李貴萍,段永瑞

(1.寧波大學(xué) 商學(xué)院，浙江 寧波 315211； 2. 同濟(jì)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，上海 200092)

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時(shí)變變質(zhì)率產(chǎn)品的訂購(gòu)-定價(jià)策略

李貴萍1,段永瑞2

(1.寧波大學(xué) 商學(xué)院，浙江 寧波 315211； 2. 同濟(jì)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，上海 200092)

研究時(shí)變變質(zhì)率產(chǎn)品的訂購(gòu)與定價(jià)聯(lián)合決策問(wèn)題。以系統(tǒng)平均利潤(rùn)最大化為目標(biāo)函數(shù)且將已變質(zhì)產(chǎn)品的變質(zhì)處理成本考慮在內(nèi)，構(gòu)建了相應(yīng)的訂購(gòu)與定價(jià)聯(lián)合決策模型，其中需求同時(shí)依賴于價(jià)格和庫(kù)存水平、系統(tǒng)允許缺貨且缺貨量部分延遲訂購(gòu)。接著，對(duì)于已知的定價(jià)策略，證明并給出了最優(yōu)補(bǔ)貨策略唯一存在的充分條件；另一方面，對(duì)于已知補(bǔ)貨策略的情況也證明了最優(yōu)定價(jià)策略的存在性。此外，證明了在聯(lián)合訂購(gòu)與定價(jià)決策下得到的最優(yōu)銷售價(jià)格總是大于單獨(dú)進(jìn)行定價(jià)決策時(shí)得到的最優(yōu)價(jià)格。進(jìn)而，在模型證明和分析的基礎(chǔ)上給出一個(gè)尋求最優(yōu)解的算法。最后，通過(guò)數(shù)值模擬的方法對(duì)模型中主要參數(shù)的靈敏度進(jìn)行了分析，并給出相應(yīng)的管理建議。結(jié)果表明：如果零售商忽略庫(kù)存水平對(duì)需求的影響或變質(zhì)處理成本，制定的銷售價(jià)格將偏低；對(duì)于價(jià)格彈性較高的產(chǎn)品，零售商應(yīng)采取低價(jià)銷售策略；當(dāng)顧客的等待耐心較差或產(chǎn)品的替代性較強(qiáng)時(shí)，最優(yōu)策略應(yīng)該是提高產(chǎn)品的銷售定價(jià)并縮短缺貨期。

時(shí)變變質(zhì)率產(chǎn)品；訂購(gòu)與定價(jià)策略；價(jià)格和庫(kù)存依賴型需求率；部分延遲訂購(gòu)

在傳統(tǒng)的庫(kù)存控制模型中，決策目標(biāo)是最小化系統(tǒng)的平均成本，往往忽略產(chǎn)品的銷售價(jià)格，即使考慮，一般也被看作外生變量。然而，在經(jīng)濟(jì)實(shí)踐中商家常常通過(guò)創(chuàng)新的定價(jià)策略來(lái)對(duì)庫(kù)存進(jìn)行有效地管理，如廣泛用于航空、酒店、租賃等領(lǐng)域的收益管理技術(shù)[1]。Gallego等[2]指出在零售行業(yè)中定價(jià)技術(shù)對(duì)提升利潤(rùn)也有著非常重要的作用。自Whitin[3]首次在庫(kù)存控制模型中考慮定價(jià)決策后，庫(kù)存控制與定價(jià)聯(lián)合決策問(wèn)題吸引了許多學(xué)者的注意。

