劉昌東，江 如，柴華金

（廣東海洋大學(xué)理學(xué)院，廣東 湛江 524088）

一類具群體防御狀態(tài)及Holling III型功能反應(yīng)的捕食系統(tǒng)正周期解的全局吸引性

劉昌東，江 如，柴華金

（廣東海洋大學(xué)理學(xué)院，廣東 湛江 524088）

應(yīng)用微分方程比較原理，重合度理論中的Mawhin's延拓定理和Lyapunov函數(shù)研究一類具有相互干擾和群體防御狀態(tài)及Holling III型功能反應(yīng)的捕食系統(tǒng)正周期解的存在性和全局吸引性。推廣了有關(guān)文獻(xiàn)的研究和結(jié)果。

功能反應(yīng)模型；正周期解；Lyapunov函數(shù)；全局吸引性；Mawhin延拓定理

在自然界眾多物種于同一生態(tài)環(huán)境中共存，它們之間必然相互影響，這是一種自然界的普遍現(xiàn)象.為描述和研究生物間的這種現(xiàn)象，數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)者建立了種類多樣的數(shù)學(xué)生態(tài)微分模型.1971年Hassell在觀察研究兩個(gè)物種的行為特征時(shí)，提出了一個(gè)同時(shí)考慮到密度制約，功能性反應(yīng)和相互干擾時(shí)捕食者和被捕食者之間競爭的一般微分模型［1］

其中x（t），y（t）分別表示被捕食和捕食種群在時(shí)刻t的密度，g（x）是食餌種群在沒有捕食者存在時(shí)的增長率，m（0＜m＜1）為相互干擾常數(shù)，p（x）為捕食者的功能性反應(yīng)函數(shù)（捕食者的捕食率）.近年來，這一模型的一些特殊的時(shí)變形式被廣泛研究，如文獻(xiàn)［2-7］。

朱和王［2］研究了一類互相干擾和具有Holling II型功能性反應(yīng)模型

王和杜等［4］，呂和杜［5］研究了一類具有相互干擾和Holling III型功能性反應(yīng)的Lotka-Volterra模型

并且都獲得上述兩類模型正周期解的存在性和全局吸引性的充分條件。

本文研究一類更一般的具有相互干擾和在群體防御狀態(tài)下的Holling III型功能性反應(yīng)模型［8］

初始值

其中x（t），y（t）表示被捕食種群和捕食種群在時(shí)刻t的密度，ai（t），bi（t）和ri（t）（i=1，2）及 di（t）（i=1，2）均定義在［0，+∞）上的正-ω周期連續(xù)函數(shù)，0＜m＜1為干擾系數(shù)，其余詳細(xì)的生態(tài)意義見文獻(xiàn)［1-8］。本研究獲得該系統(tǒng)的解的最終有界性，正周期解的存在性和全局吸引性的充分條件，推廣了文獻(xiàn)［2，4-5］的研究。

為研究方便，我們引入下面記號：對于［0，+∞）上的連續(xù)函數(shù)f（t），記

顯然系統(tǒng)式（2）包含了系統(tǒng)式（1）作為特例，故本研究推廣了文獻(xiàn)［4-5］的研究。

1 解的有界性

設(shè)f（t）在［0，+∞）上連續(xù)，則不難證明初值問題

的解x（t）＞0在［0，+∞）上恒成立。

據(jù)此，對系統(tǒng)式（2）積分可知，系統(tǒng)式（2）滿足初值式（3）的解（x（t），y（t））T存在且均為正解，即當(dāng)

引理1.1 設(shè)x（t）是初值問題

或

由比較原理得

或

故存在T1＞0，當(dāng)t＞T1時(shí)，

證畢。

引理1.2 設(shè)p＞0，q＞0為常數(shù)，x（t）是初值問題

或

的解，則存在T2＞0，當(dāng)t＞T2時(shí)，

證明 用證明引理1.1的方法可得。

下面用引理1.1和引理1.2證明系統(tǒng)式（2）的解最終有界性。

定理1.1 設(shè)（x（t），y（t））T是系統(tǒng)式（2）滿足初值式（3）的解，則存在正常數(shù)Ki，Li（i=1，2）和T＞0，當(dāng)t＞T時(shí)有

