石　榮，李　瀟，鄧　科

(電子信息控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610036)

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數(shù)字干涉儀時(shí)域頻域鑒相性能對(duì)比的理論分析

石榮，李瀟，鄧科

(電子信息控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，四川 成都 610036)

基于數(shù)字干涉儀中鑒相性能理論分析研究的需要，在對(duì)其工作原理簡(jiǎn)要概述的基礎(chǔ)上，分別構(gòu)建了時(shí)域和頻域鑒相的數(shù)學(xué)模型，其中的時(shí)域鑒相模型同時(shí)也反映出與雙通道互相關(guān)處理的等價(jià)性。通過鑒相誤差的理論分析，結(jié)果表明：2種鑒相方法對(duì)干涉儀通道間相位差的估計(jì)都具有無偏性；但頻域鑒相相對(duì)于時(shí)域鑒相，其誤差的方差更小，在低信噪比條件下這一特點(diǎn)表現(xiàn)尤為明顯。理論分析結(jié)果與仿真結(jié)果完全吻合，從而在理論上證明了頻域鑒相的性能優(yōu)于時(shí)域鑒相，也說明了頻域鑒相性能優(yōu)于通道間的互相關(guān)處理。

數(shù)字干涉儀；時(shí)域鑒相；互相關(guān)處理；頻域鑒相；鑒相性能

0　引言

干涉儀是電子偵察中輻射源來波方向測(cè)量的常用設(shè)備[1]，不僅可以對(duì)雷達(dá)信號(hào)實(shí)施測(cè)向[2]，同時(shí)也用于通信信號(hào)的測(cè)向[3]，并以此為基礎(chǔ)來實(shí)現(xiàn)對(duì)輻射源目標(biāo)的無源定位[4]。隨著數(shù)字化技術(shù)的不斷發(fā)展，近年來數(shù)字式干涉儀(簡(jiǎn)稱數(shù)字干涉儀)也逐漸替代了模擬體制干涉儀，并成為關(guān)注的重點(diǎn)。文獻(xiàn)[5-7]介紹了數(shù)字干涉儀的鑒相算法及工程實(shí)現(xiàn)；文獻(xiàn)[8]討論了數(shù)字干涉儀的基線設(shè)計(jì)方法；文獻(xiàn)[9]分析了數(shù)字干涉儀的測(cè)向范圍；文獻(xiàn)[10-12]闡述了數(shù)字干涉儀在電子偵察定位中的各種應(yīng)用方式。由此可見數(shù)字干涉儀已在電子戰(zhàn)中廣泛使用，并成為偵察測(cè)向的標(biāo)配設(shè)備。

實(shí)際上當(dāng)干涉儀的基線設(shè)計(jì)一旦確定之后，干涉儀通道間相位差測(cè)量的精度將直接決定干涉儀的測(cè)向精度，所以數(shù)字干涉儀中的數(shù)字鑒相方法受到了重點(diǎn)關(guān)注。目前主要有2種類型：時(shí)域鑒相和頻域鑒相。在當(dāng)前的工程項(xiàng)目中這2種方法都在不同的場(chǎng)合中使用，但是這2種方法的鑒相精度是各不相同的。文獻(xiàn)[5]通過大量的仿真試驗(yàn)數(shù)據(jù)表明：頻域鑒相的精度優(yōu)于時(shí)域鑒相的精度；但并沒有從理論上給予分析與論證，這對(duì)于深入理解不同方法產(chǎn)生鑒相精度差異的原因，以及相關(guān)的理論模型構(gòu)建和工程實(shí)際應(yīng)用的指導(dǎo)帶來了不便。

針對(duì)這一問題，本文在簡(jiǎn)要介紹數(shù)字干涉儀的工作原理之后，建立了時(shí)域鑒相與頻域鑒相的數(shù)學(xué)模型，利用此模型對(duì)這2種數(shù)字鑒相方法所產(chǎn)生的誤差給予了理論公式推導(dǎo)，在鑒相性能對(duì)比分析的基礎(chǔ)上，從理論上揭示了頻域方法的鑒相精度優(yōu)于時(shí)域方法的根本原因，最后再次通過仿真驗(yàn)證了理論分析的有效性。

