黃青群

（河池學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西宜州546300）

淺談最優(yōu)化方法在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用*

黃青群

（河池學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西宜州546300）

文章介紹了數(shù)學(xué)建模的含義、起源、發(fā)展及建模過程，還有最優(yōu)化方法的相關(guān)理論，最后研究了最優(yōu)化方法在數(shù)學(xué)建模中的具體應(yīng)用。

數(shù)學(xué)建模；最優(yōu)化方法；優(yōu)化算法

一、什么是數(shù)學(xué)建模

（一）數(shù)學(xué)建模的含義

從上個(gè)世紀(jì)40年代出現(xiàn)第一臺計(jì)算機(jī)開始，短短的幾十年，計(jì)算機(jī)技術(shù)得到了快速發(fā)展，數(shù)學(xué)的重要性也隨之在工程技術(shù)以及自然科學(xué)等領(lǐng)域逐步體現(xiàn)。目前，數(shù)學(xué)正在以驚人的速度和深度向金融、建筑、地質(zhì)、管理、證券、生物、人口、環(huán)境、交通等新領(lǐng)域滲透，有專家在相關(guān)文獻(xiàn)中說到：數(shù)學(xué)技術(shù)已經(jīng)在當(dāng)代高新技術(shù)中充當(dāng)一個(gè)重要角色，必然會(huì)給當(dāng)代高新技術(shù)的快速發(fā)展注入新的動(dòng)力。

數(shù)學(xué)模型從本質(zhì)上說是一種現(xiàn)實(shí)模擬，用戶以數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)公式、算法、圖形、表格等形式對實(shí)際問題的本質(zhì)屬性進(jìn)行抽象和簡化，其主要目的大概有三個(gè)方面：（1）以直觀形象的方式解釋某些客觀現(xiàn)象；（2）預(yù)測事物在未來的發(fā)展規(guī)律；（3）在某種意義下提供控制某一現(xiàn)象發(fā)展的最優(yōu)策略或較好策略。數(shù)學(xué)建模就是通過計(jì)算得到的數(shù)據(jù)來詮釋實(shí)際問題，并且在實(shí)際應(yīng)用中檢驗(yàn)該結(jié)果，進(jìn)而建立數(shù)學(xué)模型的全過程。用戶定量分析和研究一個(gè)實(shí)際問題有一些前提要求和步驟，就是首先要進(jìn)行深入調(diào)查研究對象進(jìn)而了解對象的具體信息，接著作出簡化的假設(shè)，然后分析對象的內(nèi)在規(guī)律等，最后一步是用數(shù)學(xué)符號和語言建立數(shù)學(xué)模型。

（二）數(shù)學(xué)建模的起源和發(fā)展

早在20世紀(jì)60和70年代數(shù)學(xué)建模就已經(jīng)在西方一些國家初次出現(xiàn)，而在中國出現(xiàn)的稍晚，大概在80年代初期中國的幾所大學(xué)將其引入課堂。經(jīng)過二十多年的發(fā)展，中國高校中絕大多數(shù)本專科院校都開設(shè)了各種各樣的數(shù)學(xué)建模講座和課程［1］，開拓了一條培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)方法分析和解決實(shí)際問題能力的良好途徑。

1985年，首屆大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽在美國誕生。經(jīng)過一些從事數(shù)學(xué)建模教育的教師的精心組織和積極推動(dòng)，1989年，中國有幾所大學(xué)的學(xué)生首次參加美國的數(shù)學(xué)建模競賽，而且大學(xué)生的參加競賽的積極性也越來越高。數(shù)據(jù)顯示，近幾年來中國數(shù)學(xué)建模有了快速發(fā)展，參加數(shù)學(xué)建模競賽的學(xué)校數(shù)量以及組隊(duì)數(shù)量越來越大?？梢哉f，數(shù)學(xué)建模競賽是誕生在美國、開花、結(jié)果在中國。

