張洪芹， 田向軍， 張承明

(1.山東農(nóng)業(yè)大學(xué)，山東 泰安 271018; 2.中國(guó)科學(xué)院大氣物理研究所國(guó)際氣候與環(huán)境科學(xué)中心，北京 100029)

?

非線性集合四維變分同化方法NLS-4DVar之局地化改進(jìn)?

張洪芹1,2， 田向軍2??， 張承明1

(1.山東農(nóng)業(yè)大學(xué)，山東 泰安 271018; 2.中國(guó)科學(xué)院大氣物理研究所國(guó)際氣候與環(huán)境科學(xué)中心，北京 100029)

四維變分同化可利用同化窗口內(nèi)所有可能的觀測(cè)信息優(yōu)化大氣、海洋模式的初始場(chǎng)，從而極大地提高大氣、海洋模式模擬性能，而作為4DVar標(biāo)準(zhǔn)算法的伴隨方法始終無(wú)法避免繁瑣與復(fù)雜的預(yù)報(bào)模式伴隨方程的編程、維護(hù)以及更新。為避免伴隨模式的使用，集合四維變分方法，4DEnVar方法被逐漸開(kāi)發(fā)，為4DVar的求解提供了一種便捷的途徑。4DEnVar一般通過(guò)局地化過(guò)程消除樣本不足所造成的虛假相關(guān)，而局地化方案的不同也必然會(huì)影響到其最終的同化效果。本文將一種集合樣本擴(kuò)展的局地化方案引入到基于Gaussian-Newton迭代算法的非線性集合四維變分同化方法NLS-4DVar中，從而避免了原算法中為進(jìn)行局地化過(guò)程而額外需要的線性化假設(shè)，使得算法收斂更穩(wěn)定。另外，通過(guò)將原Gaussian-Newton迭代序列進(jìn)行變形、避免了矩陣的直接求逆，極大地提高了同化算法的計(jì)算效率。利用非線性動(dòng)力模型Lorenz-96所開(kāi)展的觀測(cè)系統(tǒng)模擬試驗(yàn)表明：采用新的樣本擴(kuò)展型局地化方案的NLS-4DVar算法，其同化精度略?xún)?yōu)于NLS-4DVar原始算法，由于避免了矩陣的直接求逆，其計(jì)算效率反而有所提高，同化所需時(shí)間有所降低，對(duì)于大氣與海洋數(shù)據(jù)同化領(lǐng)域的應(yīng)用具有極大的潛力。

樣本擴(kuò)展型局地化方案； NLS-4Dvar； 共軛梯度法

引用格式：張洪芹， 田向軍， 張承明, 等. 非線性集合四維變分同化方法NLS-4DVar之局地化改進(jìn)[J]. 中國(guó)海洋大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版), 2016, 46(10)： 10-15.

ZHANG Hong-Qin， TIAN Xiang-Jun, ZHANG Cheng-Ming. An improved localization scheme to the NLS-4DVar method[J]. Periodical of Ocean University of China, 2016, 46(10)： 10-15.

四維變分同化(4DVar)本質(zhì)上屬于最優(yōu)控制問(wèn)題，根據(jù)同化窗口內(nèi)所有可能的觀測(cè)信息優(yōu)化大氣、海洋模式的初始場(chǎng)，從而使得到的分析場(chǎng)與預(yù)報(bào)、觀測(cè)之間距離最小，其優(yōu)勢(shì)明顯: (1) 利用完整的模式方程作為動(dòng)力約束; (2) 可以同時(shí)同化多個(gè)時(shí)刻的觀測(cè)資料。但該方法也存在弊端: 4DVar給出的代價(jià)函數(shù)中, 控制變量(初始場(chǎng))是以隱函數(shù)的形式出現(xiàn)的, 為了求得代價(jià)函數(shù)相對(duì)初始場(chǎng)的梯度, 需要給出預(yù)報(bào)模式的切線性模式及相應(yīng)的伴隨模式; 極小化代價(jià)函數(shù)也需要反復(fù)積分模式方程和伴隨方程, 計(jì)算效率極低。自從4DVar的概念引入到數(shù)據(jù)同化領(lǐng)域以來(lái)，很多研究都致力于開(kāi)發(fā)高效、穩(wěn)健的算法用以求解4DVar[1-8]。直到現(xiàn)在，伴隨法幾乎被認(rèn)為是求解4DVar問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)算法[1-3]；然而，伴隨法始終無(wú)法避免繁瑣與復(fù)雜的預(yù)報(bào)模式伴隨方程的編程、維護(hù)以及更新。

