遠(yuǎn)大于方差估計(jì)。Fisher［22］利用不同時(shí)次的樣本估計(jì)得到具有尺度相關(guān)、位置相關(guān)的各向異性相關(guān)函數(shù)，但是其統(tǒng)計(jì)是基于歷史不同時(shí)次的集合樣本，因此得到的是一個(gè)氣候態(tài)的定常量，忽略了其流依賴的特性。Varella等［56］研究表明，具有弱流依賴特性的時(shí)變相關(guān)函數(shù)能夠更加精確地表征出隱含的相關(guān)結(jié)構(gòu)，這一優(yōu)勢(shì)在活躍天氣系統(tǒng)的影響區(qū)域中更為明顯。

根據(jù)樣本個(gè)數(shù)的不同，對(duì)流依賴相關(guān)函數(shù)的處理也不同。當(dāng)樣本個(gè)數(shù)十分有限時(shí)，為了消除因樣本不足導(dǎo)致的噪聲或虛假相關(guān)，需要構(gòu)造合適的空間局地化函數(shù)來消除或減少遠(yuǎn)距離虛假相關(guān)；另一種方法是構(gòu)造出足夠多的樣本個(gè)數(shù)，減少小樣本估計(jì)值中含帶的遠(yuǎn)距離虛假相關(guān)。

Houtekamer等［52］于2001年首次引入局地化矩陣Cloc與原估計(jì)值進(jìn)行相乘來實(shí)現(xiàn)局地化，對(duì)流依賴相關(guān)函數(shù)即：

式中，Cloc是變化的相關(guān)性矩陣，大小與相同，Cloc的形式直接決定了流依賴相關(guān)函的局地化的效果。一種簡單局地化處理方式是，假定變量的自相關(guān)強(qiáng)度與距離成反比，Cloc為一個(gè)高維的高斯函數(shù)矩陣。另一種處理思路將低分辨率的局地化矩陣通過譜變換作用到高維的流依賴相關(guān)函數(shù)估計(jì)值矩陣上。其優(yōu)點(diǎn)是，如果局地相關(guān)性在譜空間中是水平均勻的，則譜形式的局地化矩陣Clocs即為簡單的對(duì)角矩陣。

實(shí)踐表明，在沒有空間局地化和濾波處理的前提下，至少需要500～600個(gè)擾動(dòng)樣本才能粗略統(tǒng)計(jì)得到小波B模型。如此龐大的樣本個(gè)數(shù)是現(xiàn)階段、以及未來幾年都無法承受的。對(duì)此有兩種解決思路：1）通過滯后方法實(shí)時(shí)估計(jì)B；2）采用混合的形式構(gòu)造B。滯后法實(shí)時(shí)估計(jì)B的思想是結(jié)合現(xiàn)有的和過去12d滑動(dòng)窗口內(nèi)的EDA背景預(yù)報(bào)成員構(gòu)成一個(gè)包含600個(gè)樣本的超大EDA集合，用于統(tǒng)計(jì)流依賴相關(guān)函數(shù)C。該方法盡管得到足夠的統(tǒng)計(jì)樣本，但是由于滑動(dòng)窗口過長，統(tǒng)計(jì)得到的相關(guān)函數(shù)C中的流依賴信息量過少，很難及時(shí)反映快速發(fā)展的天氣系統(tǒng)。且如果業(yè)務(wù)EDA成員個(gè)數(shù)少，這一情況將更加嚴(yán)重?；旌戏椒▌t是利用最新的200個(gè)集合成員表征出誤差逐日變化的特征，另外再從全年的EDA樣本取樣出400個(gè)成員表示誤差的氣候態(tài)特性。ECMWF試驗(yàn)表明上述方法都能有效改進(jìn)現(xiàn)有的靜態(tài)相關(guān)函數(shù)C，且對(duì)同化和預(yù)報(bào)具有正效果［58］。