1992年，10個(gè)城市的大學(xué)生數(shù)學(xué)模型聯(lián)賽由中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)組織舉辦，其中參賽單位有74所院校共計(jì)314個(gè)參賽隊(duì)。教育部的領(lǐng)導(dǎo)目光長遠(yuǎn)，大力扶持、精心培育了這一新生競賽，從1994年起，全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽由教育部高教司和中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)共同主辦，每年一屆。

（三）數(shù)學(xué)建模的建模過程

數(shù)學(xué)建模的建模過程可以歸納為以下幾個(gè)步驟：

1.數(shù)學(xué)建模模型的前期準(zhǔn)備工作

作者在建模前就要做一些準(zhǔn)備工作，比如：了解需要處理問題的實(shí)際背景以及現(xiàn)實(shí)意義，盡可能多的掌握處理對象的各種相關(guān)信息；接著用數(shù)學(xué)思想來分析問題的最本質(zhì)的內(nèi)在聯(lián)系，把數(shù)學(xué)思維與問題的全過程充分結(jié)合；最后用以數(shù)學(xué)語言的形式來描述具體問題，并且所描述的結(jié)果有具體的要求：首先是符合數(shù)學(xué)理論和習(xí)慣，其次是清晰準(zhǔn)確。

2.對數(shù)學(xué)建模模型進(jìn)行假設(shè)

作者要充分了解問題中實(shí)際對象的具體特征，明確建模的目的，對問題進(jìn)行抽象和簡化，用精準(zhǔn)的語言做出符合要求的假設(shè)。

3.數(shù)學(xué)建模模型的建立

在已經(jīng)進(jìn)行合理假設(shè)的情況下，就可以建立數(shù)學(xué)建模模型，具體操作步驟如下：首先采用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)公式、算法、表格以及圖示等工具來表征各變量及常量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，然后根據(jù)數(shù)學(xué)關(guān)系采用盡可能簡單的數(shù)學(xué)工具來建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。

4.數(shù)學(xué)建模模型的求解

充分利用前面采集到的數(shù)據(jù)信息，用數(shù)學(xué)思維方法對模型所列舉的全部參數(shù)進(jìn)行計(jì)算或者近似計(jì)算；如果通過高性能的計(jì)算機(jī)參與計(jì)算效果會(huì)更好，可以提高計(jì)算的效率和精度。

5.數(shù)學(xué)建模模型的分析

撰寫數(shù)學(xué)建模模型的分析報(bào)告，敘述建立模型的具體思路和具體方法，從數(shù)學(xué)的角度詳細(xì)分析前面所得的結(jié)果是否科學(xué)合理。

6.數(shù)學(xué)建模模型的檢驗(yàn)

數(shù)學(xué)建模模型應(yīng)具有一定的準(zhǔn)確性、適用性和合理性，可以通過比較模型分析結(jié)果和實(shí)際情況進(jìn)行驗(yàn)證。如果模型與實(shí)際情況基本吻合，則描述計(jì)算結(jié)果的實(shí)際意義，并在不容易理解的地方還要進(jìn)行各種各樣的解釋。如果模型與實(shí)際相差甚遠(yuǎn)，那么就應(yīng)該對假設(shè)進(jìn)行修改，然后再次重復(fù)前面的建模過程。

7.數(shù)學(xué)建模模型的應(yīng)用與推廣

不同的問題特性和不同的建模目的對應(yīng)不同的模型應(yīng)用方式，模型的推廣即在現(xiàn)有模型的基礎(chǔ)上，通過更加全面的考慮，建立一個(gè)更符合現(xiàn)實(shí)情況的模型。