為避免伴隨模式的使用，所謂的4DEnVar方法被逐漸開(kāi)發(fā)[9-11,14,17]，為4DVar的求解提供了一種便捷的途徑。4DEnVar方法的理論基礎(chǔ)是利用模擬樣本所構(gòu)成的線性空間近似逼近模式狀態(tài)變量空間；基于這樣的理論基礎(chǔ)，4DVar的分析解應(yīng)屬于該線性樣本空間且可表征為該空間內(nèi)所有樣本的線性組合；進(jìn)一步又基于模式狀態(tài)變量增量與觀測(cè)向量增量線性相關(guān)的假設(shè)、可相對(duì)容易地求解4DVar的分析解[14]。另外，在4DEnVar的極小化過(guò)程也不需要使用伴隨模式，大大降低了同化難度?；?DEnVar方法的數(shù)據(jù)同化應(yīng)用都顯示了4DEnVar方法在各個(gè)領(lǐng)域的巨大潛力[12-13,16-18,21]。然而正如Tian and Feng[19]所指出，4DEnVar中所假設(shè)的模式狀態(tài)變量增量與觀測(cè)變量增量的線性相關(guān)(4DEnVar的理論基礎(chǔ)之一)在預(yù)報(bào)模式或者觀測(cè)算子高度非線性的情形下可能會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題。為了解決這個(gè)問(wèn)題，Tian and Feng[19]提出來(lái)一種非線性最小二乘4DEnVar方法NLS-4DVar，采用Gaussian-Newton迭代策略應(yīng)對(duì)數(shù)據(jù)同化問(wèn)題中高度非線性問(wèn)題。觀測(cè)系統(tǒng)模擬試驗(yàn)[19]以及真實(shí)雷達(dá)資料的同化試驗(yàn)都表明NLS-4DVar確實(shí)可以很好地應(yīng)對(duì)同化問(wèn)題中高度非線性問(wèn)題，其同化性能在一定程度要優(yōu)于基于上述模式增量與觀測(cè)增量線性假設(shè)的4DEnVar方法[22,25]。

另外，由于4DEnVar方法所構(gòu)造的樣本空間的維數(shù)要遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于模式狀態(tài)變量的總維數(shù)mx(對(duì)于復(fù)雜的非線性天氣、氣候模式而言尤為突出)，而通常需要采用所謂的“局地化”過(guò)程用以減小由于較少的樣本個(gè)數(shù)所造成的采樣誤差與虛假相關(guān)[26]。為了解決這個(gè)問(wèn)題，Houtekamer and Mitchell[27]通過(guò)Schür積B°C對(duì)背景誤差矩陣B進(jìn)行修正，其中矩陣C的每個(gè)元素來(lái)自于認(rèn)為給定的隨某一個(gè)距離遞減的相關(guān)函數(shù)。當(dāng)中，Gaspari and Cohn[28]提出了正態(tài)分布的多項(xiàng)式估計(jì)遞減函數(shù)。Houtekamer and Mitchell[29]和Hamill等[30]利用Gaspari and Cohn提出的多項(xiàng)式估計(jì)遞減函數(shù)闡述了一種更一般的局地化，它是觀測(cè)值和狀態(tài)變量距離的函數(shù)，從而減少虛假相關(guān)。2010年，Wang等[17]將Schur積應(yīng)用到矩陣中，以過(guò)濾掉觀測(cè)站點(diǎn)和模式格點(diǎn)之間的虛假遙相關(guān)并提高了相關(guān)性。2011年，Tian等[14]將局地化方案引入到了PODEn4DVar同化方法中，并通過(guò)觀測(cè)系統(tǒng)模擬試驗(yàn)進(jìn)行了分析評(píng)估，結(jié)果顯示引入局地化技術(shù)以后的同化結(jié)果要明顯好于原來(lái)的同化結(jié)果。很自然地，不同的局地化方案的選擇也必然會(huì)對(duì)相應(yīng)的4DEnVar算法的同化效果產(chǎn)生影響。本文通過(guò)將一種樣本擴(kuò)展型局地化方案引入到NLS-4DVar算法當(dāng)中，由此實(shí)現(xiàn)其同化性能的提升；另外，通過(guò)將NLS-4DVar的Gaussian-Newton迭代序列進(jìn)行變形、避免了矩陣的直接求逆，從而同化效率比NLS-4DVar算法進(jìn)一步優(yōu)化。

