◇　北京　俞　鵬 　 彭　征

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關(guān)于滑動(dòng)摩擦力做功的一點(diǎn)想法

◇北京俞鵬1彭征2

在人教版高中物理教材《必修2》第7章第2節(jié)“功”當(dāng)中,其實(shí)已對(duì)2種功的定義都給出了“明確”的說(shuō)法:“到了19世紀(jì)20年代,法國(guó)科學(xué)家科里奧利擴(kuò)展了這一基本思想,明確地把作用于物體上的力和受力點(diǎn)沿力方向的位移的乘積叫作‘力的功’”;“……一個(gè)物體受到力的作用,并在力的方向上發(fā)生了一段位移,這個(gè)力就對(duì)物體做了功”．

考慮到給普通高中學(xué)生不宜過(guò)分強(qiáng)調(diào)2種功的區(qū)別,教材中對(duì)這2種功的區(qū)別做了模糊處理．但這種處理方式對(duì)那些愛(ài)刨根問(wèn)底的學(xué)生而言,可能會(huì)引起概念上的混亂．

首先,對(duì)這2種功的定義及其使用情景做個(gè)明確的說(shuō)明:對(duì)于某一段功ΔW=F·Δs, 位移Δs是誰(shuí)的?

情況1Δs是作用點(diǎn)的位移,這時(shí)對(duì)應(yīng)的功叫作廣義功．廣義功標(biāo)志了能量在物體間的轉(zhuǎn)移,即能量轉(zhuǎn)化的量度,但不一定能拿來(lái)處理物體的質(zhì)心動(dòng)能變化.

情況2Δs是物體(質(zhì)心)的位移,這時(shí)對(duì)應(yīng)的功叫作狹義功,又叫贗功．狹義功不一定能作為能量轉(zhuǎn)化的量度,但可以用在質(zhì)心動(dòng)能定理當(dāng)中來(lái)計(jì)算質(zhì)心動(dòng)能的變化．

如果受力對(duì)象的各個(gè)細(xì)微部分(小到每一個(gè)分子)的運(yùn)動(dòng)軌跡都完全一樣(絕對(duì)的平動(dòng)),那么作用點(diǎn)的位移自然就是物體質(zhì)心的位移,此時(shí)廣義功和狹義功是一樣的,因此這種情況下我們寫(xiě)出的功既可以用來(lái)計(jì)算功能關(guān)系,也可以應(yīng)用到動(dòng)能定理．比如:用繩將一個(gè)重力為mg的木塊緩慢提高h(yuǎn),繩對(duì)木塊做的功W=mgh可以同時(shí)表示2種功(廣義功和狹義功)．因此,一方面W可以表示繩傳遞給木塊的能量，另一方面W也可以用在對(duì)木塊的動(dòng)能定理當(dāng)中，即W-mgh=0-0．

但是,對(duì)于作用點(diǎn)和質(zhì)心位移不一樣的情況,使用這2種功就應(yīng)當(dāng)注意區(qū)別了．

在舉例之前,先對(duì)質(zhì)點(diǎn)組的能量情況做個(gè)說(shuō)明:

對(duì)于一個(gè)由N個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的系統(tǒng),Fi表示第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)受到的所有外力,Fij表示第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)第j個(gè)質(zhì)點(diǎn)的內(nèi)力,則對(duì)第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)列出方程:

方程兩邊同時(shí)對(duì)i求和,可得:

①

式①常被人叫作質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能定理,即系統(tǒng)所有質(zhì)點(diǎn)的總動(dòng)能變化量等于外力對(duì)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)做的功與所有內(nèi)力做功之和,如果認(rèn)為每個(gè)質(zhì)點(diǎn)都不具有從式子中涉及的力獲得“內(nèi)部能量”的能力(比如原子能級(jí)的躍遷),則這里的功都可以當(dāng)作廣義功,即都可以用來(lái)描述能量的轉(zhuǎn)移．事實(shí)上,上式左邊第1項(xiàng)代表了外界與系統(tǒng)的能量交換,第2項(xiàng)則代表了系統(tǒng)內(nèi)部勢(shì)能與動(dòng)能的轉(zhuǎn)化．

對(duì)該質(zhì)點(diǎn)組的能量,還可以有另外一種處理方式:

②

圖1

分析該問(wèn)題一般這樣處理:將做功考慮成力乘以受力物體的位移,則摩擦力對(duì)小木塊做功為W1=-Ffs1,摩擦力對(duì)長(zhǎng)板做功為W2=Ffs2,可以看出這里求得的應(yīng)當(dāng)是狹義功,因此可以利用W1和W2對(duì)木塊和木板分別使用動(dòng)能定理,易得小木塊動(dòng)能減少了Ffs1,長(zhǎng)板動(dòng)能增加了Ffs2,而一對(duì)摩擦力做的總功就是W1+W2=-FfL,這就是耗散產(chǎn)生的熱量．

然而,對(duì)于上面的這種解釋,總是有一些愛(ài)鉆研的同學(xué)會(huì)提出這樣的問(wèn)題:木板對(duì)小木塊做了-Ffs1的功,木板將從木塊那里得到Ffs1的能量，而木塊對(duì)木板做了Ffs2的功,木塊將給木板Ffs2的能量，那么事實(shí)上木塊到底給了木板多少能量呢?