3 存在問題及展望

集合四維變分資料同化系統(tǒng)業(yè)務(wù)化以后，顯著提升了確定性和集合預(yù)報(bào)水平。其成功主要基于四個(gè)方面的因素：擁有一個(gè)非?？煽康某墒斓募纤木S變分資料同化系統(tǒng)；先進(jìn)的小波背景誤差協(xié)方差模型；精確的切線性、伴隨模式以及高精度的觀測算子。這些因素使得背景誤差能在同化窗內(nèi)的表征非常精確，而避免采用空間局地化技術(shù)來消除協(xié)方差的噪聲。但是集合資料同化系統(tǒng)仍存在一些尚未解決的問題：如忽略了中高層質(zhì)量-風(fēng)平衡約束對(duì)預(yù)報(bào)的影響。同時(shí)出于實(shí)際業(yè)務(wù)化考量，ECMWF和Mete-France簡化了En4Dvar中誤差表征、隨機(jī)誤差處理、系統(tǒng)誤差校正等問題，隨著計(jì)算條件的逐步提升，對(duì)這些問題的處理將會(huì)更加精細(xì)化。

常規(guī)觀測資料擾動(dòng)采用均值為0、標(biāo)準(zhǔn)偏差等于觀測誤差的高斯型分布來模擬。但是對(duì)于占據(jù)同化系統(tǒng)觀測資料來源主體（約占90%）的衛(wèi)星觀測資料而言，部分類型的觀測誤差具有空間或時(shí)間相關(guān)性，擾動(dòng)時(shí)必須遵循這一相關(guān)性。目前上述業(yè)務(wù)中心僅考慮了具有強(qiáng)相關(guān)的云導(dǎo)風(fēng)衛(wèi)星觀測資料，并假設(shè)其他衛(wèi)星觀測資料是不相關(guān)的。

隨機(jī)誤差的濾波處理能減少背景誤差方差估計(jì)值中的采樣噪聲，提高精確度，其作用十分重要。業(yè)務(wù)中采用的統(tǒng)計(jì)濾波都屬于均勻?yàn)V波，即作用在譜系數(shù)上的濾波系數(shù)僅與波數(shù)（或尺度）有關(guān)。在格點(diǎn)空間相當(dāng)于全球相同尺度的平滑范圍和平滑強(qiáng)度是一樣的。這種處理有可能會(huì)抹去尺度較小的局地特征信號(hào)，降低集合方差估計(jì)值的有效分辨率，如T399分辨率下，10成員的有效分辨率僅為T70。因此有必要開展更精細(xì)化的非均一濾波方法。非均一濾波系數(shù)具有各向異性，大小不僅與尺度有關(guān)，還受方向和位置影響，符合背景誤差協(xié)方差各向異性的這一既定事實(shí)。文獻(xiàn)［57］利用擴(kuò)散方程構(gòu)造了一種非均一濾波器，通過建立起濾波系數(shù)與尺度函數(shù)之間的關(guān)系來局地調(diào)整濾波的強(qiáng)度。由于ECMWF的4D-Var系統(tǒng)采用的背景誤差協(xié)方差模型是基于小波構(gòu)造的，另一種高效的方法是利用小波的多尺度、多分辨率的刻畫優(yōu)勢(shì)，同時(shí)精確表征全局的尺度信息和局地的信息。同時(shí)將信號(hào)和與位置x有關(guān)長度尺度信息L（x）轉(zhuǎn)換到小波空間，構(gòu)造非均一小波濾波器

集合方法統(tǒng)計(jì)得到的離散度一般偏小，一種處理的方法是乘上一個(gè)膨脹系數(shù)來調(diào)整離散度，這個(gè)膨脹系數(shù)對(duì)全球而言是一致且不變的。改進(jìn)后可以按照離散度的帶狀分布特征，較為精細(xì)的將全球劃分為N（30°—90°N），S（30°—90°E），T（30°E—30°N）三個(gè)區(qū)域，對(duì)每個(gè)區(qū)域應(yīng)用不同的膨脹系數(shù)，考慮到離散度的時(shí)變特性，膨脹系數(shù)可利用最近5d的集合樣本通過離散度-誤差曲線以在線的形式來確定。劃分區(qū)域能夠較為精確的調(diào)整每個(gè)區(qū)域的離散度，但是在區(qū)域之間的邊界區(qū)域會(huì)存在不連續(xù)情況。

