白紅光，郭懷民，趙國(guó)忠

(1.包頭職業(yè)技術(shù)學(xué)院，內(nèi)蒙古包頭014030;2.包頭師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古包頭014030)

0 引言

磁電彈性復(fù)合材料比單一的壓電或壓磁材料更具有力、電和磁的耦合效應(yīng)[1]，這種特性促使人們積極地用以研制新材料.Song[2]對(duì)遠(yuǎn)場(chǎng)載荷條件下電磁彈性體中含有平面裂紋問(wèn)題進(jìn)行了研究，Hou和Leung[3]考慮了內(nèi)含橢圓夾雜的無(wú)限磁電介質(zhì)，在平面內(nèi)和平面外剪切作用下的情形，給出了圓形裂紋前沿的電、磁、彈性場(chǎng)的分布規(guī)律；Liu[4]研究了含孔洞或裂紋的磁電彈性復(fù)合材料的Green函數(shù)；Spyropoulos等[5,6]分析了電磁彈性體中的絕緣型反平面裂紋問(wèn)題；劉等[7]分析了部分裂紋面上受反平面剪應(yīng)力和面內(nèi)電載荷共同作用下有限高狹長(zhǎng)壓電體中的運(yùn)動(dòng)裂紋問(wèn)題；Guo等[8]研究了狹長(zhǎng)磁電彈性體中III型半無(wú)限裂紋的場(chǎng)強(qiáng)度因子，分析了裂紋面上受載荷長(zhǎng)度、狹長(zhǎng)體高度以及磁、電和機(jī)械能對(duì)能量釋放率的影響；Hu和Zhong[9]研究了功能梯度狹長(zhǎng)壓電體中III型運(yùn)動(dòng)裂紋，分析了裂紋運(yùn)動(dòng)速度對(duì)裂紋擴(kuò)展的影響.對(duì)于運(yùn)動(dòng)裂紋問(wèn)題，郭[10,11]研究了狹長(zhǎng)磁電彈性體中雙半無(wú)限運(yùn)動(dòng)裂紋與靜態(tài)裂紋問(wèn)題，討論了一般材料基體中橢圓孔邊動(dòng)態(tài)裂紋的快速傳播問(wèn)題，至今還未發(fā)現(xiàn)磁電彈性復(fù)合材料體中橢圓不對(duì)稱裂紋傳播問(wèn)題的研究.本文利用復(fù)變函數(shù)法討論了該問(wèn)題，導(dǎo)出了部分裂紋面上反平面剪應(yīng)力、面內(nèi)電載荷以及磁載荷共同作用下的裂紋尖端場(chǎng)強(qiáng)度因子和機(jī)械應(yīng)變能釋放率的解析解.

1 問(wèn)題的描述

各向同性磁電彈性復(fù)合材料基體中帶有不對(duì)稱雙裂紋的橢圓孔口（如圖1所示），將x3軸作為磁電彈性介質(zhì)的磁電極化方向，沿x1-x2平面為各向同性面.在無(wú)窮遠(yuǎn)處作用反平面剪應(yīng)力τ∞，電載荷E∞和磁場(chǎng)載荷C∞共同作用.裂紋尖端以勻速度v沿x1軸方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)系記為(x1,x2,x3)，同時(shí)建立固定坐標(biāo)系(x,y,￡).所有變量和￡沒(méi)有關(guān)系，其本構(gòu)方程為

圖1 磁電彈性復(fù)合材料體中橢圓孔邊運(yùn)動(dòng)裂紋

忽略體力、體電荷密度和體電流的作用時(shí),動(dòng)態(tài)位移分量、電勢(shì)和磁勢(shì)所滿足的微分方程組為

?2=分別表示電位移、應(yīng)力、反平面位移、面內(nèi)電勢(shì)和面內(nèi)磁勢(shì);ρ為磁電彈性介質(zhì)的質(zhì)量密度;e15,c44,p15,κ11分別是壓電常數(shù)、材料常數(shù)、磁電常數(shù)和介電常數(shù).

引進(jìn)新函數(shù)

在裂紋勻速擴(kuò)展時(shí)，起始坐標(biāo)和運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)的關(guān)系可表示為

由式（4），方程組（2）可化為下列三個(gè)相互耦合的方程

其中

其中c是磁電彈性介質(zhì)的反平面剪切波的波速，ce是材料常數(shù)，方程（3）和（5）可化成下面的方程

式（6）的解為解析函數(shù)的實(shí)部或虛部，其形式為Φ1(z),Ψ1(z),U1(z),z=x+iy,z1=x+iy1,由此得

將上式代入本構(gòu)方程（1）得：

再由邊界條件可得：

2 問(wèn)題的求解

2.1 引入拱形變換公式[12]

該變換將ζ平面上的單位圓內(nèi)部區(qū)域保角映射到z平面上含有孔邊帶不對(duì)稱雙裂紋的橢圓形孔洞的無(wú)限大平面,引入下面的記號(hào)

將式（11）代入式（8）中，利用Cauchy積分公式沿著單位圓周積分可得

其中

由式（13），當(dāng)ζ→1(z→c)時(shí)

