張齊華

【設(shè)計(jì)理念】

《用數(shù)對(duì)確定位置》是“空間與幾何”領(lǐng)域繼“圖形的認(rèn)識(shí)”“圖形的運(yùn)算”“圖形的變換”之后又一嶄新領(lǐng)域?；跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)和生活經(jīng)驗(yàn)，一二年級(jí)學(xué)生已經(jīng)初步會(huì)用“第幾個(gè)”“第幾排第幾個(gè)”“第幾層第幾個(gè)”等具體、直觀的方式確定一維線性空間、二維平面空間中物體或點(diǎn)的位置。本課將在這一基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生理解、掌握用“數(shù)對(duì)”這一相對(duì)抽象的、數(shù)學(xué)的規(guī)則來(lái)確定二維平面空間中一個(gè)物體或點(diǎn)的位置。

教材編排的線索是，以教室內(nèi)的座位圖為載體，引導(dǎo)學(xué)生先借助“第幾組第幾個(gè)”“第幾排第幾個(gè)”確定小軍的位置。進(jìn)而明確，“通常把豎排叫作列，橫排叫作行。一般情況下，確定第幾列要從左向右數(shù)，確定第幾行要從前向后數(shù)”“小軍坐在第4列第3行，可以用數(shù)對(duì)（4，3）表示”，由此完成對(duì)“何為數(shù)對(duì)”“如何用數(shù)對(duì)確定位置”這一內(nèi)容的認(rèn)識(shí)。教材作出如上安排，潛在的觀念是，對(duì)四年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，憑借原有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，要自主探索并建構(gòu)“用數(shù)對(duì)確定位置”這一規(guī)則，無(wú)疑是有難度的，甚至不在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)。因而，“有意義地告訴學(xué)生”這一“規(guī)定性數(shù)學(xué)內(nèi)容”，便成為教材編排這一內(nèi)容的基本邏輯框架，也是一種合理且審慎的姿態(tài)。

基于這樣的認(rèn)識(shí)，筆者以為，完全放手讓學(xué)生自行探索或建構(gòu)上述內(nèi)容，無(wú)疑是一種不客觀、不理性的選擇。事實(shí)上，筆者以往的數(shù)次教學(xué)實(shí)踐，也印證了這一判斷。因此，我們應(yīng)在既定的基本框架內(nèi)，將這一“規(guī)定性數(shù)學(xué)內(nèi)容”背后的數(shù)學(xué)思考充分挖掘出來(lái)，引導(dǎo)學(xué)生在矛盾沖突中感受規(guī)則統(tǒng)一的必要性，在觀察比較中體會(huì)“數(shù)對(duì)”的抽象概括性，在分析推理中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思維的價(jià)值，在數(shù)形結(jié)合中領(lǐng)略數(shù)學(xué)思想的魅力，在比較延伸中洞察數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在的統(tǒng)一性。一句話，即便是“規(guī)定性數(shù)學(xué)內(nèi)容”，即便是“告知式教學(xué)方式”，我們?nèi)匀豢梢酝ㄟ^(guò)對(duì)文本的深度理解與加工，通過(guò)對(duì)文本教學(xué)價(jià)值的深度開(kāi)掘與外化，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)思考的魅力和數(shù)學(xué)思想的價(jià)值，并最終獲得數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.在具體情境中，理解如何用列數(shù)和行數(shù)組成的數(shù)對(duì)確定物體的位置，體會(huì)規(guī)則建立的必要性、統(tǒng)一性與合理性。

2.會(huì)根據(jù)相應(yīng)的規(guī)則，用數(shù)對(duì)確定平面內(nèi)物體或點(diǎn)的位置。

3.感受數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)方法的嚴(yán)謹(jǐn)與美。

【教學(xué)活動(dòng)及意圖】

一、呈現(xiàn)課題，引發(fā)問(wèn)題

1.二年級(jí)時(shí)，我們已經(jīng)研究過(guò)用第幾排第幾個(gè)、第幾層第幾個(gè)等方式來(lái)確定物體的位置。今天這節(jié)課，我們將在這一基礎(chǔ)上，一起來(lái)學(xué)習(xí)“用數(shù)對(duì)確定位置”。讀一讀課題，你有什么問(wèn)題？

學(xué)生可能的問(wèn)題：什么是數(shù)對(duì)？怎樣用數(shù)對(duì)來(lái)確定位置？用數(shù)對(duì)確定位置和以前研究的確定物體的位置有什么區(qū)別？等等。

