一、填空題

1.集合{-1，0，1}共有個子集.

2.已知集合A={0，2，a2}，B={1，a}，若A∪B={0，1，2，4}，則實數(shù)a的值為.

3.已知f（x3）=lgx（x>0），則f（4）的值為.

4.若集合P={x|3

5.已知函數(shù)f（x）=2x+1，x<1，x2+ax，x≥1，若f（f（0））=4a，則實數(shù)a等于.

6.設(shè)f（x2+1）=loga（4-x4）（a>1），則f（x）的值域是.

7.已知f（x）=x3-ax在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，則a的最大值是.

8.設(shè)函數(shù)f（x）=x（ex+ae-x）（x∈R）是偶函數(shù)，則實數(shù)a=.

9.已知函數(shù)f（x）=4x-2xt+t+1在區(qū)間（0，+∞）上的圖象恒在x軸上方，則實數(shù)t的取值范圍是.

10.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點P（0，1）在曲線C：y=x3-x2-ax+b（a，b為實數(shù)）上，已知曲線C在點P處的切線方程為y=2x+1，則a+b=.

11.若a>3，則方程x3-ax2+1=0在（0，2）上恰有個實根.

12.若f（x）是定義在R上的函數(shù)，對任意實數(shù)x都有f（x+3）≤f（x）+3和f（x+2）≥f（x）+2，且f（1）=1，則f（2014）=.

13.某同學(xué)為研究函數(shù)f（x）=1+x2+1+（1-x）2（0≤x≤1）的性質(zhì)，構(gòu)造了如圖所示的兩個邊長為1的正方形ABCD和BEFC，點P是邊BC上的一個動點，設(shè)CP=x，則AP+PF=f（x）.請你參考這些信息，推知函數(shù)f（x）的極值點是；函數(shù)f（x）的值域是.

14.已知函數(shù)f（x）=x2+bx+c（b，c∈R），對任意的x∈R，恒有f′（x）≤f（x）.若對滿足題設(shè)條件的任意b，c，不等式f（c）-f（b）≤M（c2-b2）恒成立，則M的最小值為.

二、解答題

15.已知集合A=xlog12（x+2）>-3x2≤2x+15，B={x|m+1≤x≤2m-1}.

（1）求集合A；

（2）若BA，求實數(shù)m的取值范圍.

16.設(shè)函數(shù)f（x）=x-（x+1）ln（x+1）（x>-1）.

（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）證明：當(dāng)n>m>0時，（1+n）m<（1+m）n.

17.已知函數(shù)f（x）和g（x）的圖象關(guān)于原點對稱，且f（x）=x2+2x.

（1）求函數(shù)g（x）的解析式；

（2）解不等式g（x）≥f（x）-|x-1|；

（3）若h（x）=g（x）-λf（x）+1在[-1，1]上是增函數(shù)，求實數(shù)λ的取值范圍.

18.輪滑是穿著帶滾輪的特制鞋在堅硬的場地上滑行的運動.如圖，助跑道ABC是一段拋物線，某輪滑運動員通過助跑道獲取速度后飛離跑道然后落到離地面高為1m的平臺上E處，飛行的軌跡是一段拋物線CDE（拋物線CDE與拋物線ABC在同一平面內(nèi)），D為這段拋物線的最高點.現(xiàn)在運動員的滑行輪跡所在平面上建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，x軸在地面上，助跑道一端點A（0，4），另一端點C（3，1），點B（2，0），單位：m.

（1）求助跑道所在的拋物線方程；

（2）若助跑道所在拋物線與飛行軌跡所在拋物線在點C處有相同的切線，為使運動員安全和空中姿態(tài)優(yōu)美，要求運動員的飛行距離在4m到6m之間（包括4m和6m），試求運動員飛行過程中距離平臺最大高度的取值范圍.

（注：飛行距離指點C與點E的水平距離，即這兩點橫坐標(biāo)差的絕對值）

19.給出定義在（0，+∞）上的三個函數(shù)：f（x）=lnx，g（x）=x2-af（x），h（x）=x-ax，已知g（x）在x=1處取極值.

（1）確定函數(shù)h（x）的單調(diào)性；

（2）求證：當(dāng)1

（3）把函數(shù)h（x）的圖象向上平移6個單位得到函數(shù)h1（x）的圖象，試確定函數(shù)y=g（x）-h1（x）的零點個數(shù)，并說明理由.

