宋　丹,劉　君,晏克俊

(西安理工大學(xué) 機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院,陜西 西安 710048)

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阿基米德蝸輪齒面建模與計(jì)算

宋丹,劉君,晏克俊

(西安理工大學(xué) 機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院,陜西 西安 710048)

本文基于阿基米德蝸輪蝸桿(ZA蝸輪蝸桿)的加工原理及蝸輪蝸桿空間嚙合原理,推導(dǎo)出阿基米德蝸輪齒面數(shù)學(xué)模型及蝸輪蝸桿嚙合方程式。在蝸輪軸截面方向進(jìn)行齒面網(wǎng)格劃分,根據(jù)蝸輪蝸桿嚙合原理以及齒面網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)空間坐標(biāo)的數(shù)值關(guān)系建立非線性方程組。最后通過(guò)MATLAB求解出阿基米德蝸輪空間網(wǎng)格點(diǎn)的坐標(biāo)值及法矢,并在三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)上驗(yàn)證了算法的可行性。

阿基米德蝸輪; 齒面數(shù)學(xué)模型; 網(wǎng)格劃分; 三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)

蝸輪蝸桿作為一種重要的機(jī)械傳動(dòng)元件,廣泛應(yīng)用在機(jī)床、汽車、儀器、冶金等領(lǐng)域。然而在其加工過(guò)程中,由于機(jī)床加工參數(shù)的調(diào)整以及刀具的影響,存在一定的加工和安裝誤差,導(dǎo)致齒面存在一定的誤差,誤差對(duì)傳動(dòng)系統(tǒng)的精度與動(dòng)態(tài)特性(特別是振動(dòng)與噪聲)有直接的影響[1]。因此,有必要研究蝸輪蝸桿的齒面模型,分析并構(gòu)造蝸輪蝸桿的理論齒面,將齒面測(cè)量數(shù)據(jù)和理論齒面坐標(biāo)值進(jìn)行比較,從而得到齒面誤差,并運(yùn)用相關(guān)切齒修正理論和技術(shù)調(diào)整加工機(jī)床,可使加工出來(lái)的齒面更接近于理論齒面。

所以,如何獲取的理論齒面數(shù)據(jù)就成為控制蝸輪蝸桿齒面精度的關(guān)鍵。天津大學(xué)王樹人教授及美國(guó)的Faydor L.Litvin教授等對(duì)蝸桿傳動(dòng)的嚙合理論及蝸輪蝸桿齒面建模進(jìn)行了深入研究,為蝸桿傳動(dòng)提供了理論基礎(chǔ)[2-3]。浙江大學(xué)李立新等以雙三次B樣條插值曲面反算方法為基礎(chǔ),計(jì)算出蝸輪齒面上的離散點(diǎn)[4],但計(jì)算過(guò)程復(fù)雜。目前國(guó)內(nèi)的蝸輪蝸桿都是在國(guó)外的齒輪測(cè)量中心進(jìn)行檢定,比如德國(guó)Klingelnberg及WENZEL的三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)。Klingelnberg公司齒輪測(cè)量中心的技術(shù)水平處于領(lǐng)先地位,我國(guó)計(jì)量院的齒輪樣板的檢測(cè)結(jié)果也以Klingelnberg的檢測(cè)結(jié)果為準(zhǔn)。

本文以ZA蝸輪為例,推導(dǎo)其齒面數(shù)學(xué)模型及嚙合方程式,并規(guī)劃測(cè)量網(wǎng)格,從而求解出蝸輪齒面的理論坐標(biāo)。

1　ZA蝸輪齒面數(shù)學(xué)模型

1.1ZA蝸桿齒面方程

ZA蝸桿是用具有直線刃的梯形刀具在車床上加工而成[5]。刀具前刀面安裝在過(guò)蝸桿軸線的水平位置上,刀具左右兩直線刀刃同時(shí)切削蝸桿齒槽的兩側(cè)面。根據(jù)蝸桿的加工原理,將車刀刃口直線方程進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換,可得蝸桿螺旋面方程式(1):

(1)

式中:α為蝸桿的軸向齒形角;u為車刀直線刃口參數(shù);參變數(shù)θ表示母線從起始位置繞z軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度;p為螺旋參數(shù)。對(duì)于左旋螺旋面,只需把式中pθ前的正號(hào)改為負(fù)號(hào)即可,本文所用蝸桿為右旋蝸桿。

