孟陳銳，汪　瑩，谷帥軍，劉紅杏，周彥兆

(中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(武漢)環(huán)境學(xué)院，湖北 武漢 430074)

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無(wú)越流含水層中完整井的井流試驗(yàn)確定隔水邊界位置

孟陳銳，汪瑩，谷帥軍，劉紅杏，周彥兆

(中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(武漢)環(huán)境學(xué)院，湖北 武漢 430074)

討論了在未知無(wú)越流含水層隔水邊界的方向和位置時(shí)，通過(guò)完整井的井流試驗(yàn)，利用觀測(cè)井降深-時(shí)間的數(shù)據(jù)以及Cooper-Jacob簡(jiǎn)化公式的直線圖解法來(lái)確定隔水邊界的問(wèn)題。運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的方法，分析討論了當(dāng)觀測(cè)井個(gè)數(shù)為兩個(gè)時(shí)的隔水邊界位置。結(jié)果表明：使用兩個(gè)觀測(cè)孔降深-時(shí)間的數(shù)據(jù)可找出隔水邊界的兩個(gè)可能解，但無(wú)法確定哪個(gè)是真實(shí)解。因此筆者在此基礎(chǔ)之上提出了確定隔水邊界的一種方法：使用三個(gè)不在一條直線上的觀測(cè)井降深-時(shí)間的數(shù)據(jù)，通過(guò)直線圖解法和作圖，利用三個(gè)圓的交點(diǎn)近似確定隔水邊界的位置。

井流試驗(yàn)；隔水邊界位置；反映法；虛井位置

在承壓含水層中進(jìn)行抽水試驗(yàn)時(shí)，由于巖性、地質(zhì)構(gòu)造等原因，經(jīng)常會(huì)遇到含水層有隔水邊界的情況。確定隔水邊界的方向與位置對(duì)水資源的開發(fā)與礦坑疏干的預(yù)測(cè)有著重要意義。對(duì)于此類問(wèn)題，運(yùn)用反映法進(jìn)行求解較為簡(jiǎn)便。所謂反映法是對(duì)某一邊界或某些邊界來(lái)映射實(shí)際的抽水井，使得在邊界的另一邊有一個(gè)對(duì)稱的虛構(gòu)的抽水井或注水井，其作用與實(shí)井等效[1]。由此邊界問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)界問(wèn)題，繼而可用無(wú)限含水層中的Theis井流模型求解含水層參數(shù)。徐建國(guó)等[2]通過(guò)水文地質(zhì)邊界附近非穩(wěn)定流抽水試驗(yàn)資料的分析，按邊界透水性將水文地質(zhì)邊界劃分為5類,并結(jié)合實(shí)例說(shuō)明了邊界透水性的判別方法。這對(duì)于確定地下水系統(tǒng)邊界條件具有較為重要的意義。郭建青[3,4]等對(duì)比分析了標(biāo)準(zhǔn)曲線對(duì)比法、基于Jacob近似的直線圖解法、梯度搜索法，三種直線隔水邊界含水層抽水試驗(yàn)數(shù)據(jù)的分析方法，詳細(xì)地描述了不同方法的適用性。余克林[5]等詳細(xì)描述了特定條件直線圖解法在確定隔水邊界中的應(yīng)用，并結(jié)合實(shí)例闡述了復(fù)雜邊界條件下的水文地質(zhì)學(xué)求參方法。陳崇希[6]等在《地下水動(dòng)力學(xué)》一書中用直線圖解法近似確定兩觀察孔到虛井的距離，利用兩圓相交的方法確定直線邊界的方向和位置，但此方法的解是不唯一的。

本文指出了《地下水動(dòng)力學(xué)》一書中確定隔水邊界方法的不足，在利用觀測(cè)井降深-時(shí)間的數(shù)據(jù)以及Cooper-Jacob簡(jiǎn)化公式的直線圖解法的基礎(chǔ)上，運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的方法分析討論了無(wú)越流含水層中確定隔水邊界位置的方法。