二、什么是最優(yōu)化方法

最優(yōu)化方法，也稱做運(yùn)籌學(xué)方法，是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，是在上個(gè)世紀(jì)第二次世界大戰(zhàn)前后逐步形成的一門學(xué)科。最優(yōu)化方法最核心的內(nèi)容是通過運(yùn)用數(shù)學(xué)方法來對各種系統(tǒng)的優(yōu)化途徑以及方案進(jìn)行研究，為決策者提供科學(xué)決策依據(jù)，以便做出科學(xué)合理的決策。最優(yōu)化方法的主要研究對象是形式多樣的有組織系統(tǒng)的管理問題以及生產(chǎn)經(jīng)營活動(dòng)。最優(yōu)化方法的目的是為所研究的系統(tǒng)，找出一個(gè)最優(yōu)方案，此方案能最大限度地保障人力、物力和財(cái)力三者協(xié)調(diào)運(yùn)用的合理性，盡可能去發(fā)揮和提高此系統(tǒng)的效益及效能，最終實(shí)現(xiàn)此系統(tǒng)的最理想目標(biāo)?，F(xiàn)實(shí)生活中的各種事情說明，在科學(xué)技術(shù)的日益先進(jìn)和生產(chǎn)經(jīng)營的日益完善的趨勢下，最優(yōu)化方法已經(jīng)充當(dāng)現(xiàn)代管理科學(xué)中重要理論基礎(chǔ)的角色，也是現(xiàn)代管理科學(xué)中不可或缺的方法，而且在經(jīng)濟(jì)管理、項(xiàng)目規(guī)劃、交通設(shè)計(jì)、生態(tài)建設(shè)等各個(gè)領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用，發(fā)揮著不可取代的巨大作用［2］。

從數(shù)學(xué)角度上來說，最優(yōu)化方法的本質(zhì)就是一種求極值的方法，具體的說就是在一組約束條件為等式或者不等式的情形下，使得系統(tǒng)的目標(biāo)函數(shù)要么達(dá)到最大值，要么達(dá)到最小值。從經(jīng)濟(jì)角度上來說，有兩種情形：（1）是在一些客觀的資源條件下，比如：人力、財(cái)力、物力等等，產(chǎn)生最大的經(jīng)濟(jì)效益，比如：利潤最大或者產(chǎn)值最高；（2）如果生產(chǎn)或者經(jīng)濟(jì)任務(wù)是預(yù)先固定的，讓投入的人力、財(cái)力和物力等資源支出減到最少，換句話說，這種情形就相當(dāng)于節(jié)約成本。

以最優(yōu)化方法對實(shí)際問題進(jìn)行求解，大概可以按下面五個(gè)步驟進(jìn)行：

1.明確最優(yōu)化問題是什么，盡量多收集與問題相關(guān)的一些數(shù)據(jù)以及資料；

2.建立最優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型，即找出具體變量，還需列舉目標(biāo)函數(shù)和約束條件；

3.分析建立好的數(shù)學(xué)模型，找出符合要求的最優(yōu)化方法；

4.對問題進(jìn)行求解，目前普遍做法是先用一種程序語言來編寫程序，然后在計(jì)算機(jī)運(yùn)行，從而求得最優(yōu)解；

5.對最優(yōu)解進(jìn)行檢驗(yàn)和實(shí)施。

實(shí)際問題錯(cuò)綜復(fù)雜，前面五個(gè)步驟也涉及到很多因素，它們是相互支持同時(shí)也相互制約，幾十年的實(shí)踐證明這種五個(gè)步驟不是線性的，它們經(jīng)常需要反復(fù)交叉進(jìn)行。

三、最優(yōu)化方法在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

總的來說，數(shù)學(xué)建模就是將實(shí)際問題進(jìn)行整理、分析、假設(shè)等手段后得到數(shù)學(xué)模型，通過求解數(shù)學(xué)模型得到最優(yōu)解決方案。眾所周知，數(shù)學(xué)模型的求解過程是一個(gè)既關(guān)鍵又困難的過程，而很多數(shù)學(xué)模型都是最優(yōu)化模型，即在一定的約束條件下，求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。最優(yōu)化方法就是一種求解最優(yōu)化問題的方法，它提供了不同算法來解決各種各樣的優(yōu)化問題。