2.今天這節(jié)課，我們將圍繞同學(xué)們的這些問(wèn)題來(lái)展開(kāi)學(xué)習(xí)。

【直接出示課題，引導(dǎo)學(xué)生比對(duì)已有經(jīng)驗(yàn)，產(chǎn)生認(rèn)知沖突，形成新的學(xué)習(xí)需求，進(jìn)而自己發(fā)現(xiàn)、提出問(wèn)題，為新課的學(xué)習(xí)作好認(rèn)知與情感的準(zhǔn)備?！?/p>

二、營(yíng)造沖突，建構(gòu)新知

1.為了讓大家更好地學(xué)習(xí)今天的內(nèi)容，我還把我兒子帶來(lái)了。（出示圖1）猜猜看，哪一個(gè)會(huì)是張老師的兒子？

學(xué)生可能會(huì)用第幾排第幾個(gè)、第幾組第幾個(gè)等已有經(jīng)驗(yàn)描述他們的猜想，也可能用方向確定位置，如從左往右第幾豎排、從上往下第幾個(gè)等。

2.大家的猜測(cè)各不相同。有什么問(wèn)題嗎？需要張老師提供什么線索嗎？

學(xué)生可能的要求：他在第幾排？他在第幾組？他有什么外貌特征？

3.看來(lái)，沒(méi)有提示，僅靠猜，很難確定張老師兒子的位置。張老師給點(diǎn)提示：在數(shù)學(xué)上，他在這幅圖中的位置可以用兩個(gè)數(shù)組成的一個(gè)數(shù)對(duì)（板書：（4，2））來(lái)表示?，F(xiàn)在，你能找到他的準(zhǔn)確位置嗎？

（1）學(xué)生先獨(dú)立思考，隨后小組交流自己的想法，并找出他們認(rèn)為的張老師兒子的位置。

（2）反饋交流，學(xué)生可能會(huì)出現(xiàn)四種不同的答案（見(jiàn)圖2中的四個(gè)圓圈）。

（3）要求學(xué)生具體說(shuō)一說(shuō)：你為什么認(rèn)為這個(gè)男孩是張老師的兒子？你理解的4和2分別表示什么？

4.張老師只有一個(gè)兒子，而且他的位置在數(shù)學(xué)上的確可以用數(shù)對(duì)（4，2）來(lái)表示，為什么你們幫我找出了四個(gè)兒子呢？

學(xué)生的困惑可能有：（1）你沒(méi)說(shuō)清楚，這里的4和2，哪一個(gè)是豎排，哪一個(gè)是橫排。（2）你沒(méi)說(shuō)清楚，豎排時(shí)，究竟是從左往右還是從右往左。（3）你沒(méi)說(shuō)清楚，橫排時(shí)，究竟是從上往下還是從下往上。

教師小結(jié)：看來(lái)，僅僅知道數(shù)對(duì)還不夠，我們還得了解這個(gè)數(shù)對(duì)背后隱藏的一系列規(guī)則。

5.在數(shù)學(xué)上，豎排也叫列，橫排也叫行。那么，用數(shù)對(duì)確定位置時(shí)，數(shù)對(duì)中的兩個(gè)數(shù)究竟誰(shuí)是列，誰(shuí)是行？確定列和行時(shí)，又是按怎樣的方向？接下來(lái)，張老師再給大家一點(diǎn)提示：張老師兒子最要好的朋友的位置可以用數(shù)對(duì)（2，1）來(lái)表示?，F(xiàn)在，你能確定哪一個(gè)才是張老師真正的兒子嗎？

（1）學(xué)生獨(dú)立思考，隨后小組交流。

（2）反饋時(shí)，學(xué)生可能會(huì)說(shuō)：因?yàn)檫@個(gè)男孩在從左往右第2列，從下往上第1行，所以，第一個(gè)數(shù)表示列數(shù)，方向是從左往右；第二個(gè)數(shù)表示行數(shù)，方向是從下往上。