1　數(shù)學(xué)模型建立與計(jì)算

1.1承壓含水層的直線圖解法

直線圖解法是將抽水試驗(yàn)的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)(觀測(cè)井降深s，時(shí)間t)投在單對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙上并做成s-lgt曲線，此曲線在一定的區(qū)間上將呈現(xiàn)為直線，因而可以根據(jù)直線的斜率和截距來(lái)確定含水層的兩個(gè)參數(shù)(導(dǎo)水系數(shù)T、壓力傳導(dǎo)系數(shù)a)。

在s-lgt曲線中，分別延長(zhǎng)第一、第二直線段，兩直線交于點(diǎn)c，此點(diǎn)坐標(biāo)(tc，sc)，第一直線段與lgt軸的交點(diǎn)為t0，據(jù)此可求出虛井至觀測(cè)井的距離ρ：

(1)

式中：ρ為虛井至觀測(cè)井的距離(m)；r為觀測(cè)井至抽水井的距離(m)；tc為第一、第二直線段交點(diǎn)的橫坐標(biāo)所對(duì)應(yīng)的時(shí)間(min)；t0為第一直線段與lgt軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)所對(duì)應(yīng)的時(shí)間(min)。

1.2提出的疑問(wèn)

按照《地下水動(dòng)力學(xué)》[6]中的描述,用(1)式分別求出觀測(cè)孔1和觀測(cè)孔2至虛井的距離ρ1和ρ2，然后分別以觀測(cè)孔1、觀測(cè)孔2為圓心，ρ1和ρ2為半徑作圓，兩圓的交點(diǎn)即為虛井的位置。實(shí)井和虛井連線的中垂線就是隔水邊界的位置。但是兩圓相交有兩個(gè)交點(diǎn)，而真實(shí)的虛井只有一個(gè)，能否確定這兩個(gè)虛井中哪一個(gè)是真實(shí)的虛井呢？

此處討論的隔水邊界為已經(jīng)確定存在的，并且只有一條的情況。下面我們將討論在觀測(cè)孔為兩個(gè)時(shí)，能否確定這兩個(gè)虛井中哪一個(gè)是真實(shí)的虛井。

1.3在一般情況下討論

將抽水井用Pw表示，觀測(cè)井用k1、k2表示，虛井用P1、P2表示。再以觀測(cè)井k1、k2為圓心半徑為ρ1、ρ2作圓，連接他們的圓心k1k2和交點(diǎn)P1P2(如圖1所示)，則k1k2是P1P2的中垂線。

圖1　線段k1k2、P1P2垂直示意圖

以k1k2為X軸，P1P2為Y軸建立坐標(biāo)系(如圖2所示)。設(shè)P1(0，a)、P2(0，-a)為可在Y軸上移動(dòng)的點(diǎn)(P1、P2關(guān)于X軸對(duì)稱)，k1(b，0)、k2(c，0)為可在X軸上移動(dòng)的點(diǎn)，抽水井Pw的坐標(biāo)為(m，n)。

圖2　抽水井Pw取值范圍示意圖

Pw應(yīng)滿足：(m-b)2+n2

(2)

連接PwP1、PwP2，并作他們的中垂線(如圖3所示)，中垂線即為隔水邊界。因?yàn)槌樗⒂^測(cè)井應(yīng)在隔水邊界的一側(cè)，而虛井應(yīng)在隔水邊界的另一側(cè)，所以隔水邊界不能與線段k1k2相交。

若PwP1、PwP2的中垂線與線段k1k2無(wú)交點(diǎn)，則圓的兩個(gè)交點(diǎn)都為虛井，隔水邊界有兩種可能：若PwP1、PwP2的中垂線與線段k1k2有1個(gè)交點(diǎn)，則圓的兩個(gè)交點(diǎn)中只有1個(gè)交點(diǎn)為虛井，隔水邊界只有1種可能；若PwP1、PwP2的中垂線與線段k1k2有兩個(gè)交點(diǎn)，則沒(méi)有隔水邊界。