2013年，ECMWF將En4DVar的成員個(gè)數(shù)由原來的10個(gè)增加到了25個(gè)，使得到的背景誤差方差更加精細(xì)化。其另一方面的作用是可以利用25個(gè)集合成員估計(jì)流依賴的背景誤差相關(guān)函數(shù)，結(jié)合背景誤差方差組成一個(gè)全流依賴的背景誤差協(xié)方差估計(jì)值。ECMWF計(jì)劃將估計(jì)值與靜態(tài)的背景誤差協(xié)方差矩陣按照30%和70%的權(quán)重線性組合。另一種解決思路是采用滯后法構(gòu)造足夠多的統(tǒng)計(jì)樣本統(tǒng)計(jì)流依賴的背景誤差協(xié)方差。

目前，ECMWF的業(yè)務(wù)資料同化系統(tǒng)已經(jīng)從原來的T799L91提升到了T1279L139。隨著模式和資料同化的空間分辨率進(jìn)一步提升，原有相關(guān)長度尺度的各向同性假設(shè)已不再適用，現(xiàn)有背景誤差協(xié)方差模型面臨的流依賴平衡關(guān)系估計(jì)問題將更加嚴(yán)峻。無論是集合四維變分資料同化（En4DVar），還是目前盛行的四維集合變分資料同化（4DEnVar），都需要進(jìn)一步研究集合信息引入到4D-Var中的效率。另一個(gè)面臨的關(guān)鍵問題是En4DVar本質(zhì)上屬于蒙特卡羅方法，其分辨率與擾動(dòng)是否能表征高分辨率資料同化系統(tǒng)的誤差密切相關(guān)。即使En4Dvar的外層循環(huán)分辨率從T399升到T699，仍只有目前4Dvar分辨率的一半。它能夠考慮大部分不確定性信息，降低參數(shù)化表征模式誤差的需求，但是以4D-Var為基本模塊的En4Dvar是一個(gè)計(jì)算量非常大的系統(tǒng)，未來研究將主要集中在提高En4Dvar的效率，如改進(jìn)估計(jì)值中隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差的處理方法，利用流依賴集合離散度優(yōu)化觀測資料質(zhì)量篩選和質(zhì)量控制決策等。

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Research Progress in Ensemble Four-Dimensions Variational Data Assimilation

Liu Bainian1，2， Huang Qunbo1， Zhang Weimin1， Cao Xiaoqun1， Zhao Jun1， Zhao Yanlai1
（1 Academy of Ocean Science and Engineering， National University of Defense Technology， Changsha 410073 2 College of Computer， National University of Defense Technology， Changsha 410073）

Accurate background error covariance is the foundation for all advanced data assimilation systems. For four dimensions data assimilation （4D-Var）， assimilating the observation data is converted to a question of cost function minimization which is constricted by atmosphere dynamic model. By adjusting the control vectors， the distance between model trajectory and real time observations reached its minimal value over whole assimilation time window. As background error covariance evolves according to the adjoint and tangent linear model， it can adapt to rapid development weather. However， most of operational 4D-Var systems still adopt simi-climatic background error covariance model compromised by huge dimensionality， which can't be exactly defi ned with all available information. As the rapid development of computer science， the problem of dimensionality can be released by ensemble method. Ensemble four dimensionality data assimilation （En4DVar） employed several independent perturbed analysis forecast cycles to remedy the limited information synchronously. In this scheme， fl ow-dependent background error covariance can be estimated from the differences between ensemble members. Several famous numeric prediction centers， such as ECMWF，Mete-France， adopted it to provide fl ow-depended background error covariance for the high-resolution determined 4D-Var system. In this thesis， the basic theory of the En4DVar method is demonstrated briefl y， followed by a description of currently application at ECMWF， and focusing on the disturbing， filtering， calibration as well as other key techniques for helping to improve the precision of estimates. The last part presents an investigation of some issues in current operation and possibly future research fi elds in the En4DVar.

background error covariance， ensemble， four-dimensional data assimilation， disturb， fl ow-dependent

10.3969/j.issn.2095-1973.2016.05.002

2015年5月21日；

2015年7月11日

劉柏年（1985—），Email： bnliu@nudt.edu.cn

資助信息： 國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（41375113，41105063，41475094，41305101）