易變質(zhì)品是庫(kù)存物品的一個(gè)重要組成部分，由于其易于變質(zhì)的特性更有必要通過(guò)定價(jià)策略對(duì)其需求進(jìn)行管理。比如對(duì)于果蔬類農(nóng)產(chǎn)品，隨著產(chǎn)品新鮮度的下降其需求也會(huì)降低，此時(shí)商家會(huì)通過(guò)降價(jià)促銷的手段來(lái)吸引一些顧客，從而將產(chǎn)品銷售出去。另外，對(duì)于一些服裝類的快銷時(shí)尚品牌，在銷售季節(jié)開(kāi)始時(shí)基本需求較為旺盛，銷售價(jià)格也會(huì)相對(duì)較高；隨著時(shí)間的推移，產(chǎn)品價(jià)值逐漸下降，因此基本需求也會(huì)相應(yīng)減少；此時(shí)如果庫(kù)存量仍然較大，商家會(huì)采取降價(jià)的方式進(jìn)行促銷，以減少庫(kù)存積壓、降低損失。Cohen[4]較早討論了易變質(zhì)品的聯(lián)合訂購(gòu)和定價(jià)問(wèn)題，假設(shè)需求與銷售價(jià)格相關(guān)、變質(zhì)率為常數(shù)，同時(shí)考慮了完全損失和完全延遲訂購(gòu)兩種情況。Abad[5]假設(shè)需求是關(guān)于銷售價(jià)格的任意減函數(shù)，變質(zhì)率是關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，部分延遲訂購(gòu)率與等待時(shí)間相關(guān)，構(gòu)建了一個(gè)易變質(zhì)品的聯(lián)合訂購(gòu)與定價(jià)問(wèn)題。然而，在其模型中沒(méi)有考慮缺貨情況下的成本(包括延遲訂購(gòu)成本和損失銷售成本)。針對(duì)這一不足，Dye[6]在利潤(rùn)函數(shù)中同時(shí)考慮了延遲訂購(gòu)成本和損失銷售成本，構(gòu)建了一個(gè)部分延遲訂購(gòu)率為倒數(shù)形式的易變質(zhì)品聯(lián)合定價(jià)-訂購(gòu)模型。后來(lái)，Dye等[7]在考慮指數(shù)形式的部分延遲訂購(gòu)率的基礎(chǔ)上構(gòu)建了一個(gè)類似的模型。Sana[8]構(gòu)建了一個(gè)更為一般的定價(jià)與訂購(gòu)模型，假設(shè)部分延遲訂購(gòu)率是關(guān)于等待時(shí)間的任意連續(xù)可微函數(shù)。

以上模型均假設(shè)需求只依賴于產(chǎn)品的銷售價(jià)格。事實(shí)上，對(duì)于果蔬類和時(shí)尚類等易變質(zhì)品來(lái)說(shuō)，較高的庫(kù)存水平對(duì)增加銷售具有積極的影響，即需求依賴于庫(kù)存水平。很多庫(kù)存模型中都考慮了需求依賴于庫(kù)存水平的情況，Urban[9]給出了國(guó)外此類問(wèn)題的一個(gè)相關(guān)研究綜述。國(guó)內(nèi)這方面的研究也有很多。羅兵等[10]在需求同時(shí)依賴于時(shí)間和庫(kù)存水平、常數(shù)變質(zhì)率、時(shí)變購(gòu)買成本、允許缺貨且缺貨量完全延遲的假設(shè)基礎(chǔ)上，構(gòu)建了一個(gè)有限時(shí)域內(nèi)等周期且各周期服務(wù)水平相同的易變質(zhì)品庫(kù)存模型。羅兵等[11]進(jìn)一步考慮時(shí)變短缺量拖后率以及資金時(shí)間價(jià)值等因素對(duì)易變質(zhì)品庫(kù)存管理的影響，建立了相應(yīng)的EOQ模型。徐賢浩和李銳娟[12]假設(shè)需求受庫(kù)存水平影響，無(wú)形變質(zhì)率與需求率負(fù)相關(guān)，建立了短生命周期物品的庫(kù)存模型。閔杰和周永務(wù)[13]針對(duì)非立即變質(zhì)品，考慮了一個(gè)需求依賴于庫(kù)存水平，變質(zhì)率為常數(shù)且部分延遲訂購(gòu)的最優(yōu)庫(kù)存控制問(wèn)題。段永瑞等[14]討論了一個(gè)需求依賴于庫(kù)存水平，變質(zhì)服從兩參數(shù)Weibull分布，缺貨量部分延遲訂購(gòu)且延遲訂購(gòu)率與等待時(shí)間相關(guān)的庫(kù)存控制問(wèn)題。