根據(jù)空間嚙合理論,為求蝸輪齒面方程式,先要得到蝸桿齒面的法線n的表達(dá)式。nx1、ny1、nz1為法矢量在x1、y1、z1三個(gè)坐標(biāo)軸上的分量,其大小分別為：

(2)

根據(jù)上式可求得蝸桿齒面的法線矢量在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分量如式(3)所示,其單位法矢如式(4)所示。

(3)

(4)

1.2蝸輪蝸桿嚙合坐標(biāo)系的建立

蝸輪蝸桿嚙合選用三個(gè)坐標(biāo)系,圖1給出了各坐標(biāo)系之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系,∑1[o1;x1,y1,z1]是和蝸桿相固連的動(dòng)坐標(biāo)系,蝸桿軸和z1軸重合;∑2[o2;x2,y2,z2]是和蝸輪相固連的動(dòng)坐標(biāo)系,蝸輪軸和z2軸重合;∑[o;x,y,z]為空間固定坐標(biāo)系,z軸和z1軸重合;∑2’[o2’;x2’,y2’,z2’]是空間輔助固定坐標(biāo)系,z2’軸與z2軸重合。

圖1　蝸輪蝸桿嚙合坐標(biāo)系Fig.1　Meshing coordinate system of worm gear and worm

蝸輪和蝸桿的中心距為A0,φ1、φ2分別指嚙合運(yùn)動(dòng)中蝸桿、蝸輪的轉(zhuǎn)角。蝸桿與蝸輪連續(xù)嚙合時(shí),蝸桿繞z1軸轉(zhuǎn)過(guò)φ1角時(shí)對(duì)應(yīng)的蝸輪繞z2軸轉(zhuǎn)過(guò)φ2角,φ1與φ2的關(guān)系滿足傳動(dòng)比i12=φ1/φ2。

由∑1轉(zhuǎn)換到∑2的轉(zhuǎn)換矩陣見式(5)。

M21=

(5)

1.3ZA蝸輪蝸桿嚙合方程

根據(jù)齒輪嚙合原理,蝸輪蝸桿齒面在任意嚙合瞬時(shí)呈線接觸[5-6],在它們的切點(diǎn)處有公共的法平面和公共的法線n。兩齒面在切點(diǎn)處的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度v12必然和法線垂直,這樣才能保證兩個(gè)齒面能夠連續(xù)接觸,既不會(huì)脫開也不會(huì)發(fā)生干涉。即蝸輪蝸桿嚙合時(shí)應(yīng)滿足方程式(6)。

(6)

假設(shè)蝸桿與蝸輪嚙合時(shí),蝸桿以定角速度ω1繞z1軸旋轉(zhuǎn),蝸輪以定角速度ω2繞z2軸旋轉(zhuǎn),如圖2所示。

圖2　嚙合點(diǎn)相對(duì)速度坐標(biāo)Fig.2　Relative velocity coordinates of meshing point

當(dāng)蝸桿轉(zhuǎn)過(guò)φ1角時(shí),對(duì)應(yīng)蝸輪轉(zhuǎn)過(guò)φ2,蝸桿齒面上的點(diǎn)p進(jìn)入嚙合,其相對(duì)速度v12為：

(7)

式中,ω12=ω1-ω2;r2=r1+τ; τ=A0i。

將式(4)和式(7)帶入式(6)可推導(dǎo)出ZA蝸輪蝸桿嚙合方程式(8):

pθsinα]-p2θtan(θ+φ1)=0

(8)

1.4ZA蝸輪齒面方程

蝸輪蝸桿齒面為一對(duì)共軛齒面,所以利用坐標(biāo)變換將ZA蝸桿齒面上的接觸線的坐標(biāo)式變換到蝸輪坐標(biāo)系中,即得到蝸桿的共軛齒面,也就是ZA蝸輪齒面的方程(見式(9))。

(9)

蝸輪蝸桿齒面為一對(duì)共軛齒面,所以在接觸點(diǎn)處有公共的法線,把蝸桿齒面的法線方程經(jīng)過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換,可得到蝸輪齒面法矢(見式(10))。

