趙崇增，鄭　靜，黃佩佩

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

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基于不同殘差分布的黃金波動率模型實證研究

趙崇增，鄭靜，黃佩佩

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

基于1988-01-02至2015-10-31每周倫敦現(xiàn)貨黃金價格數(shù)據(jù)，按照條件異方差模型的建模步驟，對黃金收益率序列分別建立了殘差服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布、標(biāo)準(zhǔn)化學(xué)生t分布和廣義誤差分布的GARCH模型，并選取3個損失函數(shù)(均方根誤差、平均絕對誤差和泰勒不等系數(shù))來檢驗?zāi)Ｐ皖A(yù)測效果的優(yōu)劣.分析得出，對于倫敦黃金收益率序列，建立殘差服從標(biāo)準(zhǔn)化學(xué)生t分布的GARCH模型，其樣本內(nèi)擬合效果和樣本外預(yù)測精度都比較好.

黃金收益率；波動率；殘差分布；GARCH模型

0　引　言

黃金是一種具有商品和貨幣雙重屬性的貴金屬，是投資者資產(chǎn)保值增值的重要方式.近些年來，由于貨幣的不斷貶值、通貨膨脹壓力不斷增大、金融風(fēng)險以及黃金的需求和供給等因素的影響，黃金價格波動明顯增大.因此，建立有效的黃金價格序列模型能更好地解釋和把握黃金價格的波動.

倫敦黃金交易具有悠久的歷史，早在1804年，倫敦就已取代了阿姆斯特丹，成為了世界黃金的交易中心，1919年，倫敦黃金市場正式成立，到目前，倫敦已經(jīng)是世界上最大的黃金交易市場，倫敦金價在世界黃金交易中已處于至關(guān)重要的領(lǐng)導(dǎo)和核心地位.

自從恩格爾突破性地提出了自回歸條件異方差模型以來，基于GARCH的改進模型族已被廣泛應(yīng)用于黃金交易市場的預(yù)測與決策中.文獻[1]對倫敦黃金年度數(shù)據(jù)用AR(2)過程進行擬合，并對倫敦黃金月度數(shù)據(jù)建立了TGARCH(1,1)模型，表明倫敦黃金波動存在杠桿效應(yīng)；文獻[2]利用R/S分析模型研究了國內(nèi)外黃金價格波動特征，實證結(jié)果表明上海黃金和倫敦黃金價格波動均存在波動聚集和持續(xù)性的特征，且倫敦市場的上述特征更強；文獻[3]對世界黃金價格序列分別擬合GARCH和SV-T模型,對比發(fā)現(xiàn)后者在對世界黃金價格走勢的預(yù)測更優(yōu)；文獻[4]運用EGARCH模型特別研究了夜盤交易推出對國內(nèi)黃金期貨價格波動率的影響，結(jié)果顯示,夜盤交易增加了市場的活躍度，卻降低了平均波動率水平；文獻[5]采用3種GARCH波動性模型研究黃金收益的波動行為，結(jié)果表明，F(xiàn)IGARCH(1，1)是預(yù)測黃金收益率波動性的最佳模型.本文結(jié)合以往國內(nèi)外學(xué)者對黃金的研究，對黃金收益率序列分別建立了3種不同殘差分布的GARCH模型，并選取適當(dāng)?shù)男畔⒘亢蛽p失函數(shù)來檢驗?zāi)Ｐ偷臄M合和預(yù)測效果，主要探究殘差服從哪種分布的GARCH模型能較好地描述倫敦現(xiàn)貨黃金的尾部特征.

1　條件異方差模型及其殘差分布

1.1GARCH模型

1982年,恩格爾突破性地提出了自回歸條件異方差模型，簡稱ARCH模型.ARCH模型被認為是最能集中反映方差變化特點而被廣泛應(yīng)用于金融數(shù)據(jù)時間序列分析的模型，它的基本思想是擾動項的條件方差和它的前期值存在相關(guān)性.