以上關(guān)于易變質(zhì)品的庫(kù)存控制研究中，假設(shè)需求或者受價(jià)格的影響，或者受庫(kù)存水平的影響。而實(shí)踐中，易變質(zhì)品的需求會(huì)同時(shí)受到多種因素的影響。Teng等[15]針對(duì)易變質(zhì)品，構(gòu)建了一個(gè)生產(chǎn)率和變質(zhì)率均為常數(shù)的聯(lián)合定價(jià)和生產(chǎn)模型，假設(shè)產(chǎn)品的需求同時(shí)依賴于庫(kù)存水平和價(jià)格，系統(tǒng)不允許缺貨。Hou等[16]考慮通貨膨脹和貨幣的時(shí)間價(jià)值，假設(shè)產(chǎn)品的變質(zhì)率為常數(shù)，需求同時(shí)受庫(kù)存水平和價(jià)格的影響，缺貨量完全延遲訂購(gòu)，構(gòu)建了一個(gè)有限時(shí)域內(nèi)的庫(kù)存模型。文獻(xiàn)[17-18]討論了需求同時(shí)依賴于價(jià)格和庫(kù)存水平，變質(zhì)率為常數(shù)，允許零售商延遲支付貨款，不允許缺貨且期末庫(kù)存水平不為零的非立即變質(zhì)品的庫(kù)存系統(tǒng)的最優(yōu)補(bǔ)貨問(wèn)題。Shah等[19]在考慮通貨膨脹和貨幣的時(shí)間價(jià)值基礎(chǔ)上討論了對(duì)易變質(zhì)品庫(kù)存系統(tǒng)進(jìn)行最優(yōu)訂購(gòu)、定價(jià)和保鮮技術(shù)投資決策的問(wèn)題，其中需求同時(shí)依賴于價(jià)格和庫(kù)存水平，變質(zhì)率為常數(shù)，系統(tǒng)同時(shí)進(jìn)行保鮮技術(shù)投資以降低產(chǎn)品的變質(zhì)率，不允許缺貨且系統(tǒng)存在殘次品。

然而，在以上考慮需求同時(shí)依賴于銷售價(jià)格和庫(kù)存水平的模型中多假設(shè)產(chǎn)品的變質(zhì)率為常數(shù)，且系統(tǒng)不允許缺貨或完全延遲訂購(gòu)。針對(duì)以上不足，本文考慮一個(gè)需求同時(shí)依賴于銷售價(jià)格和庫(kù)存水平，產(chǎn)品的變質(zhì)率隨時(shí)間發(fā)生變化，系統(tǒng)缺貨量部分延遲訂購(gòu)且部分延遲訂購(gòu)率是關(guān)于等待時(shí)間的減函數(shù)的訂購(gòu)與定價(jià)聯(lián)合決策問(wèn)題。此外，本文在目標(biāo)函數(shù)中考慮已變質(zhì)產(chǎn)品的處理成本，而以上文獻(xiàn)中大多未考慮這一成本要素。實(shí)踐中對(duì)已變質(zhì)產(chǎn)品的處理成本是存在的并且會(huì)對(duì)庫(kù)存和定價(jià)策略產(chǎn)生影響。當(dāng)變質(zhì)處理成本較大時(shí)，訂購(gòu)量或生產(chǎn)量會(huì)減少，定價(jià)策略也會(huì)發(fā)生變化。在以上假設(shè)基礎(chǔ)上本文構(gòu)建相應(yīng)的訂購(gòu)與定價(jià)聯(lián)合決策模型，進(jìn)而證明模型解的存在性，并提出相應(yīng)的數(shù)值求解算法。最后通過(guò)算例，展示了模型和算法的應(yīng)用，并對(duì)主要參數(shù)的靈敏度進(jìn)行了分析。

1　假設(shè)和符號(hào)表示

文中用到的假設(shè)和相關(guān)符號(hào)表示。

1) 計(jì)劃時(shí)域無(wú)限且系統(tǒng)的訂貨提前期為零。

4)A表示固定訂購(gòu)成本；Cp表示單位購(gòu)買成本；p表示單位銷售價(jià)格，且p>Cp(決策變量)；Ch表示單位產(chǎn)品單位時(shí)間的庫(kù)存持有成本；Cd表示單位變質(zhì)產(chǎn)品的處理成本；Cs表示單位產(chǎn)品單位時(shí)間的缺貨成本；Co表示在缺貨期內(nèi)由于損失單位銷售而引起的機(jī)會(huì)成本；Q表示一個(gè)補(bǔ)貨周期內(nèi)的訂購(gòu)量；TP表示一個(gè)補(bǔ)貨周期內(nèi)庫(kù)存系統(tǒng)的總利潤(rùn)；AP表示單位時(shí)間的平均利潤(rùn)。

