黃志遠(yuǎn)，馮永平，易璇

（廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州　510006）

一類小周期橢圓方程的三重尺度漸近分析

黃志遠(yuǎn)，馮永平，易璇

（廣州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州510006）

利用三重尺度方法對一類小周期橢圓方程進(jìn)行了三重尺度漸近展開分析，構(gòu)造了對應(yīng)的三重尺度形式漸近展開式，得到了均勻化常數(shù)和均勻化方程.在形式漸近展開的基礎(chǔ)上，構(gòu)造了對應(yīng)邊值問題解的三重尺度漸近近似解，并分析了對應(yīng)三重尺度形式漸近誤差估計(jì).

橢圓方程；三重尺度方法；漸近展開

1　引言

自上世紀(jì)70年代，對某類小周期問題用傳統(tǒng)數(shù)值計(jì)算需要進(jìn)行精細(xì)網(wǎng)格剖分，從而使得求解線性方程組計(jì)算量非常大，為了克服這一困難，均勻化和雙尺度漸近展開方法逐漸發(fā)展了起來.利用雙尺度漸近展開思想得到了具有高階震蕩系數(shù)的漸近展開式并成功地降低了計(jì)算量［1］.曹、崔［2］等人解決了一類有周期性局部約束且系數(shù)呈現(xiàn)小周期大幅度變化的橢圓型邊值問題，同時也給出了整周期復(fù)合材料彈性結(jié)構(gòu)的雙尺度漸近分析.文獻(xiàn)［3］中用雙尺度方法給出具有小周期結(jié)構(gòu)復(fù)合材料熱力耦合問題的多尺度分析和有限元算法.

多尺度是先建立不同尺度的數(shù)學(xué)模型，再通過某些方法將不同尺度聯(lián)系起來，可系統(tǒng)地分析材料的性能.多尺度方法在國內(nèi)始于上世紀(jì)90年代，現(xiàn)階段在計(jì)算機(jī)、生物醫(yī)學(xué)、金屬等領(lǐng)域的研究相對較多.1995年，楊衛(wèi)等開始了微宏觀斷裂力學(xué)的研究，并取得一定的成果.2007年以前，許多研究細(xì)觀模型的學(xué)者無法解釋材料的顯微結(jié)構(gòu)和性能之間的關(guān)系，直到2007年，Tan［4］初步建立了水化模型與晶格斷裂模型之間的聯(lián)系.2009年李兆霞［5］等針對大型土木結(jié)構(gòu)的多尺度模擬展開研究，實(shí)現(xiàn)了小尺度建模與大尺度建模的聯(lián)系.文獻(xiàn)［6］中通過引入細(xì)觀尺度和宏觀尺度，描述細(xì)觀單胞的非均勻化構(gòu)造和宏觀均勻化結(jié)構(gòu)，建立了復(fù)合材料內(nèi)部溫度場和位移場的雙尺度表達(dá)式.但某些問題有更強(qiáng)的多尺度性，傳統(tǒng)的雙尺度展開方法已很難處理具有多重尺度的結(jié)構(gòu)分析與評價.

在實(shí)際中經(jīng)常碰到具有多重尺度的材料性能評價.特別地，不同的微觀尺度和介觀尺度的選取會對不均勻材料的力學(xué)性能分析有直接的影響作用.根據(jù)不均勻材料的多尺度表現(xiàn)，定義介觀尺度部分的尺度元素為ε1=ε，其表示在介觀尺度下最基本的尺度單元.定義微細(xì)觀尺度部分的尺度元素為ε2=ε2，表示在微細(xì)觀尺度下最基本的尺度單元.通常在數(shù)學(xué)上用下面的具有小周期系數(shù)的橢圓微分方程刻畫具有多尺度性能材料的熱傳導(dǎo)行為：

2　θε（x）的三重尺度漸近展開式

將（1.3）-（1.5）式代入（1.1），逐次逐項(xiàng)進(jìn)行整理后，其左端按ε的不同冪次可排列如下：

其右端項(xiàng)為-h（x）.由于ε的任意性，比較等式兩邊ε-4，ε-3，ε-2，ε-1，ε0，···，的對應(yīng)系數(shù)，得到下列等式，

定理 2.1假設(shè) h（x），θ0（x）在 ?ε內(nèi)足夠光滑，則（1.1）存在如（1.2）形式的漸近解，其中（1）θ0（x）為均勻化解，由方程（2.24）確定.（2）θI（x），θII（x），θIII（x），θIV（x）分別由（2.7），（2.10），（2.18），（2.27）確定.為一級均勻化常數(shù)，由（2.17）確定.為材料的均勻化常數(shù)，由（2.25）確定.（4）θI（x），θII（x），θIII（x），θIV（x）中構(gòu)造的小周期單胞函數(shù)分別由（2.12），（2.16），（2.19），（2.20）和（2.29）定解.滿足相應(yīng)的正則性條件.