2.2 應(yīng)力強(qiáng)度因子的求解

定義場(chǎng)強(qiáng)度因子可為

當(dāng)ζ→1(z→c)時(shí)

由式（16）、（17）得到裂紋尖端（c,0）處應(yīng)力強(qiáng)度因子為

2.3 關(guān)于應(yīng)力強(qiáng)度因子的一些討論

當(dāng)裂紋傳播速度趨于零時(shí),α1→1,式（18）退化為下面的靜態(tài)裂紋解：

（1）當(dāng)d→a,c→a且b→0時(shí)g→1,→1時(shí)由式（19）得

（2）當(dāng)b→0時(shí)，由式（19）得

以上兩結(jié)果都是Griffith型裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子，與文獻(xiàn)[6]的相關(guān)結(jié)果一致.

（3）當(dāng)a→0時(shí)，經(jīng)與上面類似的運(yùn)算，無(wú)窮遠(yuǎn)處受到反平面剪應(yīng)力，面內(nèi)電載荷和磁場(chǎng)載荷共同作用時(shí)，裂紋裂尖(c,0)處的應(yīng)力強(qiáng)度因子為

圖2 磁電彈性體中含有不對(duì)稱十字裂紋的無(wú)限大平面到單位圓內(nèi)的映射

2.4 能量釋放率的求解

定義能量釋放率[13]為

動(dòng)態(tài)裂紋尖端處的機(jī)械應(yīng)變能釋放率為

當(dāng)裂紋傳播速度趨于0時(shí),α1→1,(20)退化為下面靜態(tài)下的能量釋放率：

2.5 數(shù)值算例

下面通過(guò)數(shù)值計(jì)算來(lái)分析裂紋長(zhǎng)度、 力、電和磁載荷分別對(duì)能量釋放率的影響規(guī)律，選取磁電彈性復(fù)合材料 BaTiO3-CoFe2O4,材料參數(shù)[14]為：e15=5.8(C·m2),c44=4.4×1010(pa),p15=275(N·A?1·m?1),κ11=56.4×10?10(C2·N?1·m?2),d11=5.2×10?12(N·s·V?1·C?1),μ11=297×s2·C?2,Gcr=5.0N/m 為臨界能量釋放率,c?a=0.01m為受載裂紋長(zhǎng)度.圖3為帶有橢圓孔邊雙裂紋的磁電彈性體中裂紋尖端點(diǎn)到橢圓中心的距離對(duì)能量釋放率的影響規(guī)律.

取a=0.02m,d=0.025m,c=0.03m,圖4給出了橢圓的半軸長(zhǎng)度b對(duì)能量釋放率的影響規(guī)律.圖5～圖7分別給出了外載荷、電場(chǎng)、磁場(chǎng)對(duì)能量釋放率的影響規(guī)律.

圖3 裂紋剪短點(diǎn)到橢圓中心的距離c對(duì)/Gcr的影響

圖4 橢圓的豎半軸長(zhǎng)b對(duì)/Gcr的影響

圖5 外載荷τ0對(duì)/Gcr的影響

3 結(jié)論

本文分析了無(wú)限大磁電彈性體中含有橢圓孔邊帶兩不對(duì)稱裂紋的動(dòng)態(tài)與靜態(tài)問(wèn)題，給出了運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下磁電全非滲透邊界條件下裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子和能量釋放率的解析解.當(dāng)裂紋傳播速度趨于零時(shí),α1→1,結(jié)果可退化為磁電彈性體中靜態(tài)裂紋問(wèn)題.進(jìn)一步當(dāng)b=0時(shí)，式（21）與（22）所得結(jié)果與文獻(xiàn)[6]中的結(jié)果一致.通過(guò)算例分析，討論了在靜止?fàn)顟B(tài)下受載裂紋長(zhǎng)度、機(jī)械載荷、電載荷以及磁載荷分別對(duì)能量釋放率的影響規(guī)律.圖3～圖7可以得出如下結(jié)論：

圖6 磁電彈性體的電場(chǎng)E0對(duì)/Gcr的影響

圖7 磁場(chǎng)C∞對(duì)/Gcr的影響

（1）右邊受載荷的裂紋，能量釋放率隨著裂紋長(zhǎng)度的增加而增加，當(dāng)裂紋長(zhǎng)度達(dá)到5 m以后，能量釋放率趨于一個(gè)穩(wěn)定值，總體表明裂紋越短材料越安全，受載荷裂紋長(zhǎng)度的增大很容易造成材料的破壞.

（2）隨著短半軸長(zhǎng)度b的增大，能量釋放率不斷變大，這說(shuō)明橢圓孔口在豎直的伸長(zhǎng)有利于裂紋的擴(kuò)展.

（3）外載荷可促使裂紋擴(kuò)展，負(fù)電場(chǎng)阻止裂紋擴(kuò)展，正電場(chǎng)對(duì)裂紋擴(kuò)展的作用是先增強(qiáng)后衰弱，磁場(chǎng)對(duì)能量釋放率的影響微弱，對(duì)裂紋的擴(kuò)展幾乎不起作用.