20.已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c和g（x）=ax2+bx+c·lnx（abc≠0）.

（1）證明：當(dāng)a<0時，無論b為何值，函數(shù)g（x）在定義域內(nèi)不可能總為增函數(shù)；

（2）在同一函數(shù)圖象上取任意兩個不同的點A（x1，y1），B（x2，y2），線段AB的中點C（x0，y0），記直線AB的斜率為k，若f（x）滿足k=f′（x0），則稱其為“K函數(shù)”.判斷函數(shù)f（x）=ax2+bx+c與g（x）=ax2+bx+c·lnx（abc≠0）是否為“K函數(shù)”？并證明你的結(jié)論.

參考答案

一、填空題

1.8

2.2

3.23lg2

4.（6，9]

5.2

6.（-∞，loga4]

7.3

8.-1

9.（-∞，2+22）

10.-1

11.1

12.2014

13.x=12； [5，2+1]

14.32

二、解答題

15.解：（1）解不等式log12（x+2）>-3得：

-2

解不等式x2≤2x+15得：-3≤x≤5.②

由①②求交集得-2

即集合A=（-2，5].

（2）當(dāng)B=時，m+1>2m-1，

解得m<2；

當(dāng)B≠時，由m+1≤2m-1，m+1>-2，2m-1≤5

解得2≤m≤3，

故實數(shù)m的取值范圍為（-∞，3].

16.解：（1）f′（x）=1-ln（x+1）-x+1x+1=-ln（x+1），

當(dāng)f′（x）≥0，即-1

當(dāng)f′（x）≤0，即x≥0時，f（x）單調(diào)遞減.

綜上得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0），單調(diào)遞減區(qū)間為[0，+∞）.

（2）證明：設(shè)g（x）=ln（1+x）x（x>0），

則g′（x）=x1+x-ln（1+x）x2

=x-（1+x）ln（1+x）x2（1+x）.

由（1）知，f（x）=x-（1+x）ln（1+x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，

所以x-（1+x）ln（1+x）

g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，

而n>m>0，所以g（n）

即ln（1+n）n

得mln（1+n）

故（1+n）m<（1+m）n.

17.解：（1）設(shè)函數(shù)y=f（x）的圖象上任一點Q（x0，y0）關(guān)于原點的對稱點為P（x，y），

則x0+x2=0，y0+y2=0，即x0=-x，y0=-y.

又∵點Q（x0，y0）在函數(shù)y=f（x）的圖象上，

∴-y=x2-2x，∴y=-x2+2x.

即g（x）=-x2+2x.

（2）由g（x）≥f（x）-|x-1|，可得

2x2-|x-1|≤0.

當(dāng)x≥1時，2x2-x+1≤0，此時不等式無解；

當(dāng)x<1時，2x2+x-1≤0，∴-1≤x≤12.

因此，原不等式的解集為[-1，12].

（3）h（x）=-（1+λ）x2+2（1-λ）x+1.

①當(dāng)λ=-1時，h（x）=4x+1在[-1，1]上是增函數(shù)，故λ=-1適合題意.

②當(dāng)λ≠-1時，對稱軸的方程為x=1-λ1+λ.

當(dāng)λ<-1時，1-λ1+λ≤-1，解得λ<-1；

當(dāng)λ>-1時，1-λ1+λ≥1，解得-1<λ≤0.

綜上所述，λ≤0.

故實數(shù)λ的取值范圍為（-∞，0].

18.解：（1）設(shè)助跑道所在的拋物線方程為f（x）=a0x2+b0x+c0，依題意c0=4，4a0+2b0+c0=0，9a0+3b0+c0=1，解得a0=1，b0=-4，c0=4，

所以助跑道所在的拋物線方程為

f（x）=x2-4x+4，x∈[0，3].

（2）設(shè)飛行軌跡所在拋物線為g（x）=ax2+bx+c（a<0），

依題意f（3）=g（3），f′（3）=g′（3），即9a+3b+c=1，6a+b=2，

解得b=2-6a，c=9a-5，

所以g（x）=ax2+（2-6a）x+9a-5

=a（x-3a-1a）2+1-1a.

令g（x）=1，得（x-3a-1a）2=1a2.

因為a<0，所以x=3a-1a-1a=3-2a.