3 θε（x）的漸近誤差估計(jì)

在實(shí)際計(jì)算中經(jīng)常運(yùn)用如下的近似漸近計(jì)算公式：

對上式近似解，有以下的近似漸進(jìn)誤差估計(jì).

定理3.1設(shè)θε（x）是問題（1.1）的弱解，如果θ0（x）∈H3（?），h（x）∈H2（?），則有

4　結(jié)論

對具有三重尺度的小周期橢圓問題，鑒于傳統(tǒng)的均勻華方法與雙尺度方法很難得到其解的漸近表示.利用逐次構(gòu)造的方法，構(gòu)造性地得到了相應(yīng)的三重尺度漸近展開.對于該展開，分析了其相應(yīng)的漸近近似解，討論了其近似解的誤差估計(jì).理論上，于其均勻化性能分析建立了相應(yīng)的分析依據(jù).在數(shù)值計(jì)算中為構(gòu)造相應(yīng)的多尺度算法提供了理論依據(jù).

［1］王自強(qiáng)，宋士倉，曹俊英.小周期復(fù)合材料熱傳導(dǎo)問題的雙尺度漸近展開及收斂性分析［J］.高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報：A輯，2008，02：145-152.

［2］Cao L Q.Asymptotic expansion and convergence theorem of control and obser-vation on the boundary for second-order elliptic equation with highly oscillatory coefficients［J］.Math.Model and Meth.in Applied Sci.，2004，14（3）：417-437.

［3］Feng Y P，Cui J Z.Multi-scale analysis for the structure of composite materials with small periodic configuration under condition of coupled thermoelasticity［J］.Acta Mechanica Sinica，2003，19（6）：585-592.

［4］Tan Likun.Failure Mechanisms in Hydrating Cement Particle Systems［D］.Delft University of Technology：Delft University Press，2007.

［5］孫正華，李兆霞，陳鴻天.大型土木結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)行為一致多尺度模擬――模擬方法與策略［J］.計(jì)算力學(xué)學(xué)報，2009（6）：886-892.

［6］吳世平，唐紹鋒，梁軍等.周期性復(fù)合材料熱力耦合性能的多尺度方法［J］.哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2006，12：2049-2053.

［7］Guan X F，Liu X，Jia X et al.A stochastic multiscale model for predicting the mechanical properties of fiber reinforced concrete［J］.International Journal of Solids and Structures，2015，56：280-289.

［8］Feng Y P，Cui J Z.Multi-scale fe computation for the structures of composite materials with small periodic configuration under condition of coupled thermoelasticity［J］.Acta Mechanica Sinica，2004（1）：54-63.

［9］劉曉青，曹禮群，崔俊芝.復(fù)合材料彈性結(jié)構(gòu)的高精度多尺度算法與數(shù)值模擬［J］.計(jì)算數(shù)學(xué)，2001（3）：369-384.

2010 MSC:35J15

The asymptotic expression based on the triple-scale method for one class of small periodic elliptic equation

Huang Zhiyuan，F(xiàn)eng Yongping，Yi Xuan
（School of Mathematics and Information Sciences，Guangzhou University，Guangzhou510006，China）

By means of the triple-scale method the asymptotic expression for one class of small periodic elliptic equation is analyzed.Firstly，the formal asymptotic expansion is constructed，and the homogenization constants and equation are obtained.Then based on formal asymptotic expansion the asymptotic approximation solution is constructed and the corresponding error is analyzed.

elliptic equation，triple-scale method，asymptotic expansion

O178

A

1008-5513（2016）05-0495-10

10.3969/j.issn.1008-5513.2016.05.001

2016-06-20.

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11671304）；廣州市屬高?？萍加?jì)劃基金（1201430652）.

黃志遠(yuǎn)（1991-），碩士生，研究方向：應(yīng)用偏微分方程.

馮永平（1975-），博士，教授，研究方向：偏微分方程數(shù)值解.