1　數(shù)字干涉儀工作原理

單基線數(shù)字干涉儀的工作原理如圖1所示。

圖1　單基線數(shù)字干涉儀的工作原理

圖1中，干涉儀天線單元A1,A2之間的距離為d，輻射源目標(biāo)信號(hào)的來波方向與天線陣法向之間的夾角為θ，兩天線接收到的信號(hào)經(jīng)過2路幅相一致性的前端及下變頻通道之后，在中頻進(jìn)行數(shù)字化AD采樣成為數(shù)字信號(hào)。經(jīng)過數(shù)字鑒相后得到干涉儀兩通道間來波信號(hào)的相位差為φ，于是可得如下的測(cè)向方程：

(1)

由式(1)可知，在干涉儀基線長(zhǎng)度確定的條件下，干涉儀的測(cè)向精度完全由通道間的相位差測(cè)量精度決定，而相位差測(cè)量精度在很大程度上又由數(shù)字鑒相環(huán)節(jié)所影響。目前在數(shù)字干涉儀中有2種主要的鑒相方法：時(shí)域鑒相和頻域鑒相。

2　時(shí)域與頻域鑒相模型

假設(shè)與干涉儀天線A1,A2相連的接收通道中加性噪聲互不相關(guān)，于是兩接收通道在中頻處的信號(hào)可表示成數(shù)字解析信號(hào)形式如下：xA1(n)=A·exp(j2πfc(n-τ))+

(2)

xA2(n)=A·exp(j2πfcn)+

(3)

式中，A,B分別表示信號(hào)與噪聲分量的幅度；fc表示數(shù)字采樣條件下的信號(hào)載波頻率，在本模型中為已知；nA,c(n)，nA,s(n)，nB,c(n)，nB,s(n)分別表示通道A1,A2中的噪聲，其中每一個(gè)噪聲分量的采樣值都可建模為一個(gè)均值為0，方差為1的高斯噪聲隨機(jī)變量；τ表示采樣條件下2路信號(hào)之間的等效時(shí)延點(diǎn)數(shù)，從時(shí)延角度分析可得[13]：

τ=(d·sinθ/c)·fs。

(4)

式中，c表示電磁波傳播的速度；fs表示采樣頻率。于是兩通道間的相位差φ也可表示為：

φ=-2πfcτ。

(5)

2.1時(shí)域鑒相模型與時(shí)域互相關(guān)的等價(jià)性

A2exp(-j2πfcτ)=A2exp(jφ)。

(6)

(7)

式中，N2(n)表示通道噪聲的影響，可具體表示為：

N2(n)=ABexp(j2πfc(n-τ))·

ABexp(-j2πfcn)·

(8)

為了消除噪聲的影響，時(shí)域鑒相的第2步就是做累積平均，設(shè)采樣處理的信號(hào)長(zhǎng)度為M，于是最終得到的時(shí)域鑒相的相位差估計(jì)函數(shù)Φ3(n)為：

(9)

且有

(10)

但在工程實(shí)際應(yīng)用中，采樣點(diǎn)數(shù)M的大小一般是有限的，所以在后續(xù)的性能對(duì)比中也會(huì)在采樣點(diǎn)數(shù)M給定的條件下進(jìn)行理論分析。

2.2頻域鑒相模型

數(shù)字干涉儀頻域鑒相過程中首先分別將兩通道的M個(gè)采樣數(shù)據(jù)通過離散傅里葉變換(DFT)轉(zhuǎn)換到頻域。本文中所采用的DFT的定義式如下：

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

式中，angle(?)表示取相位，由于

(17)

3　鑒相性能的對(duì)比

前面推導(dǎo)的2種數(shù)字干涉儀的鑒相模型，無論是時(shí)域鑒相模型，還是頻域鑒相模型，所得到的估計(jì)量都是對(duì)干涉儀通道間相位差φ的無偏估計(jì)量，即估計(jì)誤差的均值為0。但2種方法所得到的估計(jì)誤差的方差各不相同。下面在相同采樣數(shù)據(jù)長(zhǎng)度M的條件下，來對(duì)比2種方法的鑒相性能。