(10)

2　蝸輪齒面網(wǎng)格劃分

蝸輪的齒面是一種極為復(fù)雜的空間曲面,測(cè)量時(shí)只能選取齒面上的離散點(diǎn)進(jìn)行檢測(cè)。為了使得測(cè)量所取的離散點(diǎn)盡可能準(zhǔn)確地描述蝸輪的齒面幾何形狀,同時(shí)又不產(chǎn)生測(cè)量數(shù)據(jù)冗余,就需要在蝸輪齒面的旋轉(zhuǎn)投影面上進(jìn)行網(wǎng)格規(guī)劃。因?yàn)槿鴺?biāo)測(cè)量機(jī)的測(cè)頭不能準(zhǔn)確地測(cè)量齒面邊界倒角以及齒根附近區(qū)域,所以在測(cè)量蝸輪的齒面時(shí),需在齒面的四周預(yù)留一定的邊界。

在設(shè)置網(wǎng)格測(cè)量參數(shù)時(shí),主要有行和列兩個(gè)參數(shù):行數(shù)取4～15,列數(shù)取6～15。

在劃分網(wǎng)格時(shí),需要設(shè)置齒根處縮進(jìn)量、齒頂處縮進(jìn)量、角處縮進(jìn)量及測(cè)量密度,以保證網(wǎng)格點(diǎn)在x2o2z2平面上均勻分布。在蝸輪齒面的旋轉(zhuǎn)投影面上進(jìn)行的網(wǎng)格規(guī)劃如圖3所示。由圖3可知,網(wǎng)格的劃分由兩個(gè)參數(shù)決定,一個(gè)是角度參數(shù)β,一個(gè)是蝸桿半徑參數(shù)r。β可根據(jù)蝸輪齒冠面角進(jìn)行取值,r從蝸桿齒根到齒頂取值?？筛鶕?jù)以下3個(gè)關(guān)系式求解齒面未知參數(shù)。

圖3　網(wǎng)格劃分示意圖Fig.3　Schematic diagram of grid

首先，β、r及z2之間的幾何關(guān)系滿足式(11):

z2=rtanβ

(11)

其次,網(wǎng)格上的坐標(biāo)點(diǎn)滿足關(guān)系式(12):

(12)

式中,R為網(wǎng)格點(diǎn)在蝸輪上的半徑,R=A0-rcosβ。

將式(9)中的z2用x2、y2表示,并將x2、y2、z2分別代入式(11)、(12),并與式(8)聯(lián)立,可求解出蝸輪齒面方程的未知參數(shù)u、θ、φ1,然后φ2=φ1/i12。

將這四個(gè)參數(shù)帶入蝸輪的齒面方程,便可求得網(wǎng)格劃分坐標(biāo)點(diǎn)處的坐標(biāo)值。求解流程如圖4所示。

圖4　齒面網(wǎng)格坐標(biāo)求解流程圖Fig.4　Flow chart of grid coordinate for tooth surface

3　蝸輪理論齒面計(jì)算及測(cè)量結(jié)果

3.1阿基米德蝸輪齒面網(wǎng)格坐標(biāo)計(jì)算

了解了蝸輪齒面網(wǎng)格點(diǎn)坐標(biāo)理論值的求解方法,可通過(guò)MATLAB建立齒面方程組進(jìn)行求解,劃分網(wǎng)格為“5×9”,共45個(gè)網(wǎng)格點(diǎn),輸入的蝸輪蝸桿基本參數(shù)如表1所示。運(yùn)行程序后部分網(wǎng)格點(diǎn)理論坐標(biāo)值及單位法矢計(jì)算結(jié)果列于表2。

表1　ZA蝸輪蝸桿基本參數(shù)

表2　ZA蝸輪網(wǎng)格點(diǎn)理論及實(shí)測(cè)坐標(biāo)值偏差及單位法矢計(jì)算結(jié)果

注:小括號(hào)內(nèi)數(shù)據(jù)為該網(wǎng)格點(diǎn)的實(shí)測(cè)值。

3.2實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)