1　方法

(1)

(2)

將式(2)帶入到公式(1)同時(shí)經(jīng)過(guò)一系列的數(shù)學(xué)變換(詳見(jiàn)Tian and Feng[19])，式(1)可以轉(zhuǎn)化為如下的非線性最小二乘的形式[22]:

(3)

這里

(4)

(5)

(6)

以及

(7)

(8)

基于公式(3、4、8), NLS-4DVar采用Gauss-Newton格式迭代求βi+1(i=0,1,2,…,Imax)[24]

(9)

(10)

因此公式(9)被重寫(xiě)為

(11)

(12)

因此，

(13)

(14)

(15)

(16)

矩陣ρ的定義如下：

ρi,j=C0(dh,i,j/dh,0)·C0(dv,i,j/dv,0) 。

(17)

(18)

其中dh,0與dv,0分別是水平和垂直的協(xié)方差局地化半徑。

實(shí)際上，式(10)的導(dǎo)出是基于模式增量Px與觀測(cè)增量Py的線性相關(guān)假設(shè),意味著NLS-4DVar所具有的非線性?xún)?yōu)勢(shì)也必然會(huì)在一定程度上被這種線性假設(shè)所影響。

鑒于此,本文將一種集合樣本擴(kuò)展型局地化方案引進(jìn)NLS-4DVar[19,23]，同時(shí)對(duì)比了采用原始局地化方案產(chǎn)生對(duì)非線性特征的影響。在NLS-4DVar當(dāng)中,背景誤差協(xié)方差矩陣B可以利用模式狀態(tài)變量增量集合Px進(jìn)行如下的近似計(jì)算

(19)

類(lèi)似地, 相關(guān)矩陣C(是相關(guān)長(zhǎng)度[19]或局地化半徑ρ的函數(shù))也可以進(jìn)行如下分解[23]

C=C′C'T。

(20)

(21)

其中“°”代表2個(gè)矩陣的Schür積[19]，而局地化后的模式狀態(tài)變量增量Px,ρ∈mx×(N×r)可表示為

Px,ρ=PxC′。

(22)

這里2個(gè)矩陣Px與ρ′之間的算子為以下操作

(23)

其中P*x,i(i=1,…,N)為一個(gè)r列矩陣，其每列即為Px的第i列。

理想地, 我們需要利用擴(kuò)展后的初始樣本(也就是xb+Px,ρ)反復(fù)積分預(yù)報(bào)模式Mt0→tk從而計(jì)算其相應(yīng)的觀測(cè)增量樣本Py,ρ∈my×(N×r)(其中my為觀測(cè)變量的總維數(shù))。然而這幾乎是不可能的，因?yàn)閿U(kuò)展后的樣本數(shù)N×r急劇變大，其計(jì)算代價(jià)無(wú)法承受。取而代之，本文采用以下的方式近似求解相應(yīng)的局地化觀測(cè)變量增量矩陣Py，ρ∈my×(N×r)