時(shí)域鑒相的相位求解表達(dá)式為式(9)，其中信號(hào)分量的模值為A2；頻域鑒相的相位求解表達(dá)式為式(16)，其中信號(hào)分量的模值為A。因?yàn)?種模型最后都是通過一個(gè)綜合性矢量的相位來獲得估計(jì)值，所以在性能對(duì)比時(shí)需要將2種方法在鑒相時(shí)的噪聲分量相對(duì)于信號(hào)分量進(jìn)行歸一化處理，于是時(shí)域鑒相歸一化噪聲分量Nt與頻域鑒相歸一化噪聲分量Nf分別為：

(18)

(19)

經(jīng)過歸一化處理之后，二者的信號(hào)分量都成為單位1。根據(jù)前面的分析，Nt與Nf的均值都為0，于是通過計(jì)算此時(shí)Nt與Nf的方差來反映鑒相性能的好壞。方差越小，性能越好。

2B2/(MA2)+B4/(MA4)。

(20)

(21)

(22)

即時(shí)域鑒相誤差的方差始終大于頻域鑒相誤差的方差，即頻域鑒相的性能更好。

對(duì)比式(20)和式(21)還可以發(fā)現(xiàn)，在采樣數(shù)據(jù)長(zhǎng)度M保持一定的條件下，B相對(duì)于A越大，時(shí)域鑒相誤差的方差越大，這說明信噪比SNR越低，時(shí)域鑒相精度相對(duì)于頻域鑒相精度也就越差。

由于鑒相運(yùn)算的值域范圍被限制在(-π,π]，超出這一范圍將發(fā)生相位折疊，所以在信噪比過低條件下，將發(fā)生鑒相失效的現(xiàn)象，即鑒相誤差急劇增加。鑒相失效時(shí)的信噪比又稱為臨界點(diǎn)信噪比，所以式(20)與式(21)所表示的鑒相誤差的方差是在臨界點(diǎn)信噪比以上時(shí)才成立，這一點(diǎn)需要在實(shí)際應(yīng)用中注意。

4　仿真驗(yàn)證

仿真信號(hào)按照式(2)與式(3)來構(gòu)建，兩通道的初始相位分別為π/3與π/10，顯然通道間的相位差準(zhǔn)確值為7/30π，通過不同的B/A條件下的多次蒙特卡羅仿真來統(tǒng)計(jì)時(shí)域鑒相與頻域鑒相中歸一化誤差的方差，其中數(shù)據(jù)長(zhǎng)度M=1×105。所得到的仿真試驗(yàn)結(jié)果與時(shí)域鑒相、頻域鑒相這2種方法中歸一化噪聲分量方差的理論分析結(jié)果式(20)與式(21)進(jìn)行對(duì)比。

頻域鑒相與時(shí)域鑒相的仿真試驗(yàn)曲線與理論分析曲線如圖2與圖3所示。

圖2　頻域鑒相噪聲分量方差的理論與仿真曲線對(duì)比

圖3　時(shí)域鑒相噪聲分量方差的理論與仿真曲線對(duì)比

為了在更寬的范圍內(nèi)來展示結(jié)果，所以圖2和圖3中橫坐標(biāo)采用對(duì)數(shù)坐標(biāo)，單位為dB；縱坐標(biāo)為歸一化噪聲分量的方差。

在圖2和圖3中實(shí)線為理論曲線，虛線為仿真曲線，實(shí)線與虛線幾乎重合在一起，即理論曲線與仿真曲線完全吻合，從而說明了前面理論分析的有效性和正確性；另一方面對(duì)比圖2與圖3可知，在相同的B/A條件下，時(shí)域鑒相噪聲分量方差始終高于頻域鑒相噪聲分量方差，這也說明時(shí)域鑒相方法所受到的噪聲的影響更嚴(yán)重。