基于假設(shè)5)和6)，該庫(kù)存系統(tǒng)的實(shí)際需求率可表示為

2　模型構(gòu)建與分析

圖1　補(bǔ)貨周期內(nèi)庫(kù)存水平隨時(shí)間的變化示意圖

(1)

(2)

(3)

(4)

綜上可知，整個(gè)補(bǔ)貨周期的訂購(gòu)量為

(5)

那么，一個(gè)周期內(nèi)的利潤(rùn)構(gòu)成要素如下。

1)固定訂購(gòu)成本:FC=A。

2)購(gòu)買成本:

3)庫(kù)存持有成本:

4)變質(zhì)處理成本:

5)缺貨成本:

6)機(jī)會(huì)成本:

7)銷售收入:

因此，一個(gè)補(bǔ)貨周期內(nèi)的總利潤(rùn)為

TP(p,t1,t2)=SR-(FC+PC+HC+DC+

(6)

從而，單位時(shí)間的平均利潤(rùn)為

(7)

(8)

(9)

(10)

其中，

(11)

(12)

(13)

證明由式(11)和式(12)，有

由式(8)和式(9)易得

(14)

(15)

(16)

將式(14)代入式(16)，得

證明：1) 通過(guò)一定的代數(shù)變換，可知式(10)等價(jià)于

(17)

其中,

接下來(lái)驗(yàn)證p*為最大值點(diǎn)的二階充分條件。容易得到:

(18)

證明單獨(dú)定價(jià)決策模型即不考慮運(yùn)營(yíng)成本時(shí)系統(tǒng)的平均利潤(rùn)函數(shù)可表示為

(19)

圖2　p*和p0的關(guān)系圖

說(shuō)明4推論1指出訂購(gòu)與定價(jià)聯(lián)合決策下得到的最優(yōu)銷售價(jià)格高于單獨(dú)進(jìn)行定價(jià)決策時(shí)得到的最優(yōu)銷售價(jià)格。因此，對(duì)于一個(gè)企業(yè)來(lái)說(shuō)，銷售部門不考慮運(yùn)作部門的成本而決策的銷售價(jià)格將會(huì)偏低。如果運(yùn)作部門采用這一價(jià)格來(lái)預(yù)測(cè)需求并決策訂購(gòu)/生產(chǎn)策略，那么得到的策略對(duì)整個(gè)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)并不是最優(yōu)的。

3　算法

基于定理1和定理2，在這一部分將給出一個(gè)算法用于搜索模型的最優(yōu)解。

4　算例分析

保持其他參數(shù)的取值不變，每次只改變指定參數(shù)的取值。為了觀察參數(shù)β和Cd對(duì)最優(yōu)解的影響，表1給出了3種特殊情況下的模型最優(yōu)解,表2進(jìn)一步展示了最優(yōu)解隨β和Cd變化的靈敏度情況，表3給出了模型中其他主要參數(shù)對(duì)最優(yōu)策略及利潤(rùn)的影響情況。

表1　參數(shù)β和Cd取值的3種特殊情況

觀察表1可以發(fā)現(xiàn)：與不考慮庫(kù)存水平對(duì)需求的影響和物品的變質(zhì)處理成本的情況(β=0和Cd=0)相比，當(dāng)物品的需求受庫(kù)存水平影響時(shí)(β≠0和Cd=0)，最優(yōu)銷售價(jià)格上升、庫(kù)存持有時(shí)間延長(zhǎng)、缺貨期縮短、最優(yōu)訂購(gòu)量和利潤(rùn)均增加；當(dāng)物品的變質(zhì)處理成本存在時(shí)(β=0和Cd≠0)，最優(yōu)銷售價(jià)格上升，庫(kù)存持有時(shí)間縮短、缺貨期延長(zhǎng)、最優(yōu)訂購(gòu)量和利潤(rùn)均降低。因此，如果零售商忽略庫(kù)存水平對(duì)需求的影響或變質(zhì)處理成本，那么所制定的銷售價(jià)格將比較低。

