張偉俊

突破“集中趨勢(shì)”，縮小“離散程度”

張偉俊

數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)反映一組數(shù)據(jù)的平均水平，通常可以用平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)來刻畫；數(shù)據(jù)的離散程度反映一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況，通?？梢杂脴O差、方差來刻畫.下面，我們來梳理一下數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)與離散程度在中考中的考點(diǎn).

一、求平均數(shù)

例1（2016·江蘇鹽城）甲、乙兩位同學(xué)參加數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)測(cè)試，各項(xiàng)成績(jī)?nèi)缦拢▎挝唬悍郑?/p>

綜合與實(shí)踐90 86學(xué)生甲學(xué)生乙數(shù)與代數(shù)90 94空間與圖形93 92統(tǒng)計(jì)與概率89 94

如果數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、統(tǒng)計(jì)與概率、綜合與實(shí)踐的成績(jī)按3∶3∶2∶2計(jì)算，那么甲、乙的數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)成績(jī)分別為多少分？

【解析】運(yùn)用加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算：甲的數(shù)學(xué)綜合素質(zhì)成績(jī)?yōu)閿?shù)學(xué)綜合素質(zhì)成績(jī)?yōu)?/p>

【點(diǎn)評(píng)】在實(shí)際生活中，一組數(shù)據(jù)中各個(gè)數(shù)據(jù)的重要程度并不總是相同的，有時(shí)有些數(shù)據(jù)比其他數(shù)據(jù)更重要.所以，我們?cè)谟?jì)算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)時(shí)，往往根據(jù)其重要程度，分別給每個(gè)數(shù)據(jù)一個(gè)“權(quán)”.一般地，對(duì)于n個(gè)數(shù)x1，x2，…，xn，它們的權(quán)依次為w1，w2，…，wn，則稱為這組數(shù)據(jù)的加權(quán)平均數(shù).

二、求中位數(shù)和眾數(shù)

例2（2016·江蘇蘇州）根據(jù)國(guó)家發(fā)改委實(shí)施“階梯水價(jià)”的有關(guān)文件要求，某市結(jié)合地方實(shí)際，決定從2016年1月1日起對(duì)居民生活用水按照新的“階梯水價(jià)”標(biāo)準(zhǔn)收費(fèi)，某中學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組的同學(xué)們?cè)谏鐣?huì)實(shí)踐活動(dòng)中調(diào)查了30戶家庭某月的用水量，如下表所示：

35 5用水量（噸）戶數(shù)15 3 20 6 25 7 30 9

則這30戶家庭該月用水量的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（）.

A.25，27.5B.25，25

C.30，27.5D.30，25

【解析】由統(tǒng)計(jì)表可知，這組數(shù)據(jù)一共有30個(gè)數(shù)據(jù)，分別是3個(gè)15，6個(gè)20，7個(gè)25，9個(gè)30和5個(gè)35，其中30出現(xiàn)的次數(shù)最多，達(dá)9次，因此所求眾數(shù)為30；同時(shí)可以將這30個(gè)數(shù)據(jù)理解成是從小到大排列的，中位數(shù)是第15、16個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由于第15、16個(gè)數(shù)據(jù)都是25，因此所求中位數(shù)為25.故選D.

【點(diǎn)評(píng)】眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù).中位數(shù)是將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個(gè)數(shù)，或者是處于最中間位置上的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù).也就是說：如果一組數(shù)據(jù)共有n個(gè)，那么按照大小順序排列后，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中位數(shù)就是第個(gè)數(shù)，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中位數(shù)就是第）個(gè)數(shù)的平均數(shù).

例3（2016·山東威海）某電腦公司銷售部為了定制下個(gè)月的銷售計(jì)劃，對(duì)20位銷售員本月的銷售量進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，繪制成如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖，則這20位銷售人員本月銷售量的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)分別是（）.

A.19，20，14B.19，20，20

C.18.4，20，20D.18.4，25，20

【解析】由扇形統(tǒng)計(jì)圖可知：銷售12臺(tái)的人數(shù)是20×20%=4（人），銷售14臺(tái)的人數(shù)是20×25%=5（人），銷售20臺(tái)的人數(shù)是20×40%= 8（人），銷售30臺(tái)的人數(shù)是20×15%=3（人），所以這20位銷售人員本月銷售量的平均數(shù)為（臺(tái)）；把這些數(shù)從小到大排列，第10、11個(gè)數(shù)均為20，所以中位數(shù)為20；銷售20臺(tái)的人數(shù)最多，所以眾數(shù)為20.故答案選C.