最優(yōu)化模型有三要素，就是目標(biāo)函數(shù)、變量和約束條件：（1）目標(biāo)函數(shù)：評價(jià)任何一個(gè)事物好不好，首先要有一個(gè)評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，也不例外；目標(biāo)函數(shù)就是對問題的最優(yōu)化評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)描述；目標(biāo)函數(shù)非常多，比如：系統(tǒng)功能的函數(shù)、費(fèi)用的函數(shù)等等。但所有函數(shù)必須滿足一個(gè)規(guī)則：在滿足規(guī)定的約束條件下得到最大值或最小值。（2）變量是指最優(yōu)化問題中將要確定的一些參數(shù)。（3）約束條件就是在求解最優(yōu)解時(shí)對變量提出的一些限制，主要有幾個(gè)方面：比如時(shí)間上的約束、資源上的約束和技術(shù)上的約束等等；要想求得的系統(tǒng)最優(yōu)解越接近實(shí)際最優(yōu)解，就必須讓列出的約束條件越接近實(shí)際系統(tǒng)，兩者關(guān)系是密切相關(guān)的。

最優(yōu)化模型的一般形式如下：

其中x=（x1，xn）T∈Rn是決策變量，f（x）是目標(biāo)函數(shù)，gi（x），hj（x）分別是不等式約束和等式約束函數(shù)。最優(yōu)化模型根據(jù)目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的特性可分為不同類型的問題，如線性規(guī)劃問題、非線性規(guī)劃問題、均衡約束問題、整數(shù)規(guī)劃問題、目標(biāo)規(guī)劃問題、動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題等等。最優(yōu)化問題和最優(yōu)化方法求解兩者是多對多的關(guān)系，一種最優(yōu)化問題可以用一種或者多種最優(yōu)化方法求解，反過來，某種最優(yōu)化方法可對一種或者多種不同類型的最優(yōu)化問題進(jìn)行求解。

線性規(guī)劃問題、非線性規(guī)劃問題和無約束規(guī)劃問題都可以利用Matlab中的優(yōu)化工具箱來求解。例如

1.使用Matlab求解線性規(guī)劃模型：

可使用命令linprog，調(diào)用格式如下：

其中X為n維向量，Ceq（X）與G（X）皆為非線性函數(shù)組成的函數(shù)。可以使用fmincon函數(shù)，其命令格式為：

x=fmincon（'fun'，X0，A，b，Aeq，beq，VLB，VUB）。

傳統(tǒng)優(yōu)化方法以及前面講到的處理方法在優(yōu)化模型規(guī)模較大或復(fù)雜性較高有些情況下是不能取得令人滿意的效果。優(yōu)化模型規(guī)模較大或復(fù)雜性較高有以下幾個(gè)方面：（1）優(yōu)化模型中夾雜某些很復(fù)雜的非線性函數(shù)；（2）數(shù)據(jù)需要預(yù)先進(jìn)行擬合預(yù)測；（3）優(yōu)化模型包含了隨機(jī)變量；（4）需要對優(yōu)化模型按分類進(jìn)行鑒別。在優(yōu)化模型規(guī)模較大或復(fù)雜性較高的情況下，就可采用最優(yōu)化理論的非經(jīng)典算法進(jìn)行求解。最優(yōu)化理論的非經(jīng)典算法包括神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法、模擬退火算法、蒙特卡羅算法和支持向量機(jī)方法。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法主要原理是首先明確不同輸入?yún)?shù)間的依賴關(guān)系，再以比較高的精度盡量逼近復(fù)雜的非線性函數(shù)，然后從大量數(shù)據(jù)當(dāng)中進(jìn)行總結(jié)，找出一些基本規(guī)律。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法對非線性關(guān)系很復(fù)雜的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合并估計(jì)相關(guān)參數(shù)這方面有獨(dú)到之處。此算法的擬和序列不但能夠模仿復(fù)雜的分段函數(shù)和非線性函數(shù)，而且不需要預(yù)先假定數(shù)據(jù)之間存在某種類型的函數(shù)關(guān)系，這樣可以顯著地提高信息的使用效率。另外，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法在模式識別、鑒定、分類等方面有廣泛的應(yīng)用。