（3）按照上述規(guī)則，學(xué)生正確地找到了張老師的兒子。教師借機(jī)引導(dǎo)學(xué)生完整地指出從左往右的5列和從下往上的5行。

（4）教師結(jié)合學(xué)生的交流，板書如下：

【教師貌似直接給出了答案，但“告訴”背后恰恰隱藏著強(qiáng)烈的問(wèn)題沖突：明明給出了張老師兒子所在位置的數(shù)對(duì)，為什么會(huì)找出“四個(gè)兒子”？有矛盾就會(huì)有思維沖突，有思維沖突就會(huì)有深度追究與探尋，而數(shù)對(duì)背后蘊(yùn)含的豐富的規(guī)則內(nèi)涵，恰恰在這樣的矛盾與探究過(guò)程中得到了有效彰顯。此外，面對(duì)學(xué)生的質(zhì)詢，教師也沒(méi)有直接給出規(guī)則，而是以（2，1）為引子，再度引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)思考?？此浦皇且粋€(gè)細(xì)節(jié)，但背后蘊(yùn)含的恰是教師的一種教學(xué)價(jià)值追求：讓每一個(gè)細(xì)節(jié)彰顯最充分的數(shù)學(xué)思考，讓數(shù)學(xué)判斷、推理等思維過(guò)程充溢在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的完整過(guò)程之中?！?/p>

6.按照這樣的規(guī)則，另外三個(gè)男孩的位置又可以用怎樣的數(shù)對(duì)來(lái)表示？

（1）學(xué)生嘗試用數(shù)對(duì)（2，2）、（2，4）、（4，4）來(lái)表示。

（2）教師追問(wèn)：（2，4）和（4，2）用的數(shù)字都一樣，為什么表示的人卻不相同？引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到：數(shù)字交換順序后，表示的列數(shù)和行數(shù)就會(huì)發(fā)生變化，表示的位置也會(huì)發(fā)生變化。

（3）教師追問(wèn)：（2，2）、（4，4）這兩個(gè)數(shù)對(duì)中，同樣都是2或4，表示的意思一樣嗎？引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到：同樣的數(shù)字，在不同的位置，表示的含義不同，前一個(gè)表示第幾列，后一個(gè)表示第幾行。

（4）教師追問(wèn)：像（2，2）、（4，4）這樣的數(shù)對(duì)，在這幅圖中，你還能找到哪幾個(gè)？觀察它們的位置，你有什么新發(fā)現(xiàn)？引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、探索，發(fā)現(xiàn)（x，x）這樣的數(shù)對(duì)都在一條直線上。

【另外三個(gè)男孩的數(shù)對(duì)是什么？同樣的兩個(gè)數(shù)字，交換位置，為什么表示的位置不同？?jī)蓚€(gè)同樣的數(shù)字，表示的意義又有什么不同？類似的數(shù)對(duì)還有哪些？你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？用數(shù)對(duì)確定位置的規(guī)則內(nèi)涵正是在這樣的追問(wèn)中得到了強(qiáng)化，而學(xué)生的數(shù)學(xué)思維正是在這些貌似不經(jīng)意的追問(wèn)中得以深化。最后一問(wèn)，貌似只是一種形式上的模仿，然而，當(dāng)（1，1）、（2，2）、（3，3）……這些數(shù)對(duì)一一呈現(xiàn)在畫面上時(shí)，數(shù)形結(jié)合的思想已經(jīng)躍然紙上?！?/p>

三、實(shí)踐應(yīng)用，拓展提升

1.回到我們的教室，你能寫出自己所在位置的數(shù)對(duì)嗎？先觀察再思考，想一想，你有什么問(wèn)題？

（1）學(xué)生可能提出：教室里，哪里是左，哪里是右？結(jié)合學(xué)生的提問(wèn)，教師指出：在用數(shù)對(duì)確定同學(xué)們的位置時(shí)，通常是站在教師的視角來(lái)觀察，從而確定教室里的第一列和第一行。

（2）現(xiàn)在，你能寫出自己所在位置的數(shù)對(duì)嗎？學(xué)生書寫，全班反饋。

（3）你能說(shuō)一說(shuō)你好朋友所在位置的數(shù)對(duì)，讓大家來(lái)猜一猜他（她）是誰(shuí)嗎？

（4）我找到一位同學(xué)，他是（3，5）的同桌，你們猜一猜，他的數(shù)對(duì)可能是多少？如果學(xué)生給出兩種答案，教師引導(dǎo)學(xué)生思考：（2，5）和（4，5）哪一個(gè)更合適？幫助學(xué)生體會(huì)到，實(shí)際問(wèn)題還要結(jié)合具體情境去思考和理解。