蝸輪齒面網(wǎng)格點(diǎn)的理論坐標(biāo)值和單位法矢求得之后,要完成蝸輪齒面的誤差測(cè)量,需測(cè)出真實(shí)蝸輪齒面上的空間三維坐標(biāo)值。本文選用三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)對(duì)蝸輪進(jìn)行測(cè)量,由計(jì)算機(jī)程序提供求得的測(cè)點(diǎn)法矢,傳到測(cè)量機(jī),測(cè)量機(jī)將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成運(yùn)動(dòng),驅(qū)動(dòng)測(cè)頭測(cè)量。測(cè)頭到位后讀出實(shí)際測(cè)點(diǎn)的坐標(biāo),返回到計(jì)算機(jī)。ZA蝸輪上述相應(yīng)點(diǎn)由三坐標(biāo)測(cè)量?jī)x測(cè)量的結(jié)果見表2中小括號(hào)中的數(shù)據(jù)。

由表2可知,x方向最大偏差為0.020 6 mm,在網(wǎng)格點(diǎn)(1,8)處;y方向最大偏差為0.035 9 mm,在網(wǎng)格點(diǎn)(1,1)處;z方向最大偏差為-0.012 7 mm,在網(wǎng)格點(diǎn)(1,1)處。在x、y、z方向上出現(xiàn)最大偏差的網(wǎng)格點(diǎn)均位于劃分網(wǎng)格的邊界,這是由于在蝸輪的測(cè)量過(guò)程中,觸測(cè)蝸輪齒面邊界,有可能會(huì)產(chǎn)生測(cè)量系統(tǒng)誤差。由誤差大小可知,本文對(duì)ZA蝸輪齒面數(shù)學(xué)模型的建立及求解方法是正確的。

4　結(jié)　語(yǔ)

本文基于ZA蝸輪齒面方程及嚙合方程,對(duì)蝸輪進(jìn)行了網(wǎng)格點(diǎn)的規(guī)劃。通過(guò)MATLAB編程,根據(jù)被測(cè)蝸輪的結(jié)構(gòu)參數(shù),求解出蝸輪齒面網(wǎng)格點(diǎn)的理論坐標(biāo)值與單位法矢,并在三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)上對(duì)ZA蝸輪進(jìn)行檢測(cè),檢測(cè)結(jié)果證明了數(shù)學(xué)模型的建立以及網(wǎng)格坐標(biāo)點(diǎn)的求解方法是可行且有效的。

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SHI Zhaoyao, FEI Yetai, XIE Huakun. 100 Years of gear measurement technology—Review & Prospect[J]. Engineering Science,2003,5(9):13-17.

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[4] 李立新, 曹誼勃. 基于雙三次B樣條曲面的ZA蝸輪實(shí)體建模方法[J]. 工程設(shè)計(jì)學(xué)報(bào),2009,16(4):286-291.

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(責(zé)任編輯王衛(wèi)勛，王緒迪)

Modeling and calculation of Archimedes worm gear tooth surface

SONG Dan,LIU Jun,YAN Kejun

(School of Mechanical and Precision Instrument Engineering, Xi’an University of Technology, Xi’an 710048, China)

In this paper, based on the method for processing the Archimedes worm and worm gear (ZA), and the transformation of the space meshing coordinates of the worm and worm gear, the mathematical model of the tooth surface of ZA worm gear and the meshing equation is derived. Then the mesh of the tooth surface is carried out in the direction of worm gear axis, with the nonlinear equations established according to the meshing principle of the worm and worm gear and the numerical relationship of the mesh nodes. Finally, the coordinate value and the normal vector of the ZA worm gear grid points are obtained by MATLAB, with the feasibility of the algorithm verified on the three coordinate measuring machine.

ZA worm gear; mathematical model of tooth surface; meshing; three coordinate measuring machine

10.19322/j.cnki.issn.1006-4710.2016.03.021

2016-01-13

西安市科技計(jì)劃資助項(xiàng)目(CXY1441(5))

宋丹,女,碩士生,研究方向?yàn)闇y(cè)試計(jì)量技術(shù)。E-mail:812530570@qq.com

劉君,女,教授,研究方向?yàn)楣怆姕y(cè)試技術(shù)與計(jì)算機(jī)測(cè)控。E-mail:junliu87@xaut.edu.cn

TH132.44

A

1006-4710(2016)03-0370-04