模擬退火算法和遺傳算法屬于全局優(yōu)化搜索算法，它們在組合優(yōu)化問題方面有著很大的適用性，在數(shù)學(xué)建模中的優(yōu)勢主要在于解決規(guī)模比較大復(fù)雜性較比高的問題。這兩種算法在現(xiàn)實(shí)當(dāng)中也有一些應(yīng)用，比如：CUMCM2000年B題“鋼管訂購和運(yùn)輸”可建立非線性規(guī)劃模型，如果用傳統(tǒng)優(yōu)化算法進(jìn)行求解會(huì)很困難，但采用遺傳算法求解則相對容易些；CUMCM2002年B題“彩票中的數(shù)學(xué)”：有建模者依據(jù)效用理論中的主觀概率以及彩票信息在人群中的傳播效應(yīng)，很快制定了確定“更好”方案，這方案就是建立了三個(gè)規(guī)模較大并且很復(fù)雜的非線性規(guī)劃模型，這種情況下，可采用模擬退火算法取得全局最優(yōu)解［3］。

在建模過程中，有時(shí)會(huì)構(gòu)建隨機(jī)規(guī)劃模型。例如CUMCM2005年D題“DVD在線租賃”問題，此時(shí)可用蒙特卡羅方法。

支持向量機(jī)算法比較適用于樣本有限的情況，它的原理是盡量提高學(xué)習(xí)機(jī)泛化能力，使得經(jīng)驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)和置信范圍的最小化，最終為了達(dá)到在統(tǒng)計(jì)樣本量比較少的情況下，能夠獲得比較好的統(tǒng)計(jì)規(guī)律的目的，而要取得前面的效果的主要途徑是通過找尋結(jié)構(gòu)化風(fēng)險(xiǎn)最小來實(shí)現(xiàn)的。

除此之外還有蟻群算法，它是一種用來在圖中尋找優(yōu)化路徑的機(jī)率型算法。

綜上所述，最優(yōu)化理論與數(shù)學(xué)建模之間的關(guān)系是緊密相連的，數(shù)學(xué)模型來源于生活和實(shí)踐，所建立的模型會(huì)越來越龐大復(fù)雜，因?yàn)閷?shí)踐中的各種問題經(jīng)常是多種多樣且可能會(huì)隨時(shí)變化的。所以，一個(gè)好的數(shù)學(xué)模型的建立，有利于用最優(yōu)化理論解決實(shí)際問題，經(jīng)常會(huì)給實(shí)際問題帶來突破性的進(jìn)展。

［1］王玉英，史加榮，王建國，等.數(shù)學(xué)建模及其軟件實(shí)現(xiàn)［M］.清華大學(xué)出版社，2015.

［2］袁亞湘，孫文瑜.最優(yōu)化理論與方法［M］.科學(xué)出版社，1997.

［3］徐慶娟，韋程東.淺談數(shù)學(xué)建模過程中優(yōu)化模型的處理方法［J］.廣西師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，27（2）：102-105.

This paper introduces the definition，origin，development and modeling process of mathematical modeling.And then the relevant theories of optimization method are introduced.Finally，the application of optimization method in mathematical modeling is studied.

mathematical modeling；optimization method；optimization algorithm

G642

A

2096-000X（2016）21-0118-03

河池學(xué)院教改課題（編號：2014EB019）

黃青群（1980-），女，漢，廣西梧州人，河池學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院講師，碩士，主要研究方向：優(yōu)化理論與算法。