表2展示了最優(yōu)解對(duì)β和Cd的靈敏度變化。觀察可有如下發(fā)現(xiàn)。

表2　不同Cd和β取值下的最優(yōu)解

1) 隨著β的增大，最優(yōu)銷售價(jià)格p*、持有庫(kù)存的時(shí)間t1*、訂購(gòu)量Q*和平均利潤(rùn)AP*均增加，最優(yōu)缺貨期t2*縮短。這一結(jié)果表示當(dāng)庫(kù)存水平對(duì)需求的影響較大時(shí)，商家應(yīng)延長(zhǎng)持有庫(kù)存的時(shí)間、縮短缺貨期。

2) 隨著Cd的增加，最優(yōu)持有庫(kù)存時(shí)間t1*縮短，最優(yōu)缺貨期t2*延長(zhǎng)，最優(yōu)訂貨量Q*和平均利潤(rùn)AP*均降低。結(jié)果指出當(dāng)單位變質(zhì)處理成本增加時(shí)，商家將縮短持有庫(kù)存的時(shí)間并延長(zhǎng)缺貨期以減少補(bǔ)貨周期內(nèi)物品的變質(zhì)量。

表3給出了對(duì)模型中其它相關(guān)參數(shù)的靈敏度分析，觀察可得以下結(jié)論。

1)隨著購(gòu)買成本Cp的增大，最優(yōu)銷售價(jià)格p*和補(bǔ)貨周期T*增大，而訂購(gòu)量Q*和平均利潤(rùn)AP*減少且對(duì)購(gòu)買成本的變化具有非常敏感的負(fù)相關(guān)性。

2)隨著庫(kù)存持有成本Ch的增大，最優(yōu)銷售價(jià)格p*和缺貨時(shí)間t2*增大，庫(kù)存持有時(shí)間t1*、訂購(gòu)量Q*和平均利潤(rùn)AP*減少。即當(dāng)系統(tǒng)的持有成本較大時(shí)產(chǎn)品的銷售定價(jià)也應(yīng)相對(duì)提升，同時(shí)零售商可采用減少訂購(gòu)量、延長(zhǎng)缺貨期的策略來(lái)控制庫(kù)存成本。

3)隨著需求的價(jià)格彈性系數(shù)n的增大，最優(yōu)銷售價(jià)格p*、訂購(gòu)量Q*和平均利潤(rùn)AP*減少，而庫(kù)存持有時(shí)間t1*和缺貨時(shí)間t2*增大。這說(shuō)明，當(dāng)產(chǎn)品具有較高的需求價(jià)格彈性系數(shù)時(shí)，為了保持一定的需求率，零售商應(yīng)采用低價(jià)銷售策略。

4)隨著部分延遲訂購(gòu)阻力系數(shù)K和缺貨成本Cs的增大，最優(yōu)銷售價(jià)格p*和庫(kù)存持有時(shí)間t1*增大，而缺貨時(shí)間t2*、訂購(gòu)量Q*和平均利潤(rùn)AP*減少。這表明，當(dāng)面對(duì)等待耐心較差的顧客或可替代性較強(qiáng)的產(chǎn)品時(shí)，零售商的最優(yōu)策略應(yīng)該是提高產(chǎn)品的銷售定價(jià)并縮短缺貨期。