(24)

其中

Py,ρ,k=Hk(xb,k+Px,ρ,k)-Hk(xb,k),

(25)

xb,k=Mt0→tk(xb),

(26)

Px,ρ,k=Px,kC′,

(27)

以及

Px,k=Mt0→tk(xb+Px)-xb,k。

(28)

經(jīng)過(guò)這種樣本擴(kuò)展局地化過(guò)程之后,公式(9)可進(jìn)一步地改寫(xiě)為

(29)

其中I為(N×r)×(N×r)單位矩陣。

很顯然, 由于此時(shí)樣本從N擴(kuò)展到了N×r，直接求解以下的矩陣的逆的難度頗大

為了避免如下矩陣的直接求逆

本文進(jìn)一步將(29) 轉(zhuǎn)化為如下的形式

(30)

(31)

當(dāng)然, C=C′C'T的直接分解的計(jì)算代價(jià)也很昂貴, 而這個(gè)過(guò)程又可以通過(guò)利用對(duì)一組Gaussian隨機(jī)樣本進(jìn)行SVD分解后直接對(duì)C′近似來(lái)避免[19]事實(shí)上, 當(dāng)C由廣泛使用的Gaspari and Cohn[29]方程求得時(shí)，作者也已開(kāi)發(fā)了一種高效算法(將另文介紹)來(lái)進(jìn)行C=C′C'T分解。

2　數(shù)值試驗(yàn)

本文在此采用Lorenz-96模型[27]作為預(yù)報(bào)模式來(lái)對(duì)新發(fā)展的NLS-4DVar進(jìn)行驗(yàn)證，主要與采用原始局地化方案的算法進(jìn)行對(duì)比。Lorenz-96盡管簡(jiǎn)單，但其基本特征與真實(shí)的大氣模式非常相似，是一個(gè)非常著名的非線性動(dòng)力模式。作者將從同化精度與計(jì)算效率兩個(gè)方面設(shè)計(jì)觀測(cè)系統(tǒng)模擬試驗(yàn)對(duì)新發(fā)展NLS-4Dvar局地化算法進(jìn)行驗(yàn)證。

2.1 試驗(yàn)設(shè)計(jì)

具有周期邊界條件的Lorenz[27]模型由以下的方程所控制

(32)

2.2 試驗(yàn)結(jié)果

圖1闡述了兩種(采用新的和原始的)NLS-4DVar局地化算法在模式具有誤差(F=10)的情形下的同化效果的對(duì)比圖?？傮w而言，就均方根誤差而言，兩種局地化算法都表現(xiàn)相當(dāng)不錯(cuò)，其同化結(jié)果的均方根誤差都相當(dāng)?shù)?。進(jìn)一步可以看出采用新的局地化方案的迭代算法優(yōu)勢(shì)更為明顯一點(diǎn)，要略?xún)?yōu)于采用原始方案的NLS-4DVar算法，尤其在初始的12個(gè)同化日階段?；旧嫌捎诓捎昧诵碌木值鼗桨?，因此現(xiàn)在的迭代算法不需要額外的線性假設(shè)，應(yīng)該在一定程度上有助于緩解原始方案對(duì)于NLS-4DVar方法非線性特征的損害。

圖1　新采用的(New)和原始的(Old) NLS-4DVar局地化算法在模式具有誤差 (F=10)的情形下的日平均均方根誤差的對(duì)比圖Fig.1　Time series of the daily averaged root mean square (RMS) error for the new proposed (New) and the original (Old) localization schemes to the NLS-4DVar method with model error F=10, respectively

為了檢驗(yàn)新采用局地化算法對(duì)于保留的相關(guān)矩陣特征根數(shù)目r的影響,本文進(jìn)一步對(duì)比了新的局地化方案采用r=5, 10, 以及 15同化結(jié)果的日平均誤差均方根誤差。圖2表明當(dāng)r≥5的時(shí)候，新的局地化算法對(duì)于不同的特征根數(shù)目并不是特別明顯，這說(shuō)明所采用的局地化方案有望具有較高的計(jì)算效率。