【點(diǎn)評(píng)】扇形統(tǒng)計(jì)圖中的信息，還可以直接理解成“12臺(tái)”的權(quán)為“20%”，“14臺(tái)”的權(quán)為“25%”，“20臺(tái)”的權(quán)為“40%”，“30臺(tái)”的權(quán)為“15%”，所以這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為12×20%+ 14×25%+20×40%+30×15%=18.4（臺(tái)）；扇形統(tǒng)計(jì)圖中，從“12臺(tái)”起順時(shí)針方向排列可以看成是將數(shù)據(jù)從小到大排列，累計(jì)第50%、51%的位置都對(duì)應(yīng)“20臺(tái)”，所以中位數(shù)為20；“20臺(tái)”的權(quán)重最大，達(dá)“40%”，所以眾數(shù)為20.這樣一種理解，既簡(jiǎn)單，也更趨于本質(zhì).

三、求方差

例4（2016·四川達(dá)州）已知一組數(shù)據(jù)0，1，2，2，x，3的平均數(shù)是2，則這組數(shù)據(jù)的方差是_______.

【解析】由“這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是2”易求得x=4，然后運(yùn)用方差公式求出這組數(shù)據(jù)的方差為=.故答案為.

【點(diǎn)評(píng)】描述一組數(shù)據(jù)的離散程度的方差是指這組數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方的平均數(shù)，如果一組數(shù)據(jù)x1、x2、…、xn的平均數(shù)為-x，那么它的方差可表示為s2=［（x1--x）2+（x2-）2+…+（xn--x）2］.

四、數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的靈活應(yīng)用

例5（2016·湖南懷化）某校進(jìn)行書法比賽，有39名同學(xué)參加預(yù)賽，只能有19名同學(xué)參加決賽，他們預(yù)賽的成績(jī)各不相同，其中一名同學(xué)想知道自己能否進(jìn)入決賽，不僅要了解自己的預(yù)賽成績(jī)，還要了解這39名同學(xué)預(yù)賽成績(jī)的（）.

A.平均數(shù)B.中位數(shù)

C.方差D.眾數(shù)

【解析】39個(gè)不同的成績(jī)按大小順序排列后，中位數(shù)之前的共有19個(gè)數(shù)，所以只要知道自己的成績(jī)和中位數(shù)就可以知道是否進(jìn)入決賽.故答案選B.

【點(diǎn)評(píng)】當(dāng)一組數(shù)據(jù)中個(gè)別數(shù)據(jù)與其他數(shù)據(jù)的大小差異很大時(shí)，通常用中位數(shù)來描述這組數(shù)據(jù)的集中程度.中位數(shù)從“中等水平”的角度（位置處于“最中間”）描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，克服了極端值對(duì)“平均水平”的影響.

例6（2015·浙江寧波）在端午節(jié)到來之前，學(xué)校食堂推薦了A，B，C三家粽子專賣店，對(duì)全校師生愛吃哪家店的粽子作調(diào)查，以決定最終向哪家店采購.下面的統(tǒng)計(jì)量中，最值得關(guān)注的是（）.

A.方差B.平均數(shù)C.中位數(shù)D.眾數(shù)

【解析】學(xué)校食堂最應(yīng)該關(guān)注的是哪家粽子專賣店愛吃的人數(shù)最多，由于眾數(shù)是數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，所以學(xué)校食堂最應(yīng)該關(guān)注的是統(tǒng)計(jì)調(diào)查數(shù)據(jù)的眾數(shù).故答案選D.

【點(diǎn)評(píng)】眾數(shù)從“多數(shù)水平”的角度描述一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有較多重復(fù)數(shù)據(jù)時(shí)，通常選擇用眾數(shù)描述這組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì).

五、數(shù)據(jù)離散程度的靈活應(yīng)用

例7（2016·河南）下表記錄了甲、乙、丙、丁四名跳高運(yùn)動(dòng)員最近幾次選拔賽成績(jī)的平均數(shù)與方差：

180 8.1甲乙丙丁平均數(shù)（cm）方差185 3.6 180 3.6 185 7.4

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，要從中選擇一名成績(jī)好且發(fā)揮穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)員參加比賽，應(yīng)該選擇（）.

A.甲B.乙C.丙D.丁

【解析】從平均數(shù)的角度看，甲、丙的平均水平相等，高于乙、丁，可以排除乙、丁兩人.從方差的角度看，甲的方差小于丙的方差，甲的發(fā)揮比丙穩(wěn)定.故答案選A.

【點(diǎn)評(píng)】一組數(shù)據(jù)的方差越大，說明這組數(shù)據(jù)的離散程度越大，越不穩(wěn)定.題目中“成績(jī)好且發(fā)揮穩(wěn)定”，也就是要平均成績(jī)高且方差小，由此可以作出選擇.

由上述題型可以看出，數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)和離散程度在中考中的考查題型不多，難度不大，只要你能熟練理解平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差的意義和求法，你就一定能在這部分的考查中穩(wěn)操勝券.

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)湖塘實(shí)驗(yàn)中學(xué)）