圖3　k1、k2位于X軸異側(cè)時(shí)隔水邊界位置討論圖

經(jīng)計(jì)算，我們發(fā)現(xiàn)PwP1、PwP2這兩條中垂線在m0時(shí)交于X軸上同一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)不在線段k1k2上，在m=0平行X軸，與線段k1k2也沒(méi)有交點(diǎn)。證明如下：

2016年，山東省有6個(gè)果蔬區(qū)域公用品牌成功入選為第一批著名農(nóng)產(chǎn)品區(qū)域公用品牌名單，膠州大白菜作為其中一個(gè)。2017年，11個(gè)區(qū)域公用品牌，如膠州大白菜被選為最受歡迎的農(nóng)產(chǎn)品區(qū)域公用品牌。膠州大白菜協(xié)會(huì)繼續(xù)研發(fā)白菜品種、栽培技術(shù)和白菜深加工產(chǎn)品的創(chuàng)新和開發(fā)形成較強(qiáng)的市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力。

直線PwP1、PwP2中垂線的方程分別為：

(3)

(4)

在上述方程中分別令y=0，求得其兩個(gè)解x1、x2為：

(5)

又由(2)式可得：

m2+n2-a2<2mb且a2+b2-a2<2mc

(6)

當(dāng)m=0時(shí)，這兩條中垂線平行于線段k1k2。

補(bǔ)充：1.因?yàn)橐陨献C明沒(méi)有對(duì)k1(b，0)、k2(c，0)的值進(jìn)行限定，他們是在X軸上任意移動(dòng)的點(diǎn)，所以當(dāng)k1k2位于X軸的同側(cè)時(shí)證明依然成立，m>0時(shí)(如圖4)，m<0時(shí)(如圖5)，PwP1、PwP2的中垂線與線段k1k2沒(méi)有交點(diǎn)。

圖4　k1、k2位于X軸同側(cè)且m>0時(shí)隔水邊界位置示意圖

圖5　k1、k2位于X軸同側(cè)且m<0時(shí)隔水邊界位置示意圖

由此可推出，這兩條隔水邊界都可使抽水井、觀測(cè)井在隔水邊界的一側(cè)，虛井在隔水邊界的另一側(cè)，兩條隔水邊界都有可能是真實(shí)解，需要其他方法來(lái)作進(jìn)一步確定。

1.4特殊情況

該問(wèn)題存在一種特殊情況，當(dāng)k1、k2和虛井剛好在一條直線上并且虛井不能在線段k1k2上(否則不滿足抽水井、觀測(cè)井在隔水邊界的一側(cè)，而虛井在隔水邊界的另一側(cè))。所以虛井不在線段k1k2上，但滿足三點(diǎn)k1、k2和虛井在一條直線上，這時(shí)作圖會(huì)得到兩個(gè)內(nèi)切的圓(如圖6所示)。

圖6　特殊情況下隔水邊界位置示意圖

此時(shí)兩圓的切點(diǎn)即為虛井的位置。但只有當(dāng)觀測(cè)井k1、觀測(cè)井k2和虛井在一條直線上時(shí)才會(huì)出現(xiàn)此情況，也等同于觀測(cè)井k1、k2兩口井的連線剛好垂直于隔水邊界。這種情況在我們運(yùn)用此方法求解隔水邊界位置時(shí)出現(xiàn)的概率很小。

1.5結(jié)論驗(yàn)證

為了進(jìn)一步證明我們的結(jié)論，我們用動(dòng)畫進(jìn)行了演示。我們?cè)诓桓淖兂樗甈w、觀測(cè)井k1的位置的情況下，僅改變觀測(cè)井k2位置，觀察兩條隔水邊界與線段k1k2的交點(diǎn)。在動(dòng)畫前期，兩條隔水邊界與線段k1k2有兩個(gè)相同的交點(diǎn)，所以這兩條隔水邊界都不符合，但是實(shí)際問(wèn)題中，應(yīng)存在一個(gè)隔水邊界，所以這種情況不符合實(shí)際。當(dāng)觀測(cè)井k2運(yùn)動(dòng)到臨界位置(k2剛好位于兩條隔水邊界的交點(diǎn)時(shí))，觀測(cè)井位于隔水邊界上也不符合實(shí)際。當(dāng)觀測(cè)井k2繼續(xù)運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩條隔水邊界與線段k1k2沒(méi)有交點(diǎn)，說(shuō)明兩條隔水邊界都有可能是真的，符合我們之前的結(jié)論。