圖2　NLS-4DVar算法中新提出的局地化 方案對(duì)選取的特征根個(gè)數(shù)(r=5，10 和15) 的敏感性的日平均均方根誤差序列Fig.2　Time series of the daily averaged root mean square (RMS) error for the new proposed localization scheme to the NLS-4DVar method with r=5, 10 and 15, respectively

表1　針對(duì)不同特征根數(shù)目r兩種不同方式 (直接、間接求逆)的迭代方案同化的CPU時(shí)間表Table 1　The CPU times (s) for the two (direct and indirect) ways to the iterative scheme to conduct the whole assimilation as for the choice of the number r

另外，本文還對(duì)比了新的局地化方案(不直接求逆)與最初NLS-4DVar[19]的局地化方案的收斂速度與迭代方案，對(duì)于同樣的收斂標(biāo)準(zhǔn)，兩個(gè)方法都需要迭代三次實(shí)現(xiàn)收斂，同時(shí)其相應(yīng)的CUP時(shí)間為2.308 649 s(新的局地化方案)和2.318 443 s(原始的局地化方案)。總體而言，新舊兩種局地化方法的局地化方案計(jì)算效率相當(dāng)，但新的局地化方案的同化效果更好一些。

3　結(jié)語(yǔ)

作為一種4DEnVar方法，非線性最小二乘集合四維變分同化方法NLS-4DVar也需要局地化過(guò)程以消除由于樣本不足所造成的采樣誤差以及虛假相關(guān)。因而，其同化性能也必然隨著其所采用的局地化方案的不同而變化。為了執(zhí)行其原始的局地化方案，NLS-4DVar需要額外的關(guān)于模式變量增量與觀測(cè)變量增量線性相關(guān)的假設(shè)，這必然會(huì)對(duì)NLS-4DVar算法所具有的非線性特征帶來(lái)一定的沖擊，因而也會(huì)對(duì)該算法的廣泛應(yīng)用帶來(lái)某種不確定性。為了消除這種不確定性，本文將一種樣本擴(kuò)展型局地化方案引入到NLS-4DVar算法，進(jìn)一步又對(duì)NLS-4DVar算法的Gaussian-Newton迭代序列進(jìn)行變形，采用共軛梯度法以避免對(duì)矩陣的直接求逆，從而使得同化的計(jì)算效率得以大幅度提升。

本文采用幾組觀測(cè)系統(tǒng)模擬試驗(yàn)對(duì)新改正的NLS-4DVar進(jìn)行檢驗(yàn)：首先利用一組試驗(yàn)對(duì)新舊兩種不同的局地化方案進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)就同化精度而言，兩種方案都表現(xiàn)不錯(cuò)，但新的方法表現(xiàn)略?xún)?yōu)，說(shuō)明不需要額外的線性假設(shè)對(duì)于NLS-4DVar算法的優(yōu)化確實(shí)具有不錯(cuò)的效果；另外，對(duì)于所保留特征根數(shù)目r的敏感性試驗(yàn)表明，并不需要保留所有的特征根數(shù)據(jù)就可以得到不錯(cuò)的同化效果，說(shuō)明該局地化方案的引入對(duì)于NLS-4DVar算法同化計(jì)算效率的提升具有不錯(cuò)的潛力，而采用共軛梯度法取代矩陣的直接求逆使得新算法的計(jì)算效率更為高效。

[1]Lewis J M, Derber J C. The use of the adjoint equation to solve a variational adjustment problem with advective constraints[J]. Tellus, 1985， 37A: 309-322.

[2]Le Dimet F X, Talagrand O. Variational algorithms for analysis and assimilation of meteorological observations: Theoretical aspects[J]. Tellus， 1986： 38A: 97-110.

[3]Courtier P and Talagrand O. Variational assimilation of meteorological observations with the adjoint vorticity equation II: Numerical results[J]. Q J R Meteorol Soc, 1987， 113: 1329-1347.