為克服ARCH模型參數(shù)估計困難和估計精度不高的不足，Bollerslev提出了廣義的ARCH模型(GARCH模型).GARCH(m，s)模型的一般形式如下：

(1)

其中，{εt}是均值為0、方差為1的獨立同分布隨機變量.

1.2GARCH模型的殘差分布

金融時間序列一般具有厚尾的特性，而GARCH模型尾部太薄，因此需要模型的殘差εt服從合適的厚尾分布，以此來達到準(zhǔn)確描述金融收益率尾部特性的目的.通常情況下，殘差εt假定服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布、標(biāo)準(zhǔn)化學(xué)生t分布和廣義誤差分布.

1.2.1標(biāo)準(zhǔn)學(xué)生t分布

一般來說，對厚尾數(shù)據(jù)，殘差εt服從標(biāo)準(zhǔn)化的學(xué)生t分布可能顯得更合理.設(shè)隨機變量εt服從學(xué)生t分布，自由度為v(v>2)，則εt的概率密度函數(shù)為

(2)

1.2.2廣義誤差分布

方差方程中的殘差假定服從廣義誤差分布，其概率密度函數(shù)為

(3)

2　黃金收益率建模

2.1數(shù)據(jù)分析和處理

本文收集了1988-01-02日至2015-10-31每周倫敦現(xiàn)貨黃金價格(單位：美元/盎司)，總共1 448個數(shù)據(jù).數(shù)據(jù)來源于Wind資訊，文中所有算法的實現(xiàn)都是通過R語言來完成的.

對黃金價格數(shù)據(jù)作對數(shù)差分處理，得到黃金收益率序列，記為rt，其中，Pt為黃金在t時的價格.本文截取后30個收益率數(shù)據(jù)作為測試樣本集，前面的1 417個數(shù)據(jù)構(gòu)成訓(xùn)練樣本集(記作rt).

黃金收益率時序圖如圖1所示.從中可以看出，收益率序列存在多個異常峰值，并且存在收益率波動集群現(xiàn)象，猜測序列波動可能存在條件異方差性.同時，通過計算得出收益率序列偏度為-0.142 4，超額峰度為4.786 8，說明了黃金收益率序列具有尖峰厚尾的特征.

圖1　黃金收益率時序圖

2.2模型建立

對黃金收益率進行建模，通過收益率序列的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖對收益率序列建立符合AR(5)模型的均值方程，利用Engle的拉格朗日乘子法(ARCH-LM)對殘差at進行滯后10階的ARCH效應(yīng)檢驗，檢驗p值接近于0，檢驗確認黃金收益率有很強的ARCH效應(yīng)，因此，可以對收益率序列建立條件異方差模型.

根據(jù)方差方程中殘差的不同分布，建立了3種不同的GARCH(1,3)模型，模型殘差分別服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布(norm)、標(biāo)準(zhǔn)化學(xué)生t分布(t)和廣義誤差分布(ged).對均值方程和方差方程進行聯(lián)合估計，去掉均值方程不顯著的參數(shù)，得到各個模型顯著參數(shù)的極大似然估計量如表1所示.

表1　模型參數(shù)估計表

注：表格中括號內(nèi)為參數(shù)估計的p值，AIC為模型的赤池信息量.

從表1中可以看出，殘差服從標(biāo)準(zhǔn)學(xué)生t分布的GARCH模型的AIC是最小的，即樣本內(nèi)擬合效果最好.

2.3殘差服從標(biāo)準(zhǔn)學(xué)生t分布的GARCH模型的研究

下面主要研究殘差服從標(biāo)準(zhǔn)學(xué)生t分布的GARCH模型.根據(jù)模型參數(shù)估計表，寫出殘差服從標(biāo)準(zhǔn)學(xué)生t分布的AR(5)-GARCH(1,3)模型的具體形式為：

(4)

其中，εt服從自由度為7.50的標(biāo)準(zhǔn)化學(xué)生t分布.

所建立的GARCH模型的擬合波動率時序圖如圖2所示.分析模型的擬合波動率時序圖可以發(fā)現(xiàn)，序列有少數(shù)比較高的峰值，這是跟當(dāng)時的社會環(huán)境有一定的關(guān)系的，比如2000年的高波動率是和社會處于互聯(lián)網(wǎng)泡沫期間有一定關(guān)聯(lián).

