俞 瑩

（東北林業(yè)大學(xué) 物理系，黑龍江 哈爾濱 150040）

周期個數(shù)設(shè)定對三線擺測量重力加速度的影響

俞 瑩

（東北林業(yè)大學(xué) 物理系，黑龍江 哈爾濱 150040）

通過三線擺法測量三線擺下圓盤轉(zhuǎn)動慣量原理，推導(dǎo)出利用三線擺法測量重力加速度表達式。為了提高三線擺法測量哈爾濱地區(qū)重力加速度的準確性，設(shè)定轉(zhuǎn)動周期個數(shù)分別為5、10、20、30、40和50個。研究設(shè)定不同轉(zhuǎn)動周期個數(shù)，空氣阻力及懸線間摩擦對三線擺法所測重力加速度準確度的影響。發(fā)現(xiàn)設(shè)置測量周期個數(shù)為40個時，所測得的重力加速度最接近哈爾濱地區(qū)實際重力加速度值。

三線擺；轉(zhuǎn)動周期；轉(zhuǎn)動慣量；重力加速度

重力加速度是物理學(xué)中的一個重要參量。對其數(shù)值的準確測量對人們的日常生活、國防建設(shè)、科學(xué)研究都有著巨大的意義。在大學(xué)物理實驗中常常利用單擺法、氣墊導(dǎo)軌法來測量本地區(qū)的重力加速度［1-2］。三線擺法在大學(xué)物理實驗教學(xué)中多數(shù)被采用測量剛體轉(zhuǎn)動慣量［3-4］。利用三線擺測量剛體轉(zhuǎn)動慣量的公式中含有參量重力加速度，因此可以設(shè)計利用三線擺測量本地區(qū)的重力加速度。

本文利用三線擺法通過轉(zhuǎn)動慣量原理推導(dǎo)重力加速度表達式。針對周期測量對重力加速度的準確度產(chǎn)生的影響進行分析。在測量中采用多功能微秒計DHTC-1測量物體繞中心軸轉(zhuǎn)動的周期大小。由于空氣阻力及懸線間摩擦對轉(zhuǎn)動時間的影響而導(dǎo)致對周期測量結(jié)果產(chǎn)生很大的影響。為了提高三線擺轉(zhuǎn)動周期測量的準確性，下面利用改變周期測量個數(shù)的方法，分析周期對重力加速度值的影響。

1 理論推導(dǎo)和分析

1.1 重力加速度公式推導(dǎo)

圖1為三線擺的扭轉(zhuǎn)示意圖。設(shè)上圓盤懸點至圓心O的距離為r，下圓盤懸點到圓心O′的距離為R，上下圓盤靜止時的距離為H，懸線長為 L（懸線為不易拉伸的細線），下圓盤的質(zhì)量為M，下圓盤繞OO′軸的轉(zhuǎn)動慣量為I。下圓盤懸線間距離為b，上圓盤懸線間距離為a。在下盤扭動時，若某時刻其離開平衡位置的角度（角位移）為θ，當(dāng)下盤離開平衡位置最遠時，其中心升高h。

圖1 三線擺的扭轉(zhuǎn)示意圖

根據(jù)簡諧振動得到角位移方程:

根據(jù)機械能守恒定律有:

即:

轉(zhuǎn)動的角速度為:

將式（1）帶入式（4）可得:

將式（6）帶入式（3）得:

從圖中的幾何關(guān)系可以得到下列關(guān)系式:

將式（10）帶入式（8）得:

聯(lián)立式（9）和式（11）可得:

下圓盤轉(zhuǎn)動慣量（薄圓盤轉(zhuǎn)軸通過中心與盤面垂直）的理論公式其中R′為下圓盤的半徑，其值大于懸線到中心的距離R的值，d代表下圓盤直徑。

利用比較法可得:

整理式（14）可得重力加速度:

2.2 實驗數(shù)據(jù)及誤差分析

如表1所示，為計算重力加速度時所需要的長度測量數(shù)據(jù)；表2為由圖1中的幾何關(guān)系計算得到的R，r，H，R′值；表3為轉(zhuǎn)動時間的選擇同周期大小的關(guān)系。