[4]Courtier P, Thepaut J N, Hollingsworth A. A strategy for operational implementation of 4DVar using an incremental approach[J]. Q J R Meteorol Soc, 1994， 120: 1367-1387.

[5]Bormann N, Thepaut J N. Impact of MODIS polar winds in ECMWF’s 4DVAR data assimilation system[J]. Mon Wea Rev, 2004, 132: 929-940.

[6]Bauer P, Lopez P, Benedetti A, et al. Implementation of 1D+4D-Var assimilation of precipitation affected microwave radiances at ECMWF II: 4D-Var[J]. Q J R Meteorol Soc, 2006, 132: 2307-2332.

[7]Rosmond T， Xu L. Development of NAVDAS-AR: nonlinear formulation and outer loop tests[J]. TellusA, 2006, 58(1): 45-58.

[8]Gauthier P, Tanguay M, Laroche S, et al. Extension of 3DVAR to 4DVAR: Implementation of 4DVAR at the Meteorological Service of Canada[J]. Mon Weather Rev, 2007, 135(6): 2339-2354.

[9]Qiu C, Shao A, Xu Q, et al. Fitting model fields to observations by using singular value decomposition: An ensemble-based 4DVar approach[J]. J Geophys Res, 2007, 112:11105. doi:10.1029/2006JD007994.

[10]Liu C, Xiao Q, Wang B. An ensemble-based four-dimensional variational data assimilation scheme. Part I: Technique formulation and preliminary test[J]. Mon Weather Rev, 2008, 136: 3363-3373.

[11]Tian X, Xie Z, Dai A. An ensemble-based explicit four-dimensional variational assimilation method[J]. J Geophys Res， 2008, 113: 21124. doi:10.1029/2008JD010358.

[12]Tian X, Xie Z, Dai A, et al. A dual-pass variational data assimilation framework for estimating soil moisture profiles from AMSR-E microwave brightness temperature[J]. J Geophys Res, 2009, 114: 16102. doi: 10.1029/2008JD011600.

[13]Tian X, Xie Z, Dai A, et al. A microwave land data assimilation system: Scheme and preliminary evaluation over China[J]. J Geophys Res, 2010, 115: 21113. doi: 10.1029/2010JD0 14370.

[14]Tian X, Xie Z, Sun Q. A POD-based ensemble four-dimensional variational assimilation method[J]. Tellus, 2011, 63A: 805-816.

[15]Tian X, Xie Z. Implementations of a square-root ensemble analysis and a hybrid localisation into the POD-based ensemble 4DVar[J]. Tellus A, 2012, 64, http://dx.doi.org/10.3402/tellusa.v64i0.18375.

[16]Tian X, Xie Z, Liu Y, et al. A joint data assimilation system(Tan-Tracker) to simultaneously estimate surface CO2fiuxesand 3-D atmospheric concentrations from observations[J]. Atmos Chem Phys, 2014, 14: 13281-13293.

[17]Wang B, Liu J, Wang S, et al. An economical approach to four-dimensional variational data assimilation[J]. Adv Atmos Sci, 2010, 27(4): 715-727, doi: 10.1007/s00376-009-9122-3.

[18]Pan X, Tian X, Li X, et al. Assimilating Doppler radar radial velocity and reflectivity observations in the weather research and forecasting model by a proper orthogonal decomposition based ensemble three-dimensional variational assimilation method[J]. J Geophys Res, 2012, 117, D17113, doi:10.1029/2012JD017684.

[19]Tian X, Feng X. A non-linear least squares enhanced POD-4DVaralgorithm for data assimilation[J]. Tellus A, 2015, 67, 25340, http://dx.doi.org/10.3402/tellusa.v67.25340.

[20]Tian X, Feng X, Zhang H. et al. An enhanced ensemble-based method for computing the CNOPs using an efficient localization implementation scheme and a two-step optimization strategy: formulation and preliminary tests[J]. Q J R Meteorol Soc, 142:1007-1016， DOI:10.1002v.2703.