這個(gè)問(wèn)題里涉及滑動(dòng)摩擦力,其實(shí)滑動(dòng)摩擦力的成因非常復(fù)雜,我們并不十分清楚,但可以認(rèn)為滑動(dòng)摩擦力應(yīng)該是接觸面上若干個(gè)分子之間相互作用的結(jié)果,所以滑動(dòng)摩擦力Ff應(yīng)該是若干個(gè)分子間作用力Ffi的合力,即Ff=∑Ffi．實(shí)際上,我們不可能去研究出每個(gè)分子在相互作用時(shí)的位移si,因此我們?cè)谟?jì)算摩擦力做功時(shí)就只有一個(gè)選擇了:直接用∑Ffi乘以質(zhì)心的位移sc．因此,筆者認(rèn)為:滑動(dòng)摩擦力做功為狹義功,不可以拿來(lái)討論功能關(guān)系!由此可知,上面的W1和W2都是贗功,都不能描述木塊給了木板多少能量,只能描述木塊和木板的(質(zhì)心)動(dòng)能變化．至于生熱Q=Ffs相對(duì)=FfL是能量轉(zhuǎn)化的結(jié)果,它在任何參考系里看也不可能是廣義功,因此Ffs相對(duì)也不能拿來(lái)描述功能關(guān)系,只能用來(lái)表示耗散的機(jī)械能．

同樣,還是在人教版高中物理教材《必修2》第7章第2節(jié)“功”當(dāng)中,還說(shuō)了這樣一段話:“當(dāng)一個(gè)物體在幾個(gè)力的共同作用下發(fā)生一段位移時(shí),這幾個(gè)力對(duì)物體所做的總功,等于各個(gè)力分別對(duì)物體所做功的代數(shù)和．可以證明,它也就是這幾個(gè)力的合力對(duì)物體所做的功．” 然而,應(yīng)當(dāng)注意的是,這段話只是對(duì)狹義功才是正確的,因?yàn)樵谟?jì)算狹義功時(shí),可以有

②

若是對(duì)于廣義功,系統(tǒng)各質(zhì)點(diǎn)的位移可能不同,則合力該乘以誰(shuí)的位移呢?就算乘質(zhì)心,也是

②

因此,教材中的這段話對(duì)于廣義功是不對(duì)的,所以,教材這樣處理其實(shí)有點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生們走狹義功和動(dòng)能定理這條路的意思．不過(guò)這樣做也很有道理,畢竟,滑動(dòng)摩擦力做功的問(wèn)題是回避不了的,而按前文中的觀點(diǎn),滑動(dòng)摩擦力做功都只能是狹義功．

廣義功和狹義功這2種功的形式我們都應(yīng)該關(guān)注并且了解,廣義功拿來(lái)算功能關(guān)系,狹義功用來(lái)解決質(zhì)心動(dòng)能,各有意義,沒(méi)有優(yōu)劣之分,我們不能完全回避某一種功,也不能將這2種功混淆使用．其實(shí),有很多能量問(wèn)題如果能從廣義功和狹義功2個(gè)方面都做分析,往往可以理解得更加透徹．

分析假設(shè)汽車的截面積為A,當(dāng)汽車以一定速度運(yùn)動(dòng)時(shí),將推動(dòng)前方的空氣使之獲得相應(yīng)的速度,則在Δt時(shí)間內(nèi),車前方以A為底、vΔt為高的柱形空氣獲得的動(dòng)能ΔEk=Δmv2/2=ρAvΔt×v2/2.

在上面的解答中,能量的計(jì)算是存在問(wèn)題的,因?yàn)榭諝庠黾拥牟粌H是動(dòng)能,還有熱力學(xué)能．

方法1換做以車為參考系來(lái)看這個(gè)問(wèn)題,在車系中,空氣以速率v迎面刮來(lái),遇到車就停了,則在Δt時(shí)間內(nèi),以A為底、vΔt為高的柱形空氣的整體動(dòng)能全部都轉(zhuǎn)化成熱力學(xué)能

這部分生熱在地面系中看也是一樣多的(熱力學(xué)能一般默認(rèn)為相對(duì)質(zhì)心系的分子動(dòng)能、勢(shì)能之和),所以在Δt時(shí)間內(nèi),車需付出的功率

方法2該題也可以先利用動(dòng)量定理先求出車和空氣之間的相互作用力大小.在Δt時(shí)間內(nèi),車前方以A為底、vΔt為高的柱形空氣增加的動(dòng)量等于車對(duì)空氣的沖量，即FΔt=ρAvΔt×v.車克服空氣阻力所做的廣義功對(duì)應(yīng)的能量應(yīng)該全部來(lái)自于汽車動(dòng)力系統(tǒng),于是有P=Fv=ρAv3=6 018 W.

方法3該題也可以對(duì)車前方以A為底、vΔt為高的柱形空氣使用質(zhì)心動(dòng)能定理,需要注意的是,這時(shí)F做功應(yīng)當(dāng)用狹義功,即乘以這團(tuán)氣體的質(zhì)心位移,容易看出,當(dāng)這部分柱形空氣經(jīng)過(guò)Δt時(shí)間被全部堆積到一起時(shí),氣體質(zhì)心位移Δsc=vΔt/2.

于是,對(duì)氣體的質(zhì)心動(dòng)能定理

FΔsc=FvΔt/2=ρAvΔt×v2/2.

也可以得到F=ρAv2,再進(jìn)一步用廣義功求得功率,與前面2種解法結(jié)果一致．

總結(jié):廣義功和狹義功的區(qū)別對(duì)于理解功能關(guān)系和動(dòng)能定理至關(guān)重要．對(duì)于滑動(dòng)摩擦力做功,筆者將其歸為狹義功的理解方式可以有效地解決很多問(wèn)題,此法可以供大家參考．