2　隔水邊界的確定

通過(guò)之前的研究我們發(fā)現(xiàn)圓的兩個(gè)交點(diǎn)都符合條件，無(wú)法判斷哪個(gè)是真實(shí)的虛井，也無(wú)法判斷哪個(gè)是真實(shí)的隔水邊界，我們猜想能否通過(guò)增加一個(gè)觀測(cè)井的方式來(lái)確定隔水邊界的真實(shí)位置。

通過(guò)直線圖解法可得出觀測(cè)井k3到虛井的距離ρ3，以k3為圓心ρ3為半徑作圓。

圖7　k1、k2、k3在一條直線上時(shí)隔水邊界位置示意圖

圖8　k1、k2、k3不在一條直線上時(shí)隔水邊界位置示意圖

若三個(gè)觀測(cè)井k1、k2、k3在同一條直線上，以k3為圓心ρ3為半徑作圓，則此圓會(huì)交于虛井p1、p2，同樣無(wú)法從兩個(gè)交點(diǎn)中判斷出哪個(gè)是真實(shí)的虛井(如圖7)；若三個(gè)觀測(cè)井不在同一直線上時(shí)，因?yàn)橛^測(cè)井k3不在虛井p1p2的中垂線上，所以觀測(cè)井k3到兩虛井的距離不相等，若以k3為圓心ρ3為半徑作圓，則此圓必與其中的一個(gè)虛井相交(如圖8)，這三個(gè)圓的交點(diǎn)就是虛井的位置，實(shí)井與虛井連線的中垂線就是隔水邊界的位置。第三個(gè)觀測(cè)井的取值應(yīng)在兩隔水邊界的內(nèi)部。

以此類推，當(dāng)使用三個(gè)以上觀測(cè)井的降深數(shù)據(jù)時(shí)，只要這些觀測(cè)井不在同一條直線上就可確定隔水邊界的位置。

3　結(jié)語(yǔ)

在用完整井的井流試驗(yàn)方法確定無(wú)越流含水層中的隔水邊界時(shí)，若未知隔水邊界的方向和位置，使用兩個(gè)觀測(cè)孔的降深觀測(cè)數(shù)據(jù)可找出隔水邊界的兩個(gè)可能解，但無(wú)法確定哪個(gè)是正解(只有當(dāng)兩觀測(cè)井和虛井剛好在同一條直線上時(shí)才可以直接確定虛井的位置)；使用三個(gè)及以上觀測(cè)井的降深數(shù)據(jù)時(shí)，只要這些觀測(cè)井不在同一條直線上就可確定隔水邊界的位置。

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Determination of impervious boundary with a pumping test in a confined aquifer

MENG chen-rui，Wangying，GU shuai-jun，LIU hong-xing，ZHOU yan-zhao

(School of Environmental Studies,China University of Geosciences,Wuhan,Hubei,430074,China)

With the unknown of the direction and position of impervious boundary,the developed method can be used to determine the position of impervious boundary through the pumping test data associated with the Cooper Jacob method.Using the method of mathematical modeling,the position of the impervious boundary was analyzed and discussed for the condition of with two observation wells.The results indicated that the drawdown-time data of two observation wells can be used to find out the two possible solutions of the impervious boundary`s position,but it is not sure which is the real solution.Based on this,we proposed a method to determine the position of impervious boundary:using drawdown-time data in three observation wells that do not have a straight line and through the Cooper Jacob method and matching,using the intersection of the three circles to determine the position of impervious boundary.

well flow experiment；impervious boundary′s position；reflection method；imagined well

2016-04-26

孟陳銳(1995-)，男，湖北武漢人，主攻方向：環(huán)境工程。

P641.2

B

1004-1184(2016)05-0019-04