作者簡(jiǎn)介：金韓中（1998.05-），男，韓國(guó)人，北京拔萃雙語(yǔ)學(xué)校，高三學(xué)生，拔翠雙語(yǔ)學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組組長(zhǎng)。

指導(dǎo)老師：池明月（1981.09-），女，朝鮮族，黑龍江雞西人，北京拔萃雙語(yǔ)學(xué)校教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，拔翠雙語(yǔ)學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組指導(dǎo)教師。

摘 要：數(shù)學(xué)很好地鍛煉了我們的邏輯思維能力，我們現(xiàn)在能夠運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決很多問(wèn)題。數(shù)學(xué)一直跟隨著科學(xué)社會(huì)的進(jìn)步而發(fā)展，在十七世紀(jì)時(shí)，人們面臨著怎樣解決函數(shù)曲線長(zhǎng)度的求值問(wèn)題，曲線圍成圖形面積求值問(wèn)題，人們借助極限思想，創(chuàng)立了微積分學(xué)，微積分的出現(xiàn)很好地解決了上述問(wèn)題，并且越來(lái)廣泛地應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域中。

關(guān)鍵詞：微分；導(dǎo)數(shù)；定積分；不定積分

中圖分類號(hào)：O172文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：2095-9214（2016）10-0105-02

一、微積分的產(chǎn)生

從17世紀(jì)開(kāi)始，隨著社會(huì)的進(jìn)步和生產(chǎn)力的發(fā)展，有許多科學(xué)問(wèn)題需要解決，物理方面的即時(shí)速度問(wèn)題，曲線函數(shù)中曲線長(zhǎng)度的求值問(wèn)題，幾何中曲線圍成圖形的面積求值問(wèn)題等等，這些促使了新的數(shù)學(xué)思想的產(chǎn)生，“無(wú)限細(xì)分”以及“無(wú)限求和”的思想，最終促使了微積分的產(chǎn)生。

十七世紀(jì)初，有數(shù)十位科學(xué)家對(duì)微積分進(jìn)行了探索，微積分的大量知識(shí)已經(jīng)積累起來(lái)了。到了十七世紀(jì)后半葉，牛頓主要從運(yùn)動(dòng)學(xué)的角度出發(fā)，獨(dú)自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，而萊布尼茨則側(cè)重于從幾何學(xué)的角度出發(fā)，獨(dú)自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作，兩人的研究促使了微積分學(xué)的產(chǎn)生。

在十九世紀(jì)以前，在微積分的發(fā)展過(guò)程中，其數(shù)學(xué)分析的嚴(yán)密性問(wèn)題一直沒(méi)有得到解決?？挛鳂O限存在準(zhǔn)則為微積分注入了嚴(yán)密性，維爾斯特拉斯，黎曼為積分的完善做出了杰出貢獻(xiàn)。

二、微分的幾何意義及其應(yīng)用

微積分是建立在實(shí)數(shù)，函數(shù)和極限的基礎(chǔ)上的，包含微分學(xué)和積分學(xué)。其中微分學(xué)主要包括極限理論，導(dǎo)數(shù)描述，微分等，積分學(xué)主要包括定積分和不定積分。

首先我們要理解到，“極限”在微積分學(xué)中引入的必要性，當(dāng)我們確定一個(gè)値時(shí)，通過(guò)考察這一連串近似值的趨向，確定一連串越來(lái)越準(zhǔn)確的近似值，最終確定一個(gè)量，這就是極限的思想方法①。

其次，導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)是指函數(shù)在一點(diǎn)處自由變量所引起的函數(shù)變化的快慢程度。其本質(zhì)是利用極限概念對(duì)函數(shù)進(jìn)行局部的線性逼近。如果函數(shù)的自變量和取值都是實(shí)數(shù)的話，函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)就是該函數(shù)所代表的曲線在這一點(diǎn)上的切線斜率②。

在數(shù)學(xué)中，微分是對(duì)函數(shù)的局部變化率的一種線性描述。微分可以近似地描述當(dāng)函數(shù)自變量的取值作足夠小的改變時(shí)，函數(shù)的值是怎樣改變的。從微分的幾何意義分析（如圖1），當(dāng)Δy是曲線的縱坐標(biāo)增量時(shí)；dy就是切線縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的增量，借助極限思想，當(dāng)Δ x很小時(shí)，在點(diǎn)M的附近，切線段MP可近似代替曲線段MN。

從圖一中我們可以看處曲線切線的斜率tanα即為函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

從微分的幾何意義可以看出我們可以利用微分解決求曲線長(zhǎng)度的問(wèn)題。微分也可以利用在物理學(xué)中，如果一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)路程與時(shí)間的函數(shù)為S，則速度函數(shù)是s的導(dǎo)數(shù)，即V=S。

不只是總產(chǎn)量的問(wèn)題，復(fù)利，年有效收益，連續(xù)復(fù)利，成本函數(shù)，需求函數(shù)，消費(fèi)者剩余，生產(chǎn)者剩余，最大利潤(rùn)等一系列的經(jīng)濟(jì)問(wèn)題都可以通過(guò)微積分來(lái)解決。

六、小結(jié)

從以上例子中，我們看到了微積分在物理學(xué)，在曲線函數(shù)以及經(jīng)濟(jì)學(xué)方面的應(yīng)用。微積分是與實(shí)際應(yīng)用聯(lián)系著發(fā)展起來(lái)的，面對(duì)科學(xué)難題，人們開(kāi)始借助“不變”來(lái)認(rèn)識(shí)“變”，借助極限的思想，從直線形來(lái)認(rèn)識(shí)曲線形，從近似認(rèn)識(shí)精確。面對(duì)變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度問(wèn)題，人們借助極限思想，在小范圍內(nèi)，用勻速代替變速，將瞬時(shí)速度定義為平均速度的極限，利用微積分解決變速的問(wèn)題。

在當(dāng)今社會(huì)，微積分已經(jīng)越來(lái)越廣泛地應(yīng)用到天文學(xué)、力學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)及應(yīng)用科學(xué)等多個(gè)分支中。而計(jì)算機(jī)的發(fā)明更是有助于這些應(yīng)用的不斷發(fā)展。

（作者單位：北京拔萃雙語(yǔ)學(xué)校）

（指導(dǎo)老師：池明月）

注釋：

①對(duì)于y=nn+1，當(dāng)n=100時(shí)，結(jié)果約為0.99，當(dāng)n=1000時(shí)，結(jié)果約為0.999。那么利用極限思想，當(dāng)n無(wú)限趨近正無(wú)窮，結(jié)果就無(wú)限趨近1。即n→+∞，y→1

②運(yùn)動(dòng)學(xué)中，做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的物體在t時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)速度是Vt=V0+at，對(duì)Vt求導(dǎo)，可以得到Vt′=a，即物體速度變化的快慢。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].高等教育出版社，2007

[2]龔昇.微積分五講.科學(xué)出版社[M].2004

[3]龔德恩.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（微積分）[M].四川人民出版社，2005