表1 長度測量結(jié)果數(shù)據(jù)表

表2 由圖1中的幾何關(guān)系得到的R，r，H，R′值

表3 周期次數(shù)的選擇同周期大小的關(guān)系

由表1～表3得到不同周期個數(shù)下的重力加速度分別為g1=10.23 m/s2，g2=10.30 m/s2，g3= 10.17 m/s2，g4=10.18 m/s2，g5=9.83 m/s2和g6=10.19 m/s2。根據(jù)全國各地重力加速度表得到哈爾濱重力加速度為9.806 6 m/s2。在上述重力加速度中最接近哈爾濱實際重力加速度的為g5，其轉(zhuǎn)動時間選擇為40個測量周期的時間。

由實驗結(jié)果發(fā)現(xiàn)，當(dāng)測量少于40個周期時，所測得的重力加速度大于實際值。分析產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因是因為圓盤開始扭轉(zhuǎn)時懸線由靜到動，則使得懸線和圓盤小孔之間產(chǎn)生摩擦力，下圓盤的簡諧振動不規(guī)律，需要經(jīng)過一段時間才能使懸線自如轉(zhuǎn)動。因此測量的周期數(shù)少則會因為很難克服懸線和圓盤小孔之間摩擦力的影響，而使得測量結(jié)果誤差大；測量的周期數(shù)越多，摩擦力產(chǎn)生的影響就越小。然而當(dāng)測量為50個周期時，所測得的重力加速度也大于實際值重力加速度。這是由于空氣阻力對周期產(chǎn)生的影響也使得測量的周期小于實際值。測量的周期個數(shù)越多，受空氣阻力影響越大，三線擺轉(zhuǎn)動周期越小于實際值。

因此為了克服空氣阻力和懸線摩擦力的影響，選擇適合的轉(zhuǎn)動周期個數(shù)，提高三線擺法測重力加速度的準確性。

2 結(jié)束語

設(shè)定適當(dāng)?shù)娜€擺轉(zhuǎn)動周期個數(shù)，有利于克服空氣阻力和懸線與圓盤小孔間的摩擦力對三線擺轉(zhuǎn)動慣量測量時所產(chǎn)生的影響。通過本文的分析，在哈爾濱地區(qū)利用三線擺測量下圓盤的轉(zhuǎn)動慣量選擇40個測量周期為最佳。

［1］蘇潤洲，蘭城，崔金剛.大學(xué)物理實驗［M］.青島:哈爾濱工程大學(xué)，2012，32-34.

［2］欒照輝，張穎，陸世杰，等.大學(xué)物理實驗［M］.北京:中國電力出版社，2014，48-50.

［3］溫千宏，尹安東，孫俊，等.汽車復(fù)雜旋轉(zhuǎn)部件轉(zhuǎn)動慣量測試方法的研究［J］.安徽工學(xué)院學(xué)報.1997，16（4）:44-46.

［4］張代勝，胡璽良，袁玲.三線擺法測量復(fù)雜構(gòu)件轉(zhuǎn)動慣量的誤差分析［J］.農(nóng)業(yè)機械學(xué)報.2008，39（3）: 37-40.

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Influence of the Number of Cycles to the Gravity Acceleration Measured by Three Line Pendulum

YU Ying
（Department of Physics，Northeast Forestry University，Haerbin 150040，China）

The three wire pendulum method was used to deduce the rotary inertia of the three wire pendulum.Furthermore，the principle was used to deduce the expression of acceleration of gravity.In order to improve the accuracy of gravity acceleration in Harbin area by three wire pendulum method，the rotation period number is 5，10，20，40，30 and 50，respectively.The impact of the air resistance and friction between suspension lines to acceleration of gravity was analyzed by choosing different the number of rotation period.According to the compare between the Haerbin gravity acceleration of experiment and Haerbin gravity acceleration of reasonable，the optimal numbers of rotation period is 40.

three-line pendulum；rotation period；moment of inertia；gravity acceleration

O4

A

10.3969/j.issn.1672-4550.2016.05.007

2015-07-12；修改日期：2015-08-12

俞 瑩（1981-），女，博士，講師，主要從事光學(xué)方面的研究。