這里L(fēng)i，Ki（i=1，2）在下面證明中給出。

證明 由式（2）的第1個(gè)方程得

根據(jù)引理1.1，存在T1＞0，當(dāng)t＞T1時(shí)

由式（2）的第2個(gè)方程得

根據(jù)引理1.2，存在T2＞T1，當(dāng)t＞T2時(shí)

再由式（2）第1個(gè)方程得

根據(jù)引理1.1，存在T3＞T2，當(dāng)t＞T3時(shí)

接著由式（2）的第2個(gè)方程得

根據(jù)引理1.2，存在T4＞T3，當(dāng)t＞T4時(shí)，有

綜合式（4），（5），（6）和式（7）知，存在T＞T4，當(dāng)t＞T時(shí)，有

而且Ki，Li（i=1，2）均與系統(tǒng)式（2）的任何解無關(guān)，僅由系統(tǒng)的系數(shù)決定。證畢。

2 周期解的存在性

先引入Mawhin延拓定理。

定義2.1［9］設(shè)X和Y是兩個(gè)Banach空間，

是一個(gè)線性映射，如果滿足條件：（i）ImL是Y的閉子空間；，則稱L是指標(biāo)為零的Fredholm算子。

設(shè)L是指標(biāo)為零的Fredholm算子，則存在線性投影算子

滿足

并且

映射

是可逆映射，其逆記為KP，則

定義2.2［9］設(shè)

是指標(biāo)為零的Fredholm算子，Ω?X是任一開集，N：X →Y是一個(gè)連續(xù)映射。如果QN（）在Y中是有界的，而且是X的相對緊集，則稱N在Ω上是L—緊的。

引理2.1［9］設(shè)X和Y都是Banach空間，是一個(gè)零指標(biāo)的Fredholm算子，Ω?X是一個(gè)有界開集，上是L—緊的。如果下面條件都滿足：

考慮系統(tǒng)

設(shè)

則

代入式（8）得

由式（10）第1式得

所以

由式（10）的第2式得

由式（13）的第1式得

于是有

又由式（13）的第2式得

于是有

綜合式（11），（12），（14）和式（15）可知，對任何t∈［0，］ω，都有

取

則有

證畢。

如果（u，v）T是系統(tǒng)式（9）的一個(gè)常向量解，則有

對上面兩式分別在［0，］ω上積分，并根據(jù)第二積分中值定理得

考慮代數(shù)方程組

其中μ∈［0，1］是一個(gè)參數(shù)。有下面引理。

證明 由式（18）第1式得

由式（18）第2式得

又因式（18）的第1式得

再由式（18）第2式得

若v≥0，則取0為v的一個(gè)下界；

綜合式（19），（20），（21）和式（22）得

證畢。

定理2.1 系統(tǒng)式（2）至少存在一個(gè)正ω-周期解。

令

并賦予范數(shù)

于是有

并可求得

所以根據(jù)Lebesgue控制收斂定理易證QN和KP（I-Q）N均為連續(xù)的。設(shè)任一有界開集Ω?X，因在是有界的，所以與都在［0，ω］一致有界且等度連續(xù)。根據(jù)Arzela-Ascoli定理可知及均為緊致集，因此N在上是L—緊的。特別地，令，我們選取，其中S1，S2由引理2.2及引理2.3的證明式（16-17）、（23-24）所定義，這樣N在上是L—緊的。下面我們驗(yàn)證引理

2.1（Mawhin'延拓定理）的全部條件。

（i）對于每個(gè)