當(dāng)x=3a-1a時，g（x）有最大值，為1-1a，

則運動員的飛行距離d=3-2a-3=-2a，

飛行過程中距離平臺最大高度h=1-1a-1=-1a，

依題意，4≤-2a≤6，即2≤-1a≤3，

即飛行過程中距離平臺最大高度的取值范圍為在2m到3m之間.

19.解：（1）由題設(shè)，g（x）=x2-alnx，則g′（x）=2x-ax.

由已知，g′（1）=0，即2-a=0a=2.于是h（x）=x-2x，則h′（x）=1-1x.

由h′（x）=1-1x>0x>1，h′（x）=1-1x<00

所以h（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，在（0，1）上是減函數(shù).

（2）當(dāng)1

欲證x<2+f（x）2-f（x），只需證x[2-f（x）]<2+f（x），即證f（x）>2（x-1）x+1.

設(shè)φ（x）=f（x）-2（x-1）x+1=lnx-2（x-1）x+1，

則φ′（x）=1x-2（x+1）-2（x-1）（x+1）2=（x-1）2x（x+1）2.當(dāng)10，所以φ（x）在區(qū)間（1，e2）上為增函數(shù).

從而當(dāng)1φ（1）=0，即f（x）>2（x-1）x+1，故x<2+f（x）2-f（x）.

（3）由題設(shè)，h1（x）=x-2x+6.令g（x）-h1（x）=0，則x2-2lnx-（x-2x+6）=0，

設(shè)m（x）=x2-2lnx-x+2x-6，

m′（x）=2x-2x-1+1x=2x2-2-x+xx

=2（x-1）（x+1）（x+1）-x（x-1）x

=（x-1）（2xx+2x+x+2）x，

令m′（x）=0得x=1，當(dāng)x∈（0，1）時，m′（x）<0；當(dāng)x∈（1，+∞）時，m′（x）>0.

所以m（x）min=m（1）=-4<0，而x→0時，m（x）→+∞，x→+∞時，m（x）→+∞.

故函數(shù)m（x）的圖象與x軸有且僅有兩個交點，也就是說函數(shù)y=g（x）-h1（x）有兩個零點.

20.解：（1）假設(shè)g（x）在定義域（0，+∞）上為增函數(shù)，

則有g(shù)′（x）=2ax+b+cx=2ax2+bx+cx>0對于一切x>0恒成立，

從而必有2ax2+bx+c>0對于一切x>0恒成立.

又a<0，由二次函數(shù)的圖象可知：2ax2+bx+c>0對于一切x>0恒成立是不可能的.

因此當(dāng)a<0時，無論b為何值，函數(shù)g（x）在定義域內(nèi)不可能總為增函數(shù).

（2）函數(shù)f（x）=ax2+bx+c是“K函數(shù)”，

g（x）=ax2+bx+c·lnx（abc≠0）不是“K函數(shù)”.

證明如下：對于二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c，

k=f（x1）-f（x2）x1-x2=a（x22-x21）+b（x2-x1）x2-x1

=a（x2+x1）+b=2ax0+b.

又f′（x0）=2ax0+b，故k=f′（x0）.

故函數(shù)f（x）=ax2+bx+c是“K函數(shù)”.

對于函數(shù)g（x）=ax2+bx+c·lnx（abc≠0）（x>0），

不妨設(shè)x2>x1>0，

則k=g（x1）-g（x2）x1-x2

=a（x21-x22）+b（x1-x2）+clnx1x2x1-x2

=2ax0+b+clnx1x2x1-x2.

又g′（x0）=2ax0+b+cx0，

若g（x）為“K函數(shù)”，則必滿足k=g′（x0），

即有2ax0+b+clnx1x2x1-x2=2ax0+b+cx0，

也即clnx1x2x1-x2=2cx1+x2（c≠0），

所以lnx1x2x1-x2=2x1+x2.

設(shè)t=x1x2，則0

設(shè)s（t）=lnt-2（t-1）1+t，則s′（t）=（t-1）2t（1+t）2>0，

所以s（t）在t∈（0，1）上為增函數(shù)，s（t）

故lnt≠2（t-1）1+t.②

①與②矛盾，因此，函數(shù)g（x）=ax2+bx+c·lnx（abc≠0）不是“K函數(shù)”.

（作者：朱振華，江蘇省海門中學(xué)）