[21]Zhang B, Tian X, Sun J, et all. PODEn4DVar-based radar data assimilation scheme: Formulation and preliminary results from real-data experiments with advanced research WRF (ARW)[J]. Tellus A. 2015a, 67, 26045, http://dx.doi.org/10.3402/tellusa.v67.26045.

[22]Dennis J E Jr, Schnabel R B. Numerical Methods for Unconstrained Optimization and Nonlinear Equations (Classics in Applied Mathematics)[M]. SIAM, Philadelphia, 1996, 378. ISBN:0-89871-364-1.

[23]Liu C, Xiao Q, and Wang B. An ensemble-based four dimensional variational data assimilation scheme. part II: Observing system simulation experiments with advanced research WRF (ARW)[J]. Mon Wea Rev, 2009, 137: 1687-1704.

[24]Gaspari G, Cohn S E. Construction of correlation functions in two and three dimensions[J]. Quart J R Meteorol Soc, 1999, 125: 723-757.

[25]Lorenz E. Predictability: A Problem Partly Solved[R]. Proc. Seminaron Predictability. Volume 1. United Kingdom: ECMWF, 1996: 119.

[26]Houtekamer P L, Mitchell H L. A sequential ensemble Kalman filter for atmospheric data assimilation[J]. Mon Wea Rev, 2001,129: 123-137.

[27]Houtekamer P L, Mitchell H L. Data assimilation using an ensemble Kalman filter technique[J]. Mon Wea Rev, 1998, 126: 796-811.

[28]Gaspari G, Cohn S E. Construction of correlation functions in two and three dimensions[J]. Quart J Roy Meteor Soc, 1999, 125: 723-757.

[29]Houtekamer P L, Mitchell H L. A sequential ensemble Kalman filter for atmospheric data assimilation[J]. Mon Wea Rev, 2001, 129: 123-137.

[30]Hamill T M, Whitaker J S, Snyder C. Distancedependent filtering of background error covariance estimates in an ensemble Kalman filter[J]. Mon Wea Rev, 2001, 129: 2776-2790.

責(zé)任編輯龐旻

An Improved Localization Scheme to the NLS-4DVar Method

ZHANG Hong-Qin1,2， TIAN Xiang-Jun2, ZHANG Cheng-Ming1

(1.College of Information Science and Engineering, Shandong Agriculture University， Taian 271018, China; 2.ICCES, Institute of Atmospheric Physics, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100029, China)

The 4DEnVar methods often contain a localization implementation scheme and its final algorithm after the localization implementation will be certainly changed with the choice of its localization scheme. As a step in the improvement of the NLS-4DVar method, we implement an expanding sample localization scheme into NLS-4DVar with an aim at removing the additional linear assumption adopted in the original NLS-4DVar algorithm. And the new proposed iterative scheme can give a fair good performance and its computational costs can be further reduced through an indirect way to avoid the computation of a matrix inverse. Numerical experiments with a nonlinear model of the Lorenz-96 equation show that the proposed new iterative scheme behaves slightly better than the original one in terms of the assimilation precision presumably due to the additional linear assumption adopted in the original one and its computational costs can be further reduced.

expanding example localization scheme； NLS-4DVar； the conjugate gradient method

國(guó)家高技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目(2013AA122002);國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(41575100,91437220);山東省省級(jí)水利科研與技術(shù)推廣項(xiàng)目(SDSLKY201503)資助

2016-01-19；

2016-03-09

張洪芹(1988-)，女，碩士生。E-mail:hqzhang1112@163.com

??通訊作者：E-mail:tianxj@mail.iap.ac.cn

P40

A

1672-5174(2016)10-010-06

10.16441/j.cnki.hdxb.20160010

Supported by the National High-Tech R&D Program(2013AA122002); National Natural Science Foundation of China(41575100, 91437220); Shandong Provincial Water Conservancy Scientific Research and Technology Program(SDSLKY201503)