否則，z（t）是系統(tǒng)式（9）的一個(gè)正ω-周期解.由引理2.2知，但 z（t）∈?ΩI DomL，從而有，矛盾。

（iii）選擇J:ImQ→KerL，對每個(gè)z（t）∈ImQ，使得Jz=z，于是對每個(gè)都是一個(gè)常向量，并且

考慮代數(shù)方程組

為方便我們引入記號

至此，我們驗(yàn)證了Mawhin的重合度定理的全部條件都滿足，因此系統(tǒng)（3.1）至少有一個(gè)正 周期解，從而證明系統(tǒng)式（2）至少有一個(gè)正ω-周期解。證畢。

3 系統(tǒng)的全局吸引性

則有

為方便我們引入記號

于是有下面的全局吸引性定理。

定理3.1 如果系統(tǒng)式（2）滿足下列條件：

則系統(tǒng)式（2）有且僅有一個(gè)正ω-周期解，并且是全局吸引的。

其中

因?yàn)?/p>

由微分中值定理知

據(jù)此，當(dāng)α＜1時(shí)，

當(dāng)α＞1時(shí)，

于是由式（31）和式（34）得

故綜合式（35）和式（36）得

（t＞T＞0，其中T與定理2.1同）。

對上式從T到t積分得

文獻(xiàn)［4］，［5］在證明系統(tǒng)的正周期解全局吸引性時(shí)，只對其它初值的周期解證明了是吸引的，而沒有見到證明對系統(tǒng)的任意正解是吸引的。本研究證明了這一結(jié)果。

［1］陳蘭蓀.數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)模型與研究方法［M］.北京：科學(xué)出版社，1998.

［2］ ZHU Y L，WANG K.Existence and global attractivity of positive periodic solution for a predator-prey model with modified Leslie-GowerHolling-type II schemes［J］.Jourmal of mathemtical analysis and applications，2011，384（2）：400-408.

［3］ 黃玉梅.具Holling II類功能反應(yīng)的時(shí)滯擴(kuò)散模型的全局穩(wěn)定性［J］.生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2006，21（3）：370-376.

［4］ WANG X L，DU Z J，LIANG J.Existence and global attractivity of positive periodic solution to a lotkavolterra model［J］.Nonlinear analysis:real world applications，2010，11（5）:4054-4061.

［5］ Lü Y S，DU Z J.Existence and global attractivity of a positive periodic solution to a lotka-volterra model with mutual interference and holling III type functional response［J］.Nonlinear analysis:real world applications，2011，12（6）:3 654-3 664.

［6］朱晶.有毒物影響和Beddington-DeAngelis型功能反應(yīng)的捕食系統(tǒng)的全局吸引性［J］.生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2013，28（4）:716-724.

［7］ WANG K，ZHU Y L.Global attractivity of positive periodic solution for a Volterra model［J］.Appl Math Comput，2008，203（2）:493-501.

［8］陳蘭蓀，陳鍵.非線性生物動(dòng)力系統(tǒng)［M］.北京：科學(xué)出版社，1993.

［9］ GAINES R E，MAWHIN J L.Coincidence degree and nonlinear differential equations［M］.Berlin:spring-verlag，1977.

［10］ GOPULASAMY K.Stability and oscillations in delay differentialequations ofpopulation dynamics［M］.Dordrecht：kluwer academic publishers，1992.

（責(zé)任編輯：任萬森）

GlobalAttractivity of Positive Periodic Solution to a Predator-prey System with Group Defense and HollingⅠⅠⅠType Functional Response

LIU Chang-dong，JIANG Ru，CHAI Hua-jin
（College of Science，Guangdong Ocean University，Zhanjiang 524088，China）

By using the comparison principle of differential equation，Mawhin's continuation theorem of coincidence degree theory and Lyapunov functional，a predator-prey system with mutual interference，group defense and Holling III type functional response is studied.Some results acquired in recent literatures are improved.

Functional response model；Positive periodic solutions；Lyapunov functional；Global attrativity；Mawhin's coincidence theorem

O175.1

A

1673-9159（2016）03-0089-09

10.3969/j.issn.1673-9159.2016.03.015

2016-03-01

劉昌東（1956—），男，副教授，主要研究方向?yàn)槲⒎址匠谭€(wěn)定性理論，Email：jiru1995@163.com