圖2　殘差服從標(biāo)準(zhǔn)學(xué)生t分布的GARCH模型的擬合波動率時序圖

圖3　黃金收益率時序圖及殘差服從標(biāo)準(zhǔn)學(xué)生t分布的GARCH模型的95%點預(yù)測區(qū)間

3　模型評價與結(jié)論

本文通過1988-01-02至2015-10-31每周倫敦現(xiàn)貨黃金價格數(shù)據(jù)，按照金融時間序列條件異方差模型的建模步驟，對訓(xùn)練樣本收益率數(shù)據(jù)建立了殘差分別服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布、標(biāo)準(zhǔn)化學(xué)生t分布和廣義誤差分布的GARCH(1,3)模型，分別對3個模型進行波動率預(yù)測.選擇均方根誤差(SRMSE)、平均絕對誤差(SMAE)和泰勒不等系數(shù)(STIC)3個損失函數(shù)來檢驗預(yù)測效果，損失函數(shù)越小，預(yù)測的效果也就越好.損失函數(shù)的計算公式如下：

(5)

(6)

(7)

將模型的損失函數(shù)結(jié)果和模型的赤池信息量匯總分析，可以直觀地看出模型的擬合效果.計算結(jié)果如表2所示.

由表2可知，殘差服從標(biāo)準(zhǔn)學(xué)生t分布的GARCH模型AIC信息量和損失函數(shù)都比較小，因此，其樣本內(nèi)擬合效果和樣本外預(yù)測精度都比較好.

4　結(jié)束語

本文的研究表明，基于標(biāo)準(zhǔn)學(xué)生t殘差分布的GARCH模型能夠較為準(zhǔn)確地描述金融數(shù)據(jù)的波動率變化.這一模型不僅為金融市場的分析提供了理論依據(jù)，同時為投資者洞察市場發(fā)展變化規(guī)律、規(guī)避市場風(fēng)險提供了重要手段.

[1]闞景陽.后危機時代國際黃金價格實證分析[J].上海金融學(xué)院學(xué)報,2015(4):15-23.

[2]溫博慧.黃金價格波動性及其演化:以上海和倫敦市場為例[J].商業(yè)研究,2010(1):9-13.

[3]陳楊林,向東進.基于波動率模型的世界黃金價格實證分析[J].決策與信息(財經(jīng)觀察),2008(9):26-27.

[4]黃卓,李超.上海黃金期貨波動率的實證分析—基于夜盤交易推出對黃金期貨價格影響機制研究[J].價格理論與實踐,2015(2):94-96.

[5]BENTES S R. Forecasting volatility in gold returns under the GARCH, IGARCH and FIGARCH frameworks: New evidence[J]. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 2015, 438: 355-364.

An Empirical Study of the Gold Volatility Model with Different Residual Distribution

ZHAO Chongzeng, ZHENG Jing, HUANG Peipei

(SchoolofScience,HangzhouDianziUniversity,HangzhouZhejiang310018,China)

The paper chooses weekly gold spot price data of London from January 2, 1988 to October 31, 2015 to establish GARCH models with residuals subjected to the standard normal distribution, standard student’s t-distribution and generalized error distribution respectively, according to the modeling steps of conditional heteroskedasticity model. Then, it selects root mean square error, mean absolute error and Taylor coefficients as loss functions to test model predictions effect, and draws the conclusion that the GARCH model with residuals subjected to standard student’s t-distribution has a better ability of in-sample fitting and out-sample forecasting than others.

gold return; volatility; residual distribution; GARCH model

10.13954/j.cnki.hdu.2016.05.014

2015-12-11

趙崇增(1989-)，男，山東棗莊人，碩士研究生，統(tǒng)計學(xué).通信作者：鄭靜副教授，E-mail：zhengjing@hdu.edu.cn.

F830.9

A

1001-9146(2016)05-0073-04