為了更加明確地展示這一特點(diǎn)，下面在不同的B/A條件下，通過多次蒙特卡羅仿真來統(tǒng)計(jì)時(shí)域鑒相與頻域鑒相所得到的干涉儀通道間的相位差誤差的方差曲線如圖4所示。圖4中實(shí)線為時(shí)域鑒相曲線，虛線為頻域鑒相曲線。

圖4　時(shí)域與頻域鑒相所得相位差誤差的方差曲線

此處需要說明的是：上述仿真數(shù)據(jù)是在數(shù)據(jù)長(zhǎng)度M=1×105的條件下得到的，當(dāng)數(shù)據(jù)長(zhǎng)度改變時(shí)，噪聲分量方差和鑒相所得的相位差誤差的方差的具體數(shù)字都會(huì)發(fā)生變化。但是式(20)與式(21)給出的結(jié)果，以及頻域鑒相的性能優(yōu)于時(shí)域鑒相這一結(jié)果是不會(huì)改變的。

5　結(jié)束語

到目前為止，雖然已經(jīng)有文獻(xiàn)通過仿真試驗(yàn)和數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)的方式表明：在電子偵察的數(shù)字干涉儀測(cè)向應(yīng)用中，頻域鑒相的精度高于時(shí)域鑒相，但是并沒有從理論上給予進(jìn)一步的分析與證明。針對(duì)這一情況，本文分別建立了數(shù)字干涉儀的時(shí)域鑒相模型與頻域鑒相模型，對(duì)2種鑒相方法的鑒相誤差進(jìn)行了理論分析，展示了2種方法對(duì)于通道間相位差估計(jì)的無偏性。通過二者的對(duì)比可知：在相同的采樣數(shù)據(jù)長(zhǎng)度的條件下，頻域鑒相誤差的方差比時(shí)域鑒相更小，這就從理論上解釋了仿真試驗(yàn)所得到的結(jié)果；另一方面，在這一過程也揭示了時(shí)域鑒相與雙通道間互相關(guān)接收處理的等價(jià)性，所以這也同時(shí)表明：頻域鑒相方法同樣優(yōu)于通道間互相關(guān)處理方法。上述理論分析過程與相關(guān)理論推導(dǎo)結(jié)果為數(shù)字干涉儀的工程應(yīng)用設(shè)計(jì)與理論模型研究提供了重要參考。

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石榮男，(1989—)，博士，研究員。主要研究方向：電子對(duì)抗，通信、導(dǎo)航與雷達(dá)系統(tǒng)等。

李瀟女，(1993—)，碩士研究生。主要研究方向：電子對(duì)抗。

Theoretical Analysis on Performance Comparison of Phase Discrimination in Time Domain and Frequency Domain for Digital Interferometer

SHI Rong，LI Xiao，DENG Ke

(ScienceandTechnologyonElectronicInformationControlLaboratory，ChengduSichuan610036，China)

The theoretical analysis and research on performance of phase discrimination for digital interferometer are very necessary.After its working principle is briefly introduced，the mathematic models for phase discrimination in time domain and frequency domain are established respectively.The equivalence between phase discrimination in time domain and cross correlation of two channels can be found easily.The theoretical analysis on the error of phase discrimination has shown that both methods provide non-bias estimations for phase difference between channels，but the error variance of phase discrimination in frequency domain is much less than that of the time domain.This characteristic is more obvious in condition of small SNR (Signal to Noise power Ratio).The theoretical analysis completely fits the simulation.It is theoretically proved that the performance of phase discrimination in frequency domain is much better than that of time domain，and it is also better than that of cross correlation processing of two channels.

digital interferometer；phase discrimination in time domain；cross correlation processing；phase discrimination in frequency domain；performance of phase discrimination

10.3969/j.issn.1003-3106.2016.10.06

2016-06-28基金項(xiàng)目：總裝共用技術(shù)基金資助項(xiàng)目(91X0A210XXX1XDZ390XX)。

TN971

A

1003-3106(2016)10-0024-05

引用格式：石榮，李瀟，鄧科.數(shù)字干涉儀時(shí)域頻域鑒相性能對(duì)比的理論分析[J].無線電工程,2016,46(10):24-28.