（5）我還找到一位同學(xué)，他和（4，3）緊靠在一起，他的數(shù)對(duì)可能是多少？學(xué)生可能找出（4，2）、（4，4）、（3，3）、（5，3）。教師結(jié)合學(xué)生的回答，在屏幕上出示抽象后的教室座位圖，并標(biāo)出這五個(gè)學(xué)生的位置及其相應(yīng)的數(shù)對(duì)，并引導(dǎo)學(xué)生思考：你發(fā)現(xiàn)了什么？在學(xué)生思考和交流后，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：同一列的數(shù)對(duì)，列數(shù)相同；同一行的數(shù)對(duì)，行數(shù)相同；這五個(gè)學(xué)生正好構(gòu)成一個(gè)“十字形”，再次體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想。

（6）我想找一位同學(xué)，只知道他（她）數(shù)對(duì)中的兩個(gè)數(shù)字相加之和是7，猜一猜，他（她）可能是誰(shuí)？學(xué)生猜測(cè)，教師分別請(qǐng)符合要求的學(xué)生（1，6）、（2，5）、（3，4）、（4，3）、（5，2）、（6，1）起立。

（7）觀察這些數(shù)對(duì)和同學(xué)的位置，你發(fā)現(xiàn)了什么？你還有什么新的猜想？學(xué)生有可能會(huì)猜想：是不是只要數(shù)對(duì)中的兩個(gè)數(shù)字之和相等，這些位置就一定在同一條直線上？教師可以引導(dǎo)學(xué)生自己試著寫一寫符合要求的數(shù)對(duì)，看一看他們的具體位置，驗(yàn)證自己的猜想。

2.你能用數(shù)對(duì)確定下面四塊瓷磚（如圖3）的位置嗎？

（1）學(xué)生嘗試給出數(shù)對(duì)。

（2）如果讓你再添幾塊瓷磚，使它們顯得比較美觀，你會(huì)添在哪些位置上？寫出它們的數(shù)對(duì)。

（3）全班反饋時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生評(píng)價(jià)：誰(shuí)設(shè)計(jì)得最美觀？你從這些數(shù)對(duì)中發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？讓學(xué)生既感受到設(shè)計(jì)的美，又從美的作品中發(fā)現(xiàn)隱藏的數(shù)學(xué)秘密。

3.生活中，你還在哪里見(jiàn)到過(guò)像“數(shù)對(duì)”這樣用兩個(gè)數(shù)來(lái)確定人或物體的位置的？

（1）學(xué)生獨(dú)立思考，并在組內(nèi)交流。學(xué)生可能會(huì)提到飛機(jī)票、電影票、國(guó)際象棋、地球儀等。

（2）教師出示電影票，并提問(wèn)：明明可以用更簡(jiǎn)潔的數(shù)對(duì)來(lái)表示，為什么電影票通常還是選擇用第幾排第幾號(hào)的方式來(lái)確定位置？

（3）教師出示飛機(jī)票，并提問(wèn)：確定飛機(jī)上的位置所用的方法和我們今天學(xué)習(xí)的數(shù)對(duì)有什么不同？為什么會(huì)用一個(gè)數(shù)和一個(gè)字母（如5A、11D）來(lái)表示位置，這樣的方法有什么優(yōu)點(diǎn)？

（4）既然字母和數(shù)字結(jié)合還可以省略中間的逗號(hào)，比數(shù)對(duì)更簡(jiǎn)潔，為什么在數(shù)學(xué)上還是選擇用數(shù)對(duì)來(lái)確定位置？用數(shù)對(duì)確定位置有什么優(yōu)點(diǎn)？

（5）比較飛機(jī)票、電影票、國(guó)際象棋、地球儀上確定位置的不同方法，它們有什么相同的地方？為什么都需要用兩個(gè)數(shù)或兩個(gè)量來(lái)確定一個(gè)點(diǎn)的位置？

【好的數(shù)學(xué)練習(xí)，除了要鞏固所學(xué)的知識(shí)與技能外，還應(yīng)關(guān)注學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)方法的領(lǐng)悟、數(shù)學(xué)思想的熏陶以及數(shù)學(xué)美的感受，并引導(dǎo)學(xué)生透過(guò)紛繁復(fù)雜的現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)其背后蘊(yùn)含的內(nèi)在統(tǒng)一性與數(shù)學(xué)美感。在筆者看來(lái)，這恰恰是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的體現(xiàn)，也是未來(lái)數(shù)學(xué)課堂不變的追求?！?/p>

（作者系南京市北京東路小學(xué)副校長(zhǎng)，江蘇省數(shù)學(xué)特級(jí)教師）