表3　相關(guān)參數(shù)對(duì)最優(yōu)解的靈敏度分析

5　結(jié)論

本文考慮了一個(gè)在數(shù)學(xué)性質(zhì)上更具一般性的易變質(zhì)品的訂購(gòu)與定價(jià)聯(lián)合決策問(wèn)題，假設(shè)需求同時(shí)依賴于銷售價(jià)格和即時(shí)庫(kù)存水平，物品的變質(zhì)率是與關(guān)于時(shí)間的一般形式的可微函數(shù)，系統(tǒng)允許缺貨且缺貨量部分延遲訂購(gòu)，部分延遲訂購(gòu)率是與顧客等待時(shí)間相關(guān)的一般形式的可微遞減函數(shù)。此外，考慮已變質(zhì)產(chǎn)品的處理成本，以系統(tǒng)的平均利潤(rùn)最大化為目標(biāo)函數(shù)構(gòu)建訂購(gòu)與定價(jià)聯(lián)合決策模型。分析并證明了對(duì)于給定的銷售價(jià)格，當(dāng)參數(shù)滿足一定條件時(shí)，使平均利潤(rùn)最大化的最優(yōu)補(bǔ)貨策略唯一存在；同時(shí)，對(duì)于給定的補(bǔ)貨策略，最優(yōu)銷售策略也存在。此外，證明了在訂購(gòu)與定價(jià)聯(lián)合決策下得到的最優(yōu)銷售價(jià)格總是大于單獨(dú)進(jìn)行定價(jià)決策時(shí)得到的最優(yōu)價(jià)格。最后，通過(guò)算例給出模型的數(shù)值應(yīng)用，并對(duì)相關(guān)參數(shù)的靈敏度進(jìn)行了分析，得到以下一些重要結(jié)論：1)如果零售商忽略庫(kù)存水平對(duì)需求的影響或變質(zhì)處理成本，制定的銷售價(jià)格將偏低；2)對(duì)需求受庫(kù)存水平影響較小的產(chǎn)品來(lái)說(shuō)，最優(yōu)銷售價(jià)格隨著變質(zhì)處理成本的增大而提高；反之，對(duì)需求受庫(kù)存水平影響較大的產(chǎn)品來(lái)說(shuō)，最優(yōu)銷售價(jià)格隨著變質(zhì)處理成本的增大而降低；3)對(duì)于需求價(jià)格彈性系數(shù)較高的產(chǎn)品，應(yīng)采取低價(jià)銷售策略；4)當(dāng)面對(duì)等待耐心較差的顧客或可替代性較強(qiáng)的產(chǎn)品時(shí)，零售商的最優(yōu)策略應(yīng)該是提高產(chǎn)品的銷售定價(jià)并縮短缺貨期。

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Joint Ordering and Pricing Policy for Perishable Items with Time-varying Deterioration Rate

LI Guiping1, DUAN Yongrui2

(1. Business School, Ningbo University, Ningbo 315211, China;2. School of Economics and Management, Tongji University, Shanghai 200092, China)

A joint ordering and pricing problem for perishable items with time-varying deterioration rate is discussed. Treating the maximized average profit as the objective and taking the disposal cost of decayed items into account, a joint ordering and pricing model is formulated, in which demand rate is dependent on both price and inventory level, the shortage is allowed and partially backlogged. Next, for any given pricing policy, the unique and optimal ordering policy is proved existent under a certain condition; on the other hand, for any given ordering policy, the existence of optimal pricing is also proved. In addition, it is proved that the optimal selling price obtained under the joint pricing and ordering decision is greater than that under the situation of making pricing decision separately. Furthermore, based on the proof and analysis of the model, an algorithm is proposed to search the optimal solution. Finally, the sensitivity analyses of main parameters of model are conducted by numerical simulation. The result shows that if the retailer ignores the influence of inventory level on the demand or the disposal cost of decayed items, the selling price will be low. As for products with high price elasticity, the retailer should adopt a low-pricing policy. If customers are impatient or products are with high substitutability, the optimal policy is to increase the selling price and shorten the shortage period.

perishable item with time-varying deterioration rate; ordering and pricing policy; price-and stock-dependent demand rate; partial backlogging

2015- 11- 10

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71502088, 71371139, 71173123) ；中國(guó)博士后科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2015M581907)；浙江省博士后資助項(xiàng)目(BSH1502157); 上海市曙光人才計(jì)劃資助項(xiàng)目(13SG24)；寧波大學(xué)人文社會(huì)科學(xué)培育資助項(xiàng)目(XPYB14006)

李貴萍(1988-)，女，山西省人，講師，博士，主要研究方向?yàn)閹?kù)存與供應(yīng)鏈管理.

10.3969/j.issn.1007- 7375.2016.04.002

F253.4

A

1007